單元過關檢測九統計、計數原理、概率、離散型隨機變量及其分布一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．2022年7月24日，搭載問天實驗艙的長征五號B遙三運載火箭，在我國文昌航天發射場成功發射，我國的航天事業又上了一個新的臺階．某校現有高一學生1000人，高二學生800人，高三學生1200人，為了調查該校學生對我國航天事業的了解程度，現從三個年級中采用分層抽樣的方式抽取60人填寫問卷調查，則高三年級有多少人被抽中()A．16B．18C．20D．242．[2023·河北邯鄲期末]飽和潛水是一種在超過百米的大深度條件下開展海上長時間作業的潛水方式，是人類向海洋空間和生命極限挑戰的前沿技術，我國海上大深度飽和潛水作業能力走在世界前列．某項飽和潛水作業一次需要3名飽和潛水員完成，利用計算機產生0～9之間整數隨機數，我們用0，1，2，3表示飽和潛水深海作業成功，4，5，6，7，8，9表示飽和潛水深海作業不成功，現以每3個隨機數為一組，作為3名飽和潛水員完成潛水深海作業的結果，經隨機模擬產生如下10組隨機數：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946.由此估計“3名飽和潛水員中至少有1人成功”的概率為()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.93．將某家庭一年的支出情況統計如圖所示，主要分為房貸、飲食等六個方面；若該家庭一年的總支出為12萬元，且花費在A方面的金額比B方面的金額多4800元，則B為()A．交通B．飲食C．其他D．育兒4．[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的測量結果服從正態分布N(10，σ2)，下列結論中不正確的是()A．σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等5．從4名女志愿者和5名男志愿者中各選2名，并將選取的4名志愿者分到4個不同的社區，每個社區分配1名志愿者，則不同的分配方法種數為()A．960B．1200C．1260D．14406．[2023·山東青島模擬]據史書記載，古代的算籌是由一根根同樣長短和粗細的小棍制成，如圖所示，據《孫子算經》記載，算籌記數法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當．即在算籌計數法中，表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推．例如表示62，表示26，現有5根算籌，據此表示方式表示兩位數(算籌不剩余且個位不為0)，則這個兩位數大于30的概率為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,5)7．[2023·河北唐山模擬](1＋x2)(x－eq\f(1,x))4的展開式中x2的系數為()A．－4B．－2C．2D．108．某實驗測試的規則如下：每位學生最多可做3次實驗，一旦實驗成功，則停止實驗，否則做完3次為止．設某學生每次實驗成功的概率為p(0<p<1)，實驗次數為隨機變量X，若X的數學期望E(X)>1.39，則p的取值范圍是()A．(0，0.6)B．(0，0.7)C．(0.6，1)D．(0.7，1)二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．[2023·山東濟南模擬]下圖為2022年8月5日通報的14天內31省區市疫情趨勢，則下列說法正確的是()A．無癥狀感染者的極差大于400B．確診病例的方差大于無癥狀感染者的方差C．實際新增感染者的平均數小于389D．實際新增感染者的第80百分位數為64110．[2023·廣東廣州模擬]拋擲兩枚質地均勻的骰子，記“第一枚骰子出現的點數小于3”為事件A，“第二枚骰子出現的點數不小于3”為事件B，則下列結論中正確的是()A．事件A與事件B互為對立事件B．事件A與事件B相互獨立C．P(B)＝2P(A)D．P(A)＋P(B)＝111．[2023·山東濰坊一中模擬]已知(eq\f(1,x)－2x)2n＋1的展開式中第二項與第三項的系數的絕對值之比為1∶8，則()A．n＝4B．展開式中所有項的系數和為1C．展開式中二項式系數和為24D．展開式中不含常數項12．[2023·河北衡水模擬]在某獨立重復實驗中，事件A，B相互獨立，且在一次實驗中，事件A發生的概率為p，事件B發生的概率為1－p，其中p∈(0，1).若進行n次實驗，記事件A發生的次數為X，事件B發生的次數為Y，事件AB發生的次數為Z.則下列說法正確的是()A．E(X)＝E(Y)B．D(X)＝D(Y)C．E(Z)＝D(X)D．n·D(Z)＝D(X)·D(Y)[答題區]題號123456答案題號789101112答案三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上．13．[2022·全國甲卷]從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為________．14．[2022·新高考Ⅱ卷]已知隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________．