北師版八年級數學寒假班前半段

目錄

第1講實數初步........................................3

第2講實數計算及根式初步.............................13

第3講勾股定理的計算.................................25

第4講方程組求解.....................................34

第5講二元一次方程組應用.............................43

北師版八年級數學寒假班后半段

目錄

第1講平面直角坐標系............................................40

第2講函數和一次函數............................................48

第3講一次函數解析式的確定......................................56

第4講函數和一次函數應用........................................63

第5講因式分解（一）..............................................73

第6講因式分解（二）..............................................81

第8講因式分解（三）..............................................89

第9講平行四邊形...............................................101

第10講特殊的平行四邊形........................................112

第11講分式（一）..................................................124

第12講分式（二）.................................................138

第13講將軍飲馬巧解最值........................................149

2

第1講實數初步

知識■要點

1.算術平方根的概念

如果一個非負數X的平方等于。，即一=。（。之0）,那么這個非負數犬就叫做。的算術平方根，記為

讀作“根號4”，其中。叫做被開方數.

注意：

①我們規定，0的算術平方根是0,即#=0；

②負數沒有算術平方根。也就是說：夜中的被開方數。一定是一個非負數，即。之0.

③右是一個非負數，即620.

2.平方根的概念

如果一個數x的平方等于。，即爐=。（〃之0）,那么這個數X就叫做〃的平方根，記為土G，讀作“正、

負根號其中〃叫做被開方數.

注意：

①一個正數。必有兩個平方根，一個是G，另一個是-右，它們互為相反數.互為相反數的兩個數的

和為0.即：若加和〃是正數x的兩個平方根，則加+〃=0.

②0的平方根只有一個，就是它本身。即。的平方根是0.

③負數沒有平方根.

3.開平方的概念

求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，其中。叫做被開方數.

注意：

①開平方時，被開方數。必須是非負數

②平方運算和開平方運算是互為逆運算.

4.開平方的小數點移動規律：如果被開方數的小數點，向右或向左每移動兩位，它的平方根的小數點就

相應地向右或向左移動一位.

厚典型例題

例題1.1：填空.

0149162536496481100

平方根

算術平方根

121144169196225256289324361400

平方根

算術平方根

例題1.2：求下列各數的平方根和算術平方根.

(D—64(2)—9(3)0.49(4)(-5)■2(5)7,625

例題1.3：下列說法正確的是()

A.-5是(-5)2的算術平方根B.81的平方根是±9

C.2是T的算術平方根D.9的算術平方根是±3

例題L4：求下列各式的值.

(1)725____________________(2)-5/169_________________

⑶「到=_________________(4)±Vo^oT=__________________

(5)7F6)7=__________________⑹陪二-----------------

例題1.5：求下列各式中的黑

⑴49爐=m9⑵9(37)2=(々)2

⑶4=11(4)x2-2.56=0

4

例題1.6：⑴一個正數的平方根是3a+1和5,貝ija=.

(2)已知某數的兩個平方根分別是。+3與%-15,求這個數.

例題1.7：一個自然數的算術平方根是工，則它后面一個數的算術平方根是()

A.x+1B.x?+1C.\[x+1D.Jd+1

例題1.8：已知"^=1.536,7216=4.858

①求揚不和J0.00236的值;②若4=0.4858,求x的值；

③若而而=1536,求a的值.

例題1.9：(1)已知AABC的三邊分別是。、b、c,且。、〃滿足＞/1分+仍一4)2=0,則c的取值范

圍是______.

(2)若(a-4月與J幣的值互為相反數，則2a+b的平方根是.

8

1,立方根的定義：如果一個數的立方等于a,這個數就叫做。的立方根.即：若則1稱為。的

立方根，記作板.

注意：

①任何數都有立方根，且只有一個立方根(這與平方根的性質不同).

②正數有一個正的立方根，負數有一個負的立方根，。的立方根是0.

③求一個數的立方根的運算叫做開立方.開立方與立方互為逆運算.

④(而)=a,=if-a=-\/a.

2.開立方

求一個數a的立方根的運算叫做開立方，其中。叫做被開方數.

注意：

①開立方運算與立方運算是互逆運算.

②開立方時，被開方數可以是正數，可以是負數，也可以是0.

3.開立方的小數點移動規律：被開方數的小數點向右或向左每移動三位，則立方根的小數點就向右或向

左移動一位.

