專題L2勾股定理的逆定理【八大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1判斷三邊能否構成直角三角形】...........................................................1

【題型2圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】..................................................3

【題型3在網格中判斷直角三角形】..............................................................6

【題型4勾股數的探究】.........................................................................9

【題型5利用勾股定理的逆定理證明］...........................................................13

【題型6利用勾股定理的逆定理求解】...........................................................16

【題型7勾股逆定理的應用】....................................................................19

【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】...........................................................23

?舉一反三

【知識點勾股定理的逆定理】

如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形就是直角三角形.

【題型1判斷三邊能否構成直角三角形】

【例1】（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱德強學校校考期中）由線段人從c組成的三角形是直角三角

形的是（）

A.a=5,b=3,c=3B.a=^,b=^,c=-

354

C.a=6,b=4,c=5D.a=7,b=24,c=25

【答案】D

【分析】根據勾股定理的逆定理，進行計算即可解答.

【詳解】解:A、32+32=18*52,故不能組成直角三角形，故不合題意；

B、GY+GY=益工（!）?故不能組成直角三角形，故不合題意；

C、42+52=41662,故不能組成直角三角形，故不合題意；

D、72+242=625=252,故不能組成直角三角形，故不合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

【變式1-11（2023春?湖北孝感?八年級統考期中）一個三角形的三邊長分別為a,b,c,且滿足（Q+b）（a-h）=

c2,則這個三角形是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不確定

【答案】B

【分析】將原式整理為〃=b2+c2f即可判斷.

【詳解】解：:,（a+b）（a—b）=

Aa2—b2=c2,

/.a2=b2+c2,

???這個三角形是直角三角形；

故選:B.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和平方差公式，熟練掌握勾股定理逆定理、得出。2=廿+。2是解題

的關鍵.

【變式1-2]（2023春?八年級單元測試）如圖，以△4ZJC的兩邊3C、AC分別向外作正方形，它們的面積分

2

別是Sr52，若Si=2,S2=3,AB=5,則△4BC的形狀是________三角形.

【答案】直角

【分析】根據正方形的面積公式結合勾股定理的逆定理即可得出答案.

【詳解】解：/Si=2,S2=3,

：.BC2=2,AC2=3,

'：AB2=5,

：.AC2十BC2=AB2,

???A718。是直角三角形，

故答案為：直角.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理和正方形面積的應用，理解勾股定理的逆定理的內容是解題的關鍵.

【變式1-3]（2023春?廣東惠州?八年級校考期中）有四種說法：①三個內角之比為5:6:1；②三邊形長分別

為：V2,V7,V5；③三邊之長為9、40、41；④三邊之比為1.5：2：3.其中層直角三角形的有

（填序號）.

【答案】①②③

【分析】根據三角形內角和定理和勾股定理進行求解即可.

【詳解】解：???三角形三個內角之比為5:6:1,

???三角形最大的內角為180。x=90°,

5+6+1

?.?該二角形為直角三角形，故①正確；

???（a）2+（伺2=（⑺2,

???該三角形為直角三角形，故②正確；

V92+402=412,

???該三角形為直角三角形，故③正確；

V1.52+22工32,

???該三角形不是直角三角形，故④錯誤；

故答案為：①②③.

【點睛】本題主要考查了三角形內角和定理，勾股定理得逆定理，熟知三角形內角和為180度和勾股定理的

逆定理是解題的關鍵.

【題型2圖形上與已知兩點構成直角三角形的點】

【例2】（2023春.全國.八年級專題練習）同一平面內有4R,C三點,A,B兩點之間的距離為5cm.點C到

直線48的距離為2cm,且△ABC為直角三角形，則滿足上述條件的點C有個.

【答案】8

【分析】該題存在兩種情況；（1）A8為斜邊，MzC=90°；（2）A8為直角邊，AC=2cm^C=2cm：

【詳解】（1）當4B為斜邊時，點C到直線48的距離為2cm,即AB邊上的高為2cm,符合要求的。點有4

個，如圖：

（2）當A8為直角邊時，AC=2cm或BC=2cm,符合條件的點有4個，如圖;

而可得出m=0：當NOBA=90。時，點B在x軸上，進而可得出m=5；當NAOB=90。時，利用勾股定理

可得出關于m的一元二次方程，解之即可得Him的值.綜上，對照四個選項即可得出結論.