15．隨機變量X的分布列為Xx1x2x3Pp1p2p3若p1，p2，p3成等差數列，則公差d的取值范圍是________．16．甲罐中有3個紅球、2個黑球，乙罐中有2個紅球、2個黑球．①先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，以A表示事件“由甲罐取出的球是紅球”，再從乙罐中隨機取出一球，以B表示事件“由乙罐取出的球是紅球”，則P(B|A)＝________；②從甲、乙兩罐中分別隨機各取出一球，則取到黑球的個數的數學期望為________．四、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(10分)某班計劃從6名學生中選出2名學生參加學校的羽毛球比賽．已知這6名學生中有3名男生和3名女生．(1)求參加比賽的學生中恰有1名男生的概率；(2)求參加比賽的學生中至少有1名女生的概率．18．(12分)為調查某社區居民進行核酸檢測的地點，隨機調查了該社區80人，得到下面的數據表：單位：人性別核酸檢測地點合計工作單位社區男105060女101020合計206080(1)根據小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為“居民的核酸檢測地點與性別有關系”？(2)將此樣本的頻率估計為總體的概率，在該社區的所有男性中隨機調查3人，設調查的3人以社區為核酸檢測地點的人數為隨機變量X，求X的數學期望和方差．19．(12分)第五代移動通信技術(簡稱5G)是具有高速率、低時延和大連接特點的新一代寬帶移動通信技術，它具有更高的速率、更寬的帶寬、更高的可靠性、更低的時延等特征，能夠滿足未來虛擬現實、超高清視頻、智能制造、自動駕駛等用戶和行業的應用需求．某機構統計了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技術上的投入x(千萬元)與收益y(千萬元)的數據，如下表：投入x(千萬元)578101113收益y(千萬元)111516222531(1)若x與y之間線性相關，求y關于x的經驗回歸方程．并估計若投入15千萬元，收益大約為多少千萬元？(精確到0.01)(2)現6家公司各派出一名代表參加某項宣傳活動，該活動在甲、乙兩個城市同時進行，6名代表通過拋擲一枚質地均勻的骰子決定自己去哪個城市參加活動，規定：每人只拋擲一次，擲出正面向上的點數為1，3，5，6的去甲城市，擲出正面向上的點數為2，4的去乙城市．求：①A公司派出的代表去甲城市參加活動的概率；②求6位代表中去甲城市的人數少于去乙城市的人數的概率．(用最簡分數作答)參考數據及公式：eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1186，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))20．(12分)[2022·新高考Ⅱ卷]在某地區進行流行病調查，隨機調查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據頻率分布直方圖．(1)估計該地區這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；(2)估計該地區一人患這種疾病年齡在區間[20，70)的概率；(3)已知該地區這種疾病的患病率為0.1%，該地區年齡位于區間[40，50)的人口占該地區總人口的16%，從該地區任選一人，若此人年齡位于區間[40，50)，求此人患該種疾病的概率．(樣本數據中的患者年齡位于各區間的頻率作為患者年齡位于該區間的概率，精確到0.0001)21．(12分)[2022·北京卷]在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以上(含9.50m)的同學將獲得優秀獎．為預測獲得優秀獎的人數及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數據(單位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假設用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的概率；(2)設X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優秀獎的總人數，估計X的數學期望E(X)；(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大？(結論不要求證明)22．(12分)[2023·河北衡水中學模擬]2021年7月18日第30屆全國中學生生物學競賽在浙江省蕭山中學隆重舉行．為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉化為百分制，現從中隨機抽取了50名學生的成績，經統計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數據按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求頻率分布直方圖中m的值，并估計這50名學生成績的中位數；(2)在這50名學生中用分層抽樣的方法從