高數(shù)數(shù)學(xué)D1試卷及答案一、選擇題（每題4分，共20分）1.函數(shù)y=x^2+2x+1的導(dǎo)數(shù)是（）。A.2x+2B.2x+1C.x^2+2x+1D.x^2+2答案：A2.極限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是（）。A.0B.1C.-1D.2答案：B3.以下哪個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)（）。A.y=x^2B.y=x^3C.y=x^4D.y=x答案：B4.以下哪個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的（）。A.1+1/2+1/3+...B.1-1/2+1/3-1/4+...C.1+1/4+1/9+...D.1-1/3+1/5-1/7+...答案：C5.以下哪個(gè)積分是發(fā)散的（）。A.∫(0to1)1/xdxB.∫(0to1)x^2dxC.∫(0to1)e^xdxD.∫(0to1)xdx答案：A二、填空題（每題4分，共20分）6.函數(shù)y=x^3的二階導(dǎo)數(shù)是_________。答案：6x7.極限lim(x→∞)(1/x)的值是_________。答案：08.函數(shù)y=sin(x)的反函數(shù)是_________。答案：arcsin(x)9.函數(shù)y=e^x的不定積分是_________。答案：e^x+C10.函數(shù)y=ln(x)的導(dǎo)數(shù)是_________。答案：1/x三、計(jì)算題（每題10分，共30分）11.計(jì)算極限lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]。解：lim(x→2)[(x^2-4)/(x-2)]=lim(x→2)[(x+2)(x-2)/(x-2)]=lim(x→2)(x+2)=412.計(jì)算不定積分∫(x^2-3x+2)dx。解：∫(x^2-3x+2)dx=(1/3)x^3-(3/2)x^2+2x+C13.計(jì)算定積分∫(0to1)(x^2-2x+1)dx。解：∫(0to1)(x^2-2x+1)dx=[(1/3)x^3-x^2+x](from0to1)=(1/3-1+1)-(0)=1/3四、證明題（每題10分，共20分）14.證明函數(shù)f(x)=x^3在(-∞,+∞)上是增函數(shù)。證明：設(shè)任意x1,x2∈(-∞,+∞)，且x1<x2，則f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)。由于x1<x2，所以x1-x2<0，x1^2+x1x2+x2^2>0，因此f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)。所以函數(shù)f(x)=x^3在(-∞,+∞)上是增函數(shù)。15.證明極限lim(x→0)[sin(x)/x]=1。證明：設(shè)ε>0，要證明?ε>0，?δ>0，當(dāng)0<|x|<δ時(shí)，|sin(x)/x-1|<ε。由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)0<|x|<π/2時(shí)，有|sin(x)|≤|x|，所以|sin(x)/x-1|=|sin(x)-x|/|x|≤|x|/|x|=1。取δ=ε，則當(dāng)0<|x|<δ時(shí)，|sin(x)/x-1|<ε。所以極限lim(x→0)[sin(x)/x]=1。五、應(yīng)用題（每題10分，共10分）16.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本函數(shù)為C(x)=0.01x^2+0.5x+100，其中x為產(chǎn)量（單位：千件）。若該產(chǎn)品每件售價(jià)為10元，則工廠的盈虧平衡點(diǎn)為多少？解：設(shè)工廠的盈虧平衡點(diǎn)為x千件，則有0.01x^2+0.5