第八節函數的圖像

考綱解讀

1.掌握描繪函數圖像的兩種基本方法——直接描點法(列表描點)和圖像變換法.

2.會利用函數圖像進一步研究函數的性質，解決方程和不等式中的問題.

3.會用數形結合、轉化與化歸的思想，分析解決數學問題.

命題趨勢探究

基本初等函數的圖像是高考中的重要考點之一，是用來研究其他圖像問題的基礎，是研究函

數性質的重要工具.

解決此類問題的重要思路是要利用函數性質與圖像之間的對應關系去比照，如定義域、單調

性、奇偶性、特殊點等.

高考中總是以幾類基本初等函數的圖像為基礎來考查函數圖像，往往結合函數行之一并考

察，題型主要是選擇題與填空題，考查的形式主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換(平移

變換、對稱變換)以及靈活地應用圖像解題，屬于每年必考內容之一

知識點精講

一、掌握基本初等函數的圖像

(1)一次函數；(2)二次函數；(3)反比例函數；(4)指數函數；(5)對數函數；(6)三

角函數.

二、函數圖像作法

1.直接回

①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質：奇偶性(或其他對稱性)、單調性、周期性、

凹凸性；④特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線(對稱軸、漸近線等).

2.圖像的變換

(1)平移變換

①函數y=/(x+。)(。>0)的圖像是把函數y=f(x)的圖像沿x軸向左平移。個單位得到

的；

②函數y=f(x—a)(a>0)的圖像是把函數y=/(x)的圖像沿x軸向右平移a個單位得到

的；

③函數y=/(x)+a(a>0)的圖像是把函數y=/(%)的圖像沿y軸向上平移a個單位得到

的；

④函數y=/(x)+a(a>0)的圖像是把函數y=/(x)的圖像沿y軸向下平移a個單位得到

的；

(2)對稱變換

①i:函數y=f(x)與函數y=/(-x)的圖像關于y軸對稱；

ii：函數y=f(x)與函數y=-/(x)的圖像關于x軸對稱；

iii：函數y=/(x)與函數y=-/(-x)的圖像關于坐標原點(0,0)對稱；

②i：若函數/(%)的圖像關于直線x=。對稱，則對定義域內的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)/(x)=/(2a-x)(實質上是圖像上關于直線x=a對稱的兩點

連線的中點橫坐標為a,即”LX)+(“+“=”為常數);

2

ii：若函數/(x)的圖像關于點(a,。)對稱，則對定義域內的任意x都有

/(x)-2b-f(2a-x)^f(a—x)--2b-f[a+x)

③y=|/(x)|的圖像是將函數/(x)的圖像保留x軸上方的部分不變，將x軸下方的部分

關于x軸對稱翻折上來得到的(如圖2-21(a)和圖2-21(b))所示

④y=/(可)的圖像是將函數/(%)的圖像只保留y軸右邊的部分不變，并將右邊的圖像

關于y軸對稱得到函數y=/(W)左邊的圖像即函數y=/(|x|)是一個偶函數(如圖2-2i(c)

圖2-21

注：|/(x)|的圖像先保留了(尤)原來在X軸上方的圖像，做出X軸下方的圖像關于X軸對稱

圖形，然后擦去X軸下方的圖像得到；而/(國)的圖像是先保留/(x)在y軸右方的圖像，

擦去y軸左方的圖像，然后做出y軸右方的圖像關于>軸的對稱圖形得到.這兩變換又叫翻

折變換.

⑤函數>=/7(處與〉=/(幻的圖像關于〉=%對稱.

(3)伸縮變換

①y=4/U)(A>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的縱坐標伸長(A>1)或縮短

(()<A<1)到原來的A倍得到.

②y=f(coxXco>0)的圖像，可將y=/(x)的圖像上的每一點的橫坐標伸長(0<啰<1)或

縮短｛co>1)到原來的-倍得到.

3

題型歸納及思路提示

題型31由式選圖（識圖）

思路提示

利用函數的性質（如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項,

從而篩選出正確答案

例2.70函數y=2、的圖像大致是（）

變式1函數y=Ineos工一5的圖像是（）

ABCD

變式2在同一坐標系中畫出函數y=log.x,y=優,y=x+。的圖像，可能正確的是()

變式3函數y=ax2+與y70,同w網在同一直角坐標系中的圖像可能

是()

AB

ABCD

題型32函數圖像的應用

思路提示1

利用函數圖像判斷方程解的個數.由題設條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得

到方程解的個數.