【詳解】

解：分三種情況考慮（如圖所示）：

當NOAB=90。時，m=0；

當NOBA=90。時，m-5=0,解得：m=5；

當NAOB=90。時，AB2=OA2+OB2,即25=4+m2+4+m2Tom+25,

解得：mi=1,012=4.

綜上所述：m的值可以為0,5,I,4.

故選B.

【點睛】本題考查了坐標與圖形性質以及勾股定理，分NOAB=90。，ZOBA=90°,NAOB=90。三種情況

求出m的值是解題的關鍵.

【變式2-3】（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1,點A,8在小正

方形的頂點上，在圖中畫ZL4BC（點C在小正方形的頂點上），使ZL4BC為直角三角形，并說明理由.（要求

畫出兩個，且兩個三角形不全等）

1..

【答案】小WC為直角三角形，理由詳見解析?.

【分析】根據勾股定理逆定理和勾股定理進行判斷即可.

【詳解】解；如圖所示.

如圖I,在中，

AC=5,BC=3,

AB2=32+52=34

因為心+BC2=52+32=34=AB2f

所以乙ACB=90°,

即/ABC為直角三角形.

如圖2,在RSACD中,

AC2=CD2+AD2=I24-l2=2.

在AM8CE中，CB2=CE2+BE2=42+42=32.

在/中，AB2=AF2+BF2=32+52=34.

所以4c2+c/2=AB21

所以2cB=90%即2MBe為直角三角形.

【點睛】考核知識點：根據勾股定理逆定理畫直角三角形.掌握勾股定理逆定理并會運用是關鍵

【題型3在網格中判斷直角三角形】

【例3】（2023春?北京西城?八年級校考期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,△力BC的

三個頂點A,8,。都在格點上，，1。是BC邊上的中線，那么力。的長為（）

A.2.5B.3C.2V2D.V5

【答案】A

【分析】由勾股定理可得4。2=5,8。2=25,482=20,則4。2+432=8。2,即△A8C是直角三角形，然后

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答.

【詳解】解：由勾股定理可得4。2=5,8。2=25,力”=20,

：.AC2+AB2=BC2,即△力BC是直角三角形,

,?MD是BC邊上的中線,

：.AD=^BC=2.5.

故選：A.

【點睛】本題主要考行了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質等知識點，根據勾股定理逆定理判定

是直角三角形是基礎，掌握斜邊上的中線的性質是解題的關鍵.

【變式3-1］（2023春?廣東湛江?八年級校考階段練習）如圖，每個小正方形的邊長為I,A、B、。是小正方

形的頂點，則乙4BC的度數為.

【答案】45°

【分析】根據勾股定理得到48,BC,4。的長度，再判斷△ABC是等腰宜角三角形，進而得出結論.

【詳解】解:如圖，連接4C，

C

2222

由題意，AC=V2+I=V5,BC=&2+12=75,AB=Vl+3=VW,

：.AC=BC,AB2=AC2+BC2,

???A/IBC是等腰直角三角形，且乙4CB=90。，

：.LABC=乙CAB=45°.

故答案為：45°.

【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質，判斷出△48C是等腰直角三

角形是解決本題的關鍵.

【變式3-2］（2023春?廣東惠州?八年級校考階段練習）如圖，每個小正方形的邊長為1.

（1）求四邊形43C0的面枳與周長；

⑵求證：乙BCD=90°.

【答案】（1）周長為：8&+2舊；面積為：32

⑵見解析

【分析】（1）借助正方形的小格，根據勾股定理分別計算四邊形的各邊的長，從而求得四邊形的周長;

（2）在△4BC中，根據勾股定理的逆定理進行判定.

【詳解】（1）解：根據勾股定理可知48=3V2,BC=V34.CD=V34,AD=5

???四邊形48CD的周長為3&+5V2+V34+V34=8V2+2734；

面積為：8x8--x3x3--x5x5--x5x3--x3x5=32.

2222

（2）證明：連接8D,

???BC=V34,CD=V34,DB=倔,

?.BC2+CD2=BD2.

是直角三角形，即48CD=90°.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的運用以及勾股定理逆定理的之用，掌握勾股定理是解題的關鍵.

【變式3-3】(2023春?八年級單元測試)如圖所示的是2x5的正方形網格，點4B,P都在網格點上，則

乙4PB=.

【答案】135°

【分析】根據勾股定理和勾股定理的逆定理可得aPCB是等腰直角三角形，可得48PC=45。，即可求解.