4.n次方根的定義：如果一個數的〃次方等于。，這個數叫做。的〃次方根.

5.n次方根的性質：

(1)正數的偶次方根有兩個，它們互為相反數；負數沒有偶次方根；

(2)任何數。的奇次方根只有一個，且與。同符號.

型典型例題卅柱1

例題2.1：填空.

125216

立方根

例題2.2：求下列各數的立方根.

V64：（-右）2.

例題2.3：求下列各式的值.

Oi）64=

6

例題2.4：求下列各式中的x.

3

(1)8?+27=0(2)(X-1)=-^

(3)(/+2)3+1=：

(4)x4-5=-

O16

例題2.5：如果3x+16的立方根是4,2刀+4的算術平方根是.

例題2.6：若指*=4,那么（。一67）'的值是（）

A.64B-27C.-343D.343

例題27若。2=（一5）2,〃=（—5）3,則〃+b的值為（）

A.-10B.OC.0或一10D.0,一10或10

例題2.8：已知313.14=2.359,%.314=1.095,%31.4=5.084,求師4,%.1314,%3140

的值.

知■識■要■點■三

1.無理數：無限不循環小數叫做無理數.（“無限”和“不循環”兩者缺一不可）

2.實數：有理數和無理數統稱實數.

注意：任何一個有理數都可以化成分數K形式（4WO,P，夕為整數且互質），而無理數則不能.

q

3?實數與數軸的關系：數軸上的點與實數是一一對應關系，即每一個實數都可以用數軸上的一個點表示,

并且數軸上每一個點也都表示一個實數.

4.實數分類：

正整數

整數。

有理數負整數有限小數或無限循環小數

實數J正分數

分數

負分數

正無理數

無理數＜無限不循環小數

負無理數

部典型例題

例題3.1：下列說法正確的個數是（）個.

①無理數都是實數；②實數都是無理數；③無限小數都是無理數；④帶根號的數都是無理數；⑤沒有絕對

值最小的實數

A.lB.2C.3D.4

例題3.2：把下列各數分別填入相應的集合內.

2237T9

-3

一一，0,0.3,-1.1010010001...,8,一，1.7x10-3,（_）o,0.01,2003,0.2737373....

382乃

（1）整數集合｛…｝;

（2）分數集合｛…｝；

（3）自然數集合｛…｝；

（4）有理數集合｛…｝;

（5）無理數集合｛…｝；

例題3.3：判斷（正確的打“f,錯誤的打“x”）.

①帶根號的數是無理數；（）③絕對值最小的實數是0;（）⑤

有理數、無理數統稱為實數；（）⑦無理數與有理數的和為無理數；（）②J二

一定沒有意義；（）

④平方等于3的數為G；（）

?1的平方根與1的立方根相等；（）

⑧無理數中沒有最小的數，也沒有最大的數.（）

例題3.4：下列命題中，正確的個數是（）.

①兩個有理數的和是有理數；②兩個無理數的和是無理數；

③兩個無理數的積是無理數；④無理數乘以有理數是無理數；

⑤無理數除以有理數是無理數；⑥有理數除以無理數是無理數.

A.0個B.2個C.4個D.6個

例題3.5；若。是癡的整數部分，b是回的小數部分，試確定〃的值.

例題36如圖所示，在兩點一夜和J7之間表示整數的點共有個.

-42J7

例題3.7：如圖所示，數軸上表示1,0的對應點分別為點A、B,點C到點A的距離與點B到點A的

距離相等，則C所表示的數是.

—J__S——4__J

°142

例題3.8：比較下列實數的大?。ㄔ谝惶钌稀?、＜或=）.

①一石——&；_____-；③2而—3卮

22

8

3堂，隨堂練習（方顯學

一.選擇題.

1.64的平方根是（）

A.±8B.±4C.±2D.土也

2.4的平方的倒數的算術平方根是（）

11

A.4B.-C.--D.-

844

3.若2機-4與3帆一1是同一個數的平方根，則機的值是（）

A.—3B.1C.—3或1D.-1

4.-764的立方根是（)

A.TB.±4C.±2D.-2

5.若J』=7,則x的算術平方根是（)

A.49B.53C.7D.屈

6.（一^尸的平方根是64的立方根是y,則工十y的值為（）

A.3B.7C.3或7D.1或7

二.填空題.

7.一個自然數的算術平方根為那么與這個自然數相鄰的下一個自然數的算術平方根是.