例2.71函數/(x)=21logo,5M—1的零點個數為()

A1B.2C.3DA

—x22

變式1已知函數，(x)={x'-，若關于x的方程/(x)=Z有兩個不同的實根,

(x-l)3,x<2

則實數上的取值范圍是

變式2直線y=l與曲線丁=/一國+。有4個交點，則a的取值范圍是

變式3函數/(x)=21nx的圖像與函數g(x)=/-4x+5的圖像的交點個數為()

A3B.2C.lD.0

變式4設定義域為R的函數/(x)=[旭K-則關于X的方程

0(%=1)

[/(尤)]2+妙(*)+。=0有7個不同實數解的充要條件是()

也<0且c>08。>0且c<0

C￡<0且c=020且c=0

S〔T—Ifr>01

變式5設定義域為R的函數/(%)=l，，若關于x的方程

x2+4x+4(x<0)

[/(%)]"-2mxf(x)+m2=。有7個不同實數解，則〃2=

思路提示2

利用函數圖像求解不等式的解集及參數的取值范圍.先作出所研究對象的圖像，求出它們的

交點，根據題意結合圖像寫出答案

12T—l(x<0)

例2.72設函數/(X)=1，若則X。的取值范圍是()

>0)

A(-1,D8(-1收)

C.(—8,2)U(0,W1D(F,-1)U(L+8)

變式1(2010新課標全國卷理24)設函數/(x)=|2x-4|+l,若不等式的解集非

空，求。的取值范圍.

“+4x(x>0)若不等式/Q一/)>,則實數&的取值范圍

變式2已知函數/(x)=.

4x-x(x<0)

是()

A、(-8,-l)u(2,+oo)B、(―1,2)C、(―2,1)D、(—oo,—2)(1,4-00)

2

變式3(2012福建理15)對于實數。和b,定義運算“*”：，設

b~-ab,a>b

/W=(2X-1)*(x-1),且關于X的方程/(x)=m(meH開合有3個互不相等的實數根x1

,x2,x3,則X|X2X3的取值范圍是.

|lgx|(0<x<10)

變式4已知函數/(x)=<1/、，巷a,"c互不相等，且/(a)=/[)=/(c),則

-]X+6(x>10)

的取值范圍是()

A、(1,10)B、(5,6)C、(10,12)D、(20,24)

思路提示3

利用函數圖像求函數的最值，先做出所涉及到的函數圖像，根據題目對函數的要求，從

圖像上尋找取得最值的位置，計算出結果，這體現出了數形結合的思想。

例2、73用min{〃,dc}表示三個數中的最小值，設/(x)=min{2*,x+2J0-x}

(x>0),則/(x)的最大值為()

A、4B、5C、6D、7

變式1設/（x）=1—2/,g（x）=/-2x,若p（x）=，（x）；g（x）-：（x）；g（",則F（x）

的最大值為.

Q

變式2已知兩條直線4:y=初和4：y=f1（，〃〉O）4與函數〉=|log2M的圖像從左

到右相交于點A,8,4與y=|bg2X的圖像從左到右相交于點C。，記線段AC和30在

x軸上的投影長度分別為。,江當加變化時，2的最小值為（）

a

A、1672B、872C、8^4D、4^4

最有效訓練題

1、若點(。力)在y=igx圖像上，則下列點中也在此圖像上的是()

A、B、C、(旦力+1]D、(a2,2b)

2、為得到函數y=log2的圖像，可將函數y=bg2X的圖像上所有點的()

A、縱坐標縮短到原來的,，橫坐標不變，再向右平移1個單位長度.

2

B、縱坐標縮短到原來的,,橫坐標不變，再向左平移1個單位長度.

2

C、橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向左平移1個單位長度.

D、橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移1個單位長度.

3、函數y=/(x)的圖像如圖2—26所示，則函數y=log]/(x)的圖像大致是()

4,函數y=xln(-x)與y=xlnx的圖像關于()

A、直線y=x對稱B、x軸對稱C、y軸對稱D、原點對稱

5、若函數y=滿足f(x+2)=f(x),且xe(-時，/(%)=國.則函數

y=/(x)的圖像與函數y=bg4W的圖像的交點個數為()

A、3B、4C、6D、8

6、函數y=/(x)與函數y=g(x)的圖像分別如圖2—27(a)(b)所示.則函數

y=/(x)-g(6的圖像可能是()

⑷圖2-27(勿

7、把函數y=bg2(-2x+3)的圖像向左平移1個單位長度得到函數的圖像.

8、指數函數y=的圖像如圖2—28所示，則二次函數y=的頂點的橫坐標

圖2-28

9、若a>1,則函數