【詳解】解?：延長AP至C,連接BC,

CP=CB=V22+I2=V5,

BP=V32+I2=V10,

?.?(匹)2+(V5)2=(V10)2,即CP?+CB2=BP2,

??.△PC8是等腰直角三角形，

Z.BPC=45°,

：.LAPB=180°-45°=135°,

故答案為:135°.

【點睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關鍵是得到APCB是等腰直角三角形.

【題型4勾股數的探究】

【例4】(2023春?安徽阜陽?八年級統考期末)法國數學家費爾馬早在17世紀就研究過形如/+/=z2的方

程，顯然，這個方程有無數組解.我們把滿足該方程的正整數的解(x,y,z)叫做勾股數.如(3,4,5)就是一組

勾股數.

(1)請你再寫出兩組勾股數：(),();

(2)在研究直角三角形的勾股數時，古希臘的哲學家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數，％=2⑶y=

n2-l,z=n2+l,那么，以％,y,z為三邊的三角形為直角三角形（即，y,z為勾股數），請你加以證

明.

【答案】（1）5,12,13：7,24,25

（2）證明見解析

【分析】（1）根據/+y2=z2,即可得出5,12,13、7,24,25是勾股數：

（2）根據勾股定理的逆定理，可得答案.

【詳解】（1）???52+122=169,132=169,

AS2+122=132,

A5,12,13是勾股數；

V72+24Z=625,25Z=625,

A72十242=252,

???7,24,25是勾股數；

故答案為：5,12,13；7,24,25；

（2）證明：Vx=2n,y=n2—1,

工/+y2

=（2n）2+（n2-I）2

=4n2+n4-2n2+1

二小+2n2+1

=（n2+l）2

=z2,

即北y,z為勾股數.

???以x,y,z為三邊的三角形為直角三角形.

【點睛】此題考查勾股逆定理的證明，勾股數的規律探究，掌握勾股逆定理的證明，根據勾股定理得出勾股

數是解題的關鍵.

【變式4-1]（2023春?四川達州?八年級校考期中）以下列各組數據中的三個數，其中是勾股數的是（）

A.V3,Ax^5B.6,8,10C.1,AV3D.2,3,4

【答案】B

【分析】根據勾股數的定義進行分析，從而得到答案.

【詳解】解:A、V32+V42=7,V52=5,7/5,故此選項錯誤;

B、62+82=100,102=100,且100=100,故此選項正確;

C、12+V22=3,V32=3,3=3,V2,百不是整數，故此選項錯誤:

D、22+32=13,42=16,13R16,故此選項錯誤.

故答案為：B.

【點睛】此題考查了勾股數，解答此題要用到勾股定理的逆定理和勾股數的定義，滿足a2+/=c2.

[變式4-2]（2023春?全國?八年級專題練習）一個直角一角形三邊長都是正整數，這樣的直角三角形叫做“整

數直角三角形”，這三個整數叫做一組“勾股數''老師給出了下表（其中〃?，〃為正整數，且m>〃）：

m23344???

n11212???

222222

a2+I3+I32+2242+124+2???

b4612816???

22222222

c22-123-l3-24-l4-2???

（1）探究a，b,。與機，〃之間的關系并用含〃1,〃的代數式表示：a=,b=,c=

⑵以a,b,c為邊長的三角形是否一定為直角三角形？請說明理由.

【答案】（Dm?+2mn,m2-n2

（2）以小力，c?為邊長的三角形一定為直角三角形，理由見解析

【分析】（1）根據給出的數據總結即可；

（2）分別計算出a?、b\c2,根據勾股定理逆定理進行判斷.

【詳解】（1）解：觀察可得〃二h2+力2,h=2rnn,「二.2—”2,

2222

故答案為：m+nf2mn,m-n；

（2）以a,b,c為邊長的三角形一定為直角三角形，理由如下：

a2=（m2+*）2=m4+2m2n24-n4,

22444224

bc=m—27n2n2+n+4m2n2=m4-2mn+n?

.'?a2=b2+c2,

???以a,b,c,為邊長的三角形一定為直角三角形.

【點睛】本題考查了勾股數，勾股定理的逆定理，熟練掌握：如果三角形的三邊長Q,b,C滿足o2+垓=c2,

那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵.