8.在數石，瓜,（-V2）2,1.23,2，y,0.232232223…（兩個3之間依次多一個2）中無理數的

個數芍個.

9.若實數?的整數部分是3,則火的取值范圍是.

10.若〃7=J而-4,則估計機的取值范圍為,整數部分為，小數部分為.

三.解答題

11.求下列各式中的人的值.

（l）27x3-125=0（2）（x-2）3=-0.125

(3)(2X-1)2-169=0(4)4(X+1)2-1=0；

12.5+而的小數部分為a,5-而的小數部分為b,求a+b的值.

13.已知4是4的平方根，^/~y=-2,>/25=z,求x+2y-z的值.

14.已知A="P，Lm+3是非零實數九一m+3的算術平方根,B=劃”+2〃是6+2九的立方根,求

B-A的平方根.

15.比較下列各組實數的大?。?/p>

22

(1)—+1與-+1(2)----與一萬

7

(3)----與—(4)VTo+2與J65—2

2萬7

10

鉉2課后作業（溫故而知新）

1.下面的說法正確的是（）

A.有理數都是有限小數B.無理數都是無限小數

C.實數中不帶根號的數都是有理數D.數軸上任何一點都表示有理數

2.下列命題中，正確的個數為（）

①1的平方根是1；②1是1的平方根；③（-1）?的平方根是-1；④一個數的平方根等于它的算術平方根,

則這個數只能是零.

A.lB.2C.3D.4

3.,一夜，、歷，3.14,0.61414,0.1001000100001…這7個實數中，無理數的個數是（）

7

A.OB.lC.2D.3

4.若同=3,折=2,且帥＞0,則。一尻.

5.JIZ的算術平方根的相反數是.

6.如果標的平方根是等于±2,則〃=.

7.求下列各式的值.

（1）VL2T=______(2)-716=(3)±J4+—=

V36

ITg------

(5)V1_27=(6)土孫⑼=

8.解方程.

⑴(一)3=樣(2)|(5X-1)2-3=0

(3)4(31+2)2=(-5)2(4)(10-0.2x)3=-0.027

9.已知。一2的平方根是±2,2。+b+7的立方根是3,求/+從的平方根.

10.若『43300=35.12,荻=0.3512,求x.

語文老師看完一個學生的作文后，對他說：“看著你的作文，怎么老讓人打瞌睡呢？”

他眨巴著眼睛說：“那是我一邊打著哈欠，一邊寫的呀！”

12

第2講實數計算及根式初步

1.實數和有理數一樣，可以進行加減乘除及乘方的計算，而且有理數的運算法則與運算律對實數仍然適

用；實數的混合運算順序與有理數運算順序基本相同，先乘方、開方，再乘除，最后加減，同級運算

按從左往右的順序進行，有括號先算括號里的.

2.實數的乘除法運算公式

(1)乘法運算：4a4b=4ab(a>0,Z?>0)

⑵除法運算：*

序典型例題雌豐志書

例題1.1：計算.

⑴再二----------

(5)-V252-242=

(8)13.43x105=

例題12計算.

(1)4+和⑵

(3)\/92+1224->^56(4)75^9+^/a36

(5)-7(-3)x(-27)

⑹商+5f37

例題1.3：計算.

(3)^>/^01-1^2^+^1000-^3|

(4)44x256x64

⑺怖一閩+|&一收3-閩

14

知■識■要■點8

1.二次根式定義：一般地，把式子GgNO)叫做二次根式.

2.二次根式性質：

①雙重非負性：?之0,且被開方數〃NO;

②(石)=a(a>0)：

③、爐用才(:訓

[-a(a<0)

3.立方根性質：療=〃，(媯)3=〃，(歸了=-a,S=-汽

經典型例題

例題2.1：J(-4)2=#(-6)3=^/(x/3-1)2=

.卜-閩.

例題2.2：當。21時，J(j)2二.

例題2.3：若麗+1且=〃一1,則整數4的個數是()個.

A.lB.2C.3D.4

例題2.4：實數。在數軸上的對應點A的位置如圖所示：化簡|。-1|+府方=

A

-3-3-—51-53^

例題2.5：已知2Vx<3,化簡Vx2-4x4-4-J9-6X+X2

例題2.6：若x、y都是實數，且y=Jx-3+J3-X+8求x+y的值.

知■識■要■點■三

最簡二次根式：

①被開方的數不能有分母；

②被開方數中不含有能開得盡方的因式或因數.

