2025屆全國百強名校高三回頭聯考數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設命題：，，則為A．， B．，C．， D．，2．是定義在上的增函數，且滿足：的導函數存在，且，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．3．若為虛數單位，則復數在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．125．在中，，，，點，分別在線段，上，且，，則（）．A． B． C．4 D．96．數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④7．已知定義在上的函數滿足，且當時，，則方程的最小實根的值為（）A． B． C． D．8．已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A，B兩點，F為C的焦點，若|FA|=2|FB|，則|FA|=（）A．1 B．2 C．3 D．49．甲、乙、丙、丁四位同學利用暑假游玩某風景名勝大峽谷，四人各自去景區的百里絕壁、千丈瀑布、原始森林、遠古村寨四大景點中的一個，每個景點去一人．已知：①甲不在遠古村寨，也不在百里絕壁；②乙不在原始森林，也不在遠古村寨；③“丙在遠古村寨”是“甲在原始森林”的充分條件；④丁不在百里絕壁，也不在遠古村寨．若以上語句都正確，則游玩千丈瀑布景點的同學是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．若集合，，則（）A． B． C． D．11．當輸入的實數時，執行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．12．已知等差數列的前n項和為，，則A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式的解集為________14．已知隨機變量服從正態分布，若，則_________.15．某中學數學競賽培訓班共有10人，分為甲、乙兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學成績的平均數為81，乙組5名同學成績的中位數為73，則x-y的值為________．16．若滿足約束條件，則的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，設點在曲線上，點在曲線上，且為正三角形．（1）求點，的極坐標；（2）若點為曲線上的動點，為線段的中點，求的最大值．18．（12分）如圖是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不同于的任意一點（1）求證：平面平面；（2）設為的中點，為上的動點（不與重合）求二面角的正切值的最小值19．（12分）已知函數（1）若恒成立，求實數的取值范圍；（2）若方程有兩個不同實根，，證明：．20．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學開展了一系列的讀書教育活動．學校為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組（每名學生只能參加一個讀書小組）學生抽取12名學生參加問卷調查．各組人數統計如下：小組甲乙丙丁人數12969（1）從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，用表示抽得甲組學生的人數，求隨機變量的分布列和數學期望．21．（12分）某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷，定價為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應，每天的銷售數據按照，，，分組，得到如下頻率分布直方圖，以不同銷量的頻率估計概率.從試銷售期間任選三天，求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率；試銷結束后，這款酸奶正式上市，廠家只提供整箱批發：大箱每箱瓶，批發成本元；小箱每箱瓶，批發成本元.由于酸奶保質期短，當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考，決定每天僅批發一箱（計算時每個分組取中間值作為代表，比如銷量為時看作銷量為瓶）.①設早餐店批發一大箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量，批發一小箱時，當天這款酸奶的利潤為隨機變量，求和的分布列和數學期望；②以利潤作為決策依據，該早餐店應每天批發一大箱還是一小箱？注：銷售額=銷量×定價；利潤=銷售額－批發成本.22．（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(為參數)．在以原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程；(2)若點坐標為，圓與直線交于兩點，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題.2．D【解析】

根據是定義在上的增函數及有意義可得，構建新函數，利用導數可得為上的增函數，從而可得正確的選項.【詳解】因為是定義在上的增函數，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數，所以即，整理得到.故選：D.【點睛】本題考查導數在函數單調性中的應用，一般地，數的大小比較，可根據數的特點和題設中給出的原函數與導數的關系構建新函數，本題屬于中檔題.3．D【解析】

根據復數的運算，化簡得到，再結合復數的表示，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據復數的運算，可得，所對應的點為位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復數的運算，以及復數的幾何意義，其中解答中熟記復數的運算法則，準確化簡復數為代數形式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4．D【解析】

推導出，且，，，設中點為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設中點為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應用，屬于中檔題.5．B【解析】

根據題意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得結果.【詳解】根據題意，，則在中，又,則則則則故選：B【點睛】此題考查余弦定理和向量的數量積運算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.6．C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉化為的關系式，然后根據基本不等式求解出最大值；④根據滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.7．C【解析】