【變式4-3](2023春?重慶北倍?八年級西南大學附中校考期中)勾股定理是一個基本的幾何定理，早在我國

西漢時期算書《周髀算經》就有“勾三股四弦五”的記載.如果一個直角三角形三邊長都是正整數，這樣的直

角三角形叫“整數直角三角形這三個整數叫做一組“勾股數”,如：3,4,5：5,12,13；7,24,25；8,

15,17；9,40,41等等都是勾股數.

(I)小李在研究勾股數時發現，某些整數直角三角形的斜邊能寫成兩個整數的平方和，有一條直角邊能寫

成這兩個整數的平方差.如3,4,5中，5=22+/,3=22-產；5,12,13中，13=32+22,5=3?-2?；請

證明：〃?，〃為正整數，且〃?>〃，若有一個直角三角形斜邊長為楸2+若,有一條直角長為機2_則該直角

三角形一定為“整數直角三角形”；

(2)有一個直用三角形兩直角邊長分別為舊廠7和"150-30b,斜邊長4質，且“和”均為正整數，用

含3的代數式表示內并求出，和〃的值；

(3)若C尸a『+歷2,C2=a22+b22f其中，。八④、b/、岳均為正整數.證明：存在一個整數直用三角形，其

斜邊長為C/?C2.

【答案】(1)見解析；(2)a=W絲，。=31,〃=4；(3)見解析

【分析】(I)根據勾股定理:利用(mW)2-(>-〃2)2,解得另一條直角邊長為29,因為/〃，〃為正

整數,所以29也為正整數，即可得證;

(2)首先根據勾股定理求出Q關于b的代數式，再根據被開方數錯大于等于()，即可求得a、b的范圍，且a、

b均為正整數，將〃的可能值：1,2,3,4分別代入，即可求得符合條件的正整數a、b；

(3)觀察發現，當力=6=1,。2=岳=2時，,?C2=5X5=25,而252=15?+20Z,故存在.

【詳解】(1)證明：,:(〃『+〃2)2.2

=Cnr+rr+m2-n2)?(nr+n2-nr+n2)

=2〃P?2/

=(2/wz)2,

:.(2mn)2+(加2_/)2=(機2+/)2,

為正整數，且〃?>〃，

2mn,nr-n2,m2+n2均為正整數，

???該直角三角形一定為“整數直角三角形”；

(2)由勾股定理得;

7a-7+(150-30/?)=16x15,

.97+30b

..a=-----,

7

由題意可知：7a-7>0,150?30與>0,

0<b<5,

??Z和b均為正整數，

??"的可能值為：1,2,3,4,

當b=l時，。=爐=早，不是正整數，故b=l不符合題意；

當b=2時，。=寧二手，不是正整數，故方=2不符合題意；

當b=3時，。=亨=手，不是正整數，故〃=3不符合題意；

當b=4時，a=答空=半=31,是正整數，此時V7a-7=/HU,150-30b=歷,

V（^10）2+（V30）2=240,（4715）2=240,

.,.(V210)2+(V30)2=(4V15)2,

:?匕=4符合題意,

（3）證明：觀察發現，當〃/=力/=1,〃2=岳=2時，C?O2=5X5=25,

152+202=225+400=625,252=625,

A152+202=252.

???存在一個整數直角三角形，其斜邊長為。?C2.

【點睛】本題目考查勾股定理，難股一般，也是中考的常考知識點，熟練掌握勾股定理的應用以及二次根式

的相關性質是順利解答此題的關鍵.

【題型5利用勾股定理的逆定理證明】

【例5】（2023?江蘇?八年級假期作業）如圖，已知垂足為。，BD=1,CD=2,AD=4.求證:

/-ACB=90°.

ADB

【答案】見解析

【分析】根據勾股定理得出8c2,AC2,進而利用勾股定理的逆定理解答即可.

【詳解】證明：VCDLAB,垂足為。，BD=1,CD=2,AD=4,

：.BC2=BD2+CD2=l2+22=5,AC2=AD2+CD2=42+22=20,

=AD+BD=4+1=5,

：,AB2=25=AC2+BC2=20+5,

???A48。是直角三角形，

：.LACB=90°.

【點睛】此題考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理與其逆定理的區別是解題的關鍵.

【變式5-1](2023?江蘇?八年級假期作業)在4力BC的三邊分別是Q、b、c,且Q=n2-1,b=2n,c=n2+1,

判斷△ABC的形狀，證明你的結論.