同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，那么這幾個二次根式叫做

同類二次根式.

判斷同類二次根式時，注意以下三點：

①都是二次根式，即根指數都是2；

②必須先化成最簡二次根式；

③板開方數相同.

R典型例題iiiiiimiffia

例題3.1：把下列二次根式化成最簡二次根式，并判斷哪些是同類二次根式.

(1)712(2)724(3)728(4)732

(5)748(6)7100(7)7125(8)7200

例題3.2：把下列各式中根號外面的因式適當改變后，移到根號里面.

(1)7衣(2)-36(3)-1V10

例題3.3：下列根式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？為什么？

\/21,《,I—,427x2y,\J4x2+3,,Jo.5—,,4(x+?,—,

(其中_r>0,y>0)o

16

例題3.4：如果最簡根式丑冒2〃2+4〃和是同類根式，求相，〃的值.

例題3.5：化簡

⑴⑵y)242xy2z3(3)42a-JlOab

知■識■要■點■四

1.分母有理化定義：二次根式中分母原為無理數，而將該分母化為有理數的過程，叫做分母有理化，就

是將分母中的根號化去.

2.有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數式互

為有理化因式.有理化因式確定方法如下：

①單項二次根式：利用6?6=。來確定，如：&與&,[a+b與Ja+b,da-b與等

分別互為有理化因式.

②兩項二次根式：利用平方差公式來確定，如〃+揚與。-揚，&+血與4，

a4x+by[y^a\[x-by[y分別互為有理化因式.

3.分母有理化的方法與步驟：

①先將分子、分母化成最簡二次根式；

②將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后結果必須化成最簡二次根式或有理式.

g第噓考口。")

展房=皚-＞。)

]_4a+\fb_后+揚

yfa-y[b(\[a-4b)(\fa+\[b)a-b

例題4.1：找出下列各式的有理化因式

(l)Vl2(2)75-2(3)>/7+\/10(4)3\/2+-\/6

例題4.2：把下列各式分母有理化.

1-4石⑶需叫舄

(1)I—(2)—尸

V483V7

18

⑸"十石⑹的忑

例題4.3：計算.

2

⑴（〃斯）2（人2（））(2)^ab\la

叫亨〕

隨堂練習（方顯學霸本色）

一.選擇題.

1.下列根式中，與也是同類二次根式的是（）

A.V2B.GC.V5D.y/l

2.根式①JTL②例，③A中，與灰是同類二次根式的是（）

A.只有②B.有②③C.有①③D.不存在

3.。＜0,下列式子正確的是（）

4.當1<xv4時，化簡J1-2x+x?—-8x+16,結果是(

A.-3B.3C.2x-5D.5

5.如果最簡二次根式而不與"礪是同類二次根式，那4,〃分別為()

A.<2=0>b=2B.=3?b=\C.a=4,b=2D.。=5,b=3

二.填空題

⑴岳+2我-7^55=;⑵2而-3傷+廂=;

(3)2>/48+>/27+>/243=；(4)5>/75-45/12-57108=:

(5)7294-7252+48^=；(6)754-3>/244-55/6+1>/216=

17[y_71\2__________

(7)、32——16—=：(8)J(-2)x6x(_27)=.

V乙)\乙)

三.解答題

1.判斷下列各式是否成立。你認為成立的請在（）內打對號，不成立的打錯號.

2.將下列各式分母有理化.

-45/3⑶半

⑵研

V63

9/3

)V?08x(5)-7==⑹七

V20a

3.化簡.

(1)J2543b3(。>0,人>0)⑵J(x+)，)3(x+y>0)

20

⑶把Q。，八。）

4.若三角形三邊的長度分別是3,m，5,化簡：^（2-/n）2+7（8-/n）2.

5.當。＞0,力〉0時化簡:

(2)“徜；

⑶而際(4)10。"?dab,5J—+15^—.

6.先閱讀下列的解答過程，然后再解答：

形如Jm±14n的化簡，只要我們找到兩個數a.b,使a+b=m,出＞=〃，使得｛4a）2+（4b）2=m,

&.n=n,那么便有：

7m~14n=yl（4a±4b）2=4a±4b（a＞b）

例如：化簡J7+4小

解：首先把J7+4內化為）7+2配,這里團=7,?=12,由于4+3=7,4x3=12

即（血尸+（當尸=7,V4xV3=V12

:.J7+46=，+2阮=J（V?+同=2+V3

由上述例題的方法化簡：713-2742

111

7.計算：—j=--=-\--j=----j=+L4-,--------

VI+V2V2+V3V99+V100

8.已知x=y=2邛，求下列各式的值.