【答案】直角二角形，理由見解析

【分析】根據勾股定理的逆定理判斷即可.

【詳解】解：M-l,b=2幾c=M+1

Aa2=(n2-=n4-2n2+1,

b2=(2n)2=4n2,

c2=(n2+l)2=n4+2n2+1,

：.a2+b2=c2,

故A是直角三角形.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，會利用勾股定理的逆定理判定三角形是否為直角三

角形是解答的關鍵.

【變式5-2](2023春?八年級課時練習)如圖，以△ABC的每一條邊為邊作三個正方形.已知這三個正方形

構戊的圖形中，綠色部分的面積與藍色部分的面積相等，則△ABC是直角三角形嗎？請證明你的判斷.

【答案】△48C是直角三角形，證明見解析

【分析】設坐標綠色部分的面積和為。，右邊綠色部分的面積為從藍色部分的面積和為c，坐標空白部分的

面枳為d，右邊空白部分的面枳為e,

【詳解】設坐標綠色部分的面積和為。，右邊綠色部分的面積為從藍色部分的面枳和為c,坐標空白部分的

面積為d,右邊空白部分的面積為。，然后根據綠色部分的面積與藍色部分的面積相等列式得到(a+d)+

(b+e)=c+d+e,然后由a+d=AC?/,+。=8C?求解即可..

???綠色部分的面積與藍色部分的面積相等

.\a+b=c

，a+b+d+e=c+d+e

:.(a+d)+(b+e)=c+d+e

a+d=AC2,b+e=BC2

，c+d+e=AB2

：.AC2+BC2=AB2

???440。足直角二角形.

【點睛】此題考查了勾股定理的逆定理的運用，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理的逆定理.

【變式5-3](2023春?江蘇鹽城?八年級統考期中)如圖，在△力8C中，AB=7,AC=25,4D是中線，點E

在的延長線上，且A0=ED=12.

(1)求證：ZiCDE三△BDA；

(2)證明:CE1AE；

(3)求A/IBC的面積.

【答案】(I)見解析

(2)見解析

(3)84

【分析】(1)根據SAS證明ZiCDE三△BZM即可；

(2)結論：△4CE是宜.角三角形；首先根據推出CE=AB=7,最后根據勾股定理的逆定

理即可證明：

（3）由全等三角形的性質得出SM§C=SAAC￡，所以計算△ACE的面積，即可得出aABC的面積.

【詳解】（1）證明：??N。是邊8c上的中線，

：.BD=CD,

在A8ZX4和ZiCDE中，

（AD=BD

\LADB=乙EDC，

（BD=CD

/.ACDE三4BDA（SAS）,

（2）結論：△4CE是直角三角形；

理由：由（1）知：△CDEBDA,

：,CE=AB=7,

f：AD=ED=12,

C,AE—24,

'：AE2+CE2=242+72=625,AC2=252=625,

.\AE2+CE2=AC2,

：,LE=90°,

是直角三角形；

（3）a：^CDE^^BDA,

??SACDE+^AADC=S&ADC+SA80A，

??SAABC=S—CE，

VS^ACE=-AE-CE=-x24x7=84,

22

??S^ABC=84。

【點睛】此題是三角形的綜合題，考查三角形全等的判定與性質，勾股定理的逆定理的運用,三角形的面積

計算方法，掌握三角形全等的判定方法與勾股定理逆定理是解決問題的關鍵.

【題型6利用勾股定理的逆定理求解】

【例6】（2023春?山西呂梁?八年級統考期末）如圖，在△48C中，AB=5,BC=4,AC=.,將三角形紙

片沿4D折疊，使點C落在邊上的點E處，則△BDE的周長為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】利用勾股定理的逆定理判斷出4c=90。，利用翻折不變性可得4E=4C=3,推出BE=2,即可解

決問題.

【詳解】解：在中,*：AB=5,BC=4,AC=3,

222

：,AB=BC+ACf

???AABC是直角三角形，且乙C=90。，

由翻折的性質可如：AE=AC=3,CD=DE,

：,BE=2,

:.kBOE的周長=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=4+2=6,

故選:D.

【點睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

【變式6-11（2023春?湖北襄陽?八年級統考期中）如圖，在△43c中，點D在218上"8=AC,BC=S,BD=3,

CD=4.求AC的長.