2+62-V3

⑴巖⑵X?-3xy+y2

依課后作業（溫故而知新）

2心_____________________________

1.下列根式中，與也是同類二次根式的是（）

A.72B.A/3C.A/5D.近

2.在二次根式J萬，加，樂,后，Ji中，與0是同類根式的個數為（個.

A.lB.2C.3D.4

3.下列運算中錯誤的有（）個.

@V16=4.②=?>/_32=-3；④J（-3）2=3；@±V?=3

A.4B.3C.2D.1

4.把下列各式分母有理化

⑴壺⑶柒⑷,

22

喘⑺舟2布

(5)5./-+—>/20(6)--7=

\522及

5.計算下列各式：

⑴3、石-夜+6-4&(2)V50+V32

(3)+J18+J12(4)J72+J18—V2

2

(5)(>J\2—V2—2./—)-(應-)(6)>/8+>/16->/256+724

V36

6.實數a、Z?在數軸上的位置如圖所示,化簡|。+4+J(b—〃)2.

111

a0b

7.已知〃、7滿足，/-2+忸+3|=0,求(4+Z?嚴3的值

8.已知y=j2x—4—2j4—2x+3,求爐的值.

9.已知AABC中，AB=17,AC=10,BC邊上的高AD=8,則邊BC的長為多少？

10.當2Vxv3時，求代數式J16—16x+4f+|2x-6|的值.

語文老師看完一個學生的作文后，對他說：“看著你的作文,怎么老讓人打瞌睡呢？”

他眨巴著眼睛說：“那是我一邊打著哈欠，一邊寫的呀！”

第3講勾股定理的計算

1.勾股定理的內容：如果直角三角形的西直角邊分別是。、b,斜邊為C,那么6+〃=c2.即直角三

角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

注：勾——短的直角邊；股——長的直角邊；弦——最長的邊，即斜邊.

注意：

(1)勾股定理的成立的前提條件是三角形是，對于非直角三角形的三邊之間則不存在此種關系.

(2)利用勾股定理時，必須分清誰是,誰是.

尤其在記憶/=「2時，此關系式只有當___________是斜邊時才成立.

若力是斜邊，則關系式是;

若a是斜邊，則關系式是.

(3)勾股定理有許多變形，如c是斜邊時，由"+從=。2,得,等.

n典型例題

例題1.1：

(1)在RrZXABC中，a=Scmfb=10c〃z,ZB=9()°,則第三邊長c=.

(2)已知A43C中，三邊長a、b、c為整數,其中。=3cm,b=4cm,則第三邊長c=

(3)在RtAABC中，ZC=90°,且2a=3力，c=2屈,貝i」a=,b=.

例題1.2：直角三角形周長為12cm,斜邊長為5c帆，則直角三角形的面積為.

練習1.1：在A4BC中，ZC=90°,

(1)若a=3,b=4,則。=：

(2)若a=6,c=10?則匕=：

(3)若a:b=3:4,c=5,則。=?b=.

練習1.2：若一個直角三角形的面積為6c小,斜邊長為5cm,則該直角三角形周長為()

A.lanB.10cwC.(5+JJ7)cmD.12cm

例題1.3：在&/XABC中，己知兩邊長為3、4,則第三邊長c=.

例題1.4：已知在AA8C中，A8=4,AC=3,5c邊上的高等于2.4,求的周長.

練習1.3：如果直角三角形三邊長為10、6、x,則最短邊上的高為

2.勾股定理的證明：

根據同一種圖形（或兩個全等的圖形）面積的不同表示方法列出等式，從而推導出勾股定理.

例題1.5：圖（1）和圖（2）中的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，利用圖（1）或圖（2）兩個圖形中有關

面積的等量關系都能證明數學中一個十分著名的定理，這個定理稱為,該定理的結論其數學表達

式是,其中圖（1）是中國數學史上有名的（數學家的名字）弦圖，又叫勾股圓方圖.請簡單

寫出兩個圖的證明過程.