【答案】AC=^-

6

【分析】由勾股定理的逆定理判定48DC=90。，再在Rta/IQC中利用勾股定理列方程即可解答.

【詳解】解：VFC=5,BD=3,CD=4,

：.BD2+CD2=32+42=25=BC2.

工乙BDC=90°.

：.LADC=180°-乙BDC=90°.

:.AD2-\-CD2=AC2.

設4c=x.

*：AB=AC,BD=3,

*.AD=x—3.

：.(X-3)2+42=X2.

解得”=

6

：,AC=-.

6

【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用，解題的關健在于熟練掌握定理，靈活運用.

【變式6-2](2023春?河南開封?八年級統考期末)己知△力8。的三邊分別為〃、b、c,且滿足(Q+2b-II)2+

12a-b-21=10c-25-c2,請你判斷△力8c的形狀，并求出其周長與面積.

【答案】△48C是直角三角形，它的周長是12,面積是6

【分析】首先把原等式變形為(a+2b-ll)2+|2a-匕一2|+(c-5)2=0,利用非負數的性質，建立三元

一次方程組，求得〃、從。的數值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀，進一步求得周長和面積即可.

【詳解】解：由題意得(a+2b-ll)2+|2a-b-2|+c2-10c+25=0,

+2b-ll)2+|2a-b-2|+(c-5)2=0,

(a+2b—11=0

：?2a-b-2=0,

c-5=0

G=3?b=4,c=5,

?：a2+b2=c2,

???AABC是直角三角形，它的周長是3+4+5=12,

面積是3x3x4=6.

【點睛】此題考查了完全平方公式，非負數的性質，解三元一次方程組，勾股定理逆定理以及三角形的周長

和面積的計算方法；注意解題的思路與方法的靈活性.

【變式6-3](2023春?陜西榆林?八年級校考期末)已知在△力C8中，4c=12,BC=5MB=13,點E為邊4c

上的動點，點6為邊48上的動點，貝IJ/E+E8的最小值是.

C

E

AB

【答案】詈

【分析】先根據勾股定理的逆定理可得，ACB=90。，再作點B關于AC的對稱點B',連接反然后

根據兩點之間線段最短、垂線段最短可得當B'F時，線段FE+E8的值最小，最小值為夕凡最后利用

三角形的面積公式即可得.

【詳解】解：???在A/1CB中，AC=12,BC=5,AB=13,

:.AC2+HC2=AH2,

.?.△ABC是直角三角形，且41C8=9O。，

如圖，作點8關于力C的對稱點用,連接夕月夕,

B'C=BC=5,BB,=2BC=10,=BE,

：.FE+EB=FE+B'E,

由兩點之間線段最短可知，當點9,E,F共線時，FE+夕E最小，最小值為eF,

由垂線段最短可知，當時,夕F的值最小，

又S.BB，=?B，F=1/1C-BB\

.--"x138'F=^x12x10,

22

解得8/=喂，

JLJ

即5E+E8的最小值為詈，

故答案為：詈.

【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、兩點之間線段最短、垂線段最短、軸對稱的性質等知識點，熟練掌

握軸對稱的性質和勾股定理的逆定理是解題關鍵.

【題型7勾股逆定理的應用】

【例7】（2023春?廣東廣州.八年級統考期中）如圖，在筆直的公路力8旁有一座山，從山另一邊的C處到公

路上的停靠站A的距離為力C=15km,與公路上另一停靠站B的距離為8c=20km,停靠站4B之間的距離

為AB=25km,為方便運輸貨物現要從公路48上的。處開鑿隧道修通一條公路到。處，且CD1AB.

（1）請判斷A4BC的形狀?

（2）求修建的公路C"的長.

【答案】（I）直角三角形

⑵12km

【分析】（1）根據勾股定理的逆定理，由AC2+8C2=A82得到△力8c是直角三角形.

（2）利用△ABC的面積公式可得，CD?AB=AC-BC,從而求出CD的長.

【詳解】（1）解：△48C是直角三角形.

理由：AC=15km,BC=20km,AB=25km,

152+202=252,

AC24-BC2=AB2,

:.Z.ACB=90°,

.??△力3。是直角三角形.

(2)解：???CDLAB,

-S^ABC=^AB-CD=^AC-BC,

15X20

/.CD==12(km).

AB25

答：修建的公路CD的長是12km.

【點睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理的應用，以及三常形的面積公式等知識，熟練掌握勾股定理

及其逆定理是解題的關鍵.

【變式7-1]（2023春?廣西南寧?八年級南寧市天桃實驗學校校考階段練習）森林火災是一種常見的自然災害,

危害很大.隨著中國科技、經濟的不斷發展，開始應用飛機灑水的方式撲滅火源.如圖，△48C區域內是一

片森林，有一臺救火飛機沿東西方向48,由點A飛向點8,己知點C為其中一個著火點，且點。與點48的

距離分別為600m和800m,又A8=1000m,飛機中心周圍500rl以內可以受到灑水影響.

(1)求△4BC的面積.

(2)著火點C能否受到灑水影響？為什么？

【答案】⑴Z4U0U0m2

(2)受影響

【分析】(1)利用勾股定理的逆定理得出△48C是直角三角形，再利用面積公式計算即可；

(2)過點C作CD1A8于。，利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響.

【詳解】(1)解：*：AC=600m,BC=800m,AB=1000m,

：,AC2+BC2=AB2,

???AABC是直角三角形，

?'?SMBC=ACxBC=24000Cm2；

(2)如圖，過點C作。0于D,

:*S&AABC=鼻力',BC=]CD-ABf

???600x800=1000CD,

CD=480,

???飛機中心周圍500m以內可以受到灑水影響，

.??著火點C受灑水影響.

【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直角三角形，再利用勾

股定理解答.

【變式7-2](2023春?廣西桂林?八年級統考期中)一根12米的電線桿A8,用鐵絲AC、A。固定，現已知用

去鐵絲AC=15米，4力=13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，8、。兩點之間距離是5米，則

電線桿和地面是否垂直，為什么？

【答案】電線桿和地面垂直，理由見解析

【分析】由勾股定理的逆定理判斷AABD是直角三角形，aABC是直角三角形，即可解答.

【詳解】解：電線桿和地面垂直，理由如下：

連接BD

在△AB。中，*/=52+12:=169=132=AZ>2,

???△A8D是直角三角形，且NABD=90。，

：.AB±BD,

在△48c中，VBC2+AB2=92+\?r=225=]52=AC2,

???△ABC是直角三角形，且N4BC=90。，

???電線桿和地面垂直.

【點睛】本題考杳勾股定理的逆定理，是重要考點，掌握相關知只是解題關鍵.

【變式,7-3]（2023春?八年級課時練習）海面上有兩個疑似漂浮目標.A艦艇以12海里/時的速度離開港口

O,向北偏西50。方向航行；同時，8艦艇在同地以16海里/時的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所

示，離開港口5小時后兩船相距100海里，則4艦艇的航行方向是

【答案】北偏東40。

【分析】根據勾股定理的逆定理判斷AAOB是直角三角形，求出￡800的度數即可.

【詳解】由題意得，。力=12x5=60（海里），08=16x5=80（海里），

又=100海里,

V602+802=1002,

即。口2+=AB2

：.z.AOB=90°,

"：￡DOA=50°,

：.LBOD=40°,

則8艦艇的航行方向是北偏東40。，

故答案為：北偏東40。.

【點睛】本題考壹的是勾股定理的逆定理的應用和方位角的知識，根據題意判斷出△AOE是直角一:角形是解

決問題的關鍵.

【題型8勾股定理及其逆定理的綜合】

【例8】（2023春?全國?八年級期末）如圖，在△A8C中，。是△A8C內一點，連接40、BD,且A。180.己

知H0=4,BD=3,AC=13,BC=12.則圖中陰影部分的面積為.

A

【答案】24

【分析】先根據勾股定理求出力氏然后根據勾股定理的逆定理，得△力8C是直角三角形，根據陰影部分的面

J-SA/|FC~即可?

【詳解】:力。1BD,

：,AB2=AD2+BD2,

*：AD=4,BD=3,

'?AB=5,

'：AC=13,DC=12,

：.AC2=169,8c2=144,AB?=25,

：,AC2=BC2+AB2,

是直角三角形，

設陰影部分的面積S,

=x

??S=SMBC-S.ABD|力BxSC—|xADxBD,

AS=24,

???設陰影部分的面積為：24.

故答案為:24.

【點睛】本題考查勾股定理的知識，解題的關鍵是掌握勾股定理的運用和勾股定理的逆定理.

【變式8-1]（2023春?江西贛州?八年級期中）如圖，已知正方形4BCD的邊長為4,