例題1.6：在北京召開的第24屆國際數學家大.會的會標取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》，它

是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）.如果大正方形的面積是

13,小正方形的面積是1,直角三角形的較短直角邊為。，較長直角邊為。，那么（。+勿2的值為（）

A.169169-B.175144-C.100D.25

練習1.5伽菲爾德（Garfield,1881年任美國第20屆總統）利用“三個直角三角形的面積和等于一個直角梯

形的面積”（如圖所示）證明了勾股定理，請你應用此圖證明勾股定理.

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3.利用勾股定理求面積

關鍵是注意轉化思想的應用.把所求的面積轉化到已知的數量關系中去.

例題1.7；如圖，以R/AA8C的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為E，S2,S3,且岳=4,$2=12,則A8的

長為.

（例題1.7圖）（例題1.8圖）

例題1.8：如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長

為7cm,則正方形AB,C,。的面積之和為cm2.

例題1.9：如圖，已知/JI%，相鄰兩條平行直線間的距離相等且為1，若等腰直角AABC的三個項點分

別在這三條平行直線上，ZC=90°,求AABC的面積.

練習1.6：①如圖，陰影部分是一個半圓，則陰影部分面積為.

②如圖，已知直角A4BC的兩直角邊分別為6,8,分別以其三邊為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積

為_________.

B

（練習1.6?S）（練習1.7圖）

練習1.7：如圖，由四個邊長為1的小正方形構成一個大正方形，連接小正方形的三個頂點，可得到AABC,

則A48C中BC邊上的高是.

練習1.8：如圖所示為一種“羊頭''形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直

角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②，…，依此類推，若正方形①的面積為64,

則正方形⑤的面積為（）.

（練習1.8圖）（練習1.9圖）

練習1.9：如圖，直線/上有三個正方形a,b,c,若a,c的面積分別為5和II,則b的面積為（）.

A.6C.11D.16

e

1.勾股定理的逆定理:

如果三角形的三邊長a,b,c滿足/十〃=。2那么這個三角形是直角三角形.

注：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是:

①確定最大邊（不妨設為c）；

②若/+//則&48c是以NC為直角的直角三角形；

若/+〃＜則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；

若小＞02則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）.

序典型例題||川山甘出曲

例題2.1：判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形.

⑴a=7,b=24,c=25；

43

(2)(7=—,b=\c=—;

3t4

(3)a=m2-n2,b=trr+n2,c=2mn(in>n>0).

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練習2.1：五根小木棒，其長度分別為7,15,20,24,25,現將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是

例題2.2：已知久b、c是A4BC的三邊長，且滿足關系二^工7+修-勿=0,

則AABC的形狀為.

例題2.3：已知：a、b、c為A4BC的三邊且滿足/+從+°2+338=iOa+24b+26c,試判斷A/WC

的形狀.

練習22已知公b、c為A4BC三邊，且滿足（/—/）（/+/一。2）=。，則它的形狀為（）三角形.

A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角

練習2.3：三角形的三邊長為（a+b）2=T+2",則這個三角形是（）三角形

A.等邊B.鈍角C.直角D.銳角

練習2.4：已知A48c的三邊分別為以b、c且a+b=3,ab=l,c=布,試判斷A48C的形狀，并說明

理由.

2.勾股數：

滿足/+6=/的三個_________,稱為勾股數.勾股數擴大相同_______后，仍為勾股數.

常用勾股數：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17.

例題2.3：下列數據中，哪一組不是勾股數（）.

A.7,24,25B.9,40,41C.3,4,5D.8,15,19

例題2.4：下列數組中，不是勾股數的是（）.

A.14,48,50R.9,12,15C.3,4,5D.1.5,2,2.5

1.利用勾股定理及逆定理求面積（長度）

關鍵是找出直角三角形或構造直角三角形，把實際問題轉化為直角三角形的問題.

常見的方法有：

①利用高（作垂線）構造直角三角形：

②利用已知直角構造直角三角形；

③利用勾股定理構造直角三角形.

n典型例題lllimtliffii

例題3.1：如圖，校園內有兩棵樹，相距12加，一棵樹高13機，另一棵樹高8根，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到

另一棵樹的頂端，至少要飛多少米？

；8m

I

例題3.2：如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,CD=\2cm,DA=\3cm,且NABC=900.求

四邊形ABCD的面積.

例題3.3：如圖，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1,且ZB=90。,

⑴求ND48的度數;

（2）若4?=1,求S四邊形we的值?

30

練習3.1：如圖，N8=90。，8=6,OE=8,AB=BC=30,CE=10.求四邊形488的面積.

練習3.2：如圖