先確定解析式求出的函數值，然后判斷出方程的最小實根的范圍結合此時的，通過計算即可得到答案.【詳解】當時，，所以，故當時，，所以，而，所以，又當時，的極大值為1，所以當時，的極大值為，設方程的最小實根為，，則，即，此時令，得，所以最小實根為411.故選：C.【點睛】本題考查函數與方程的根的最小值問題，涉及函數極大值、函數解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區分度的壓軸選這題.8．C【解析】

方法一：設，利用拋物線的定義判斷出是的中點，結合等腰三角形的性質求得點的橫坐標，根據拋物線的定義求得，進而求得.方法二：設出兩點的橫坐標，由拋物線的定義，結合求得的關系式，聯立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達定理，由此求得，進而求得.【詳解】方法一：由題意得拋物線的準線方程為，直線恒過定點，過分別作于，于，連接，由，則，所以點為的中點，又點是的中點，則，所以，又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標為，所以，所以．方法二：拋物線的準線方程為，直線由題意設兩點橫坐標分別為，則由拋物線定義得又①②由①②得.故選：C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關系，屬于中檔題.9．D【解析】

根據演繹推理進行判斷．【詳解】由①②④可知甲乙丁都不在遠古村寨，必有丙同學去了遠古村寨，由③可知必有甲去了原始森林，由④可知丁去了千丈瀑布，因此游玩千丈瀑布景點的同學是丁．故選：D．【點睛】本題考查演繹推理，掌握演繹推理的定義是解題基礎．10．A【解析】

用轉化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可．【詳解】解：由集合，解得，則故選：．【點睛】本題考查了并集及其運算，分式不等式的解法，熟練掌握并集的定義是解本題的關鍵．屬于基礎題．11．A【解析】

根據循環結構的運行，直至不滿足條件退出循環體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結論.【詳解】程序框圖共運行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【點睛】本題考查循環結構輸出結果、幾何概型的概率，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.12．C【解析】

方法一：設等差數列的公差為，則，解得，所以.故選C．方法二：因為，所以，則.故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

通過平方，將無理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由得，解得，所以解集是。【點睛】本題主要考查無理不等式的解法。14．0.4【解析】

因為隨機變量ζ服從正態分布,利用正態曲線的對稱性，即得解.【詳解】因為隨機變量ζ服從正態分布所以正態曲線關于對稱，所.【點睛】本題考查了正態分布曲線的對稱性在求概率中的應用，考查了學生概念理解，數形結合，數學運算的能力，屬于基礎題.15．【解析】

根據莖葉圖中的數據，結合平均數與中位數的概念，求出x、y的值.【詳解】根據莖葉圖中的數據，得：甲班5名同學成績的平均數為，解得；又乙班5名同學的中位數為73，則；.故答案為：.【點睛】本題考查莖葉圖及根據莖葉圖計算中位數、平均數，考查數據分析能力，屬于簡單題.16．4【解析】

作出可行域如圖所示：由，解得.目標函數，即為，平移斜率為-1的直線，經過點時，.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）.【解析】

（1）利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得解；（2）設點的直角坐標為，則點的直角坐標為．將此代入曲線的方程，可得點在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【詳解】（1）因為點在曲線上，為正三角形，所以點在曲線上．又因為點在曲線上，所以點的極坐標是，從而，點的極坐標是．（2）由（1）可知，點的直角坐標為，B的直角坐標為設點的直角坐標為，則點的直角坐標為．將此代入曲線的方程，有即點在以為圓心，為半徑的圓上．，所以的最大值為．【點睛】本題考查了極坐標和參數方程綜合，考查了極坐標和直角坐標互化，參數方程的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.18．（1）見解析（2）【解析】

（1）推導出，，從而平面，由面面垂直的判定定理即可得證．（2）過作，以為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系，設，利用空間向量法表示出二面角的余弦值，當余弦值取得最大時，正切值求得最小值；【詳解】（1）因為，面，，平面，平面，平面，又平面，平面平面；（2）過作，以為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系，則，設，則平面的一個法向量為設平面的一個法向量為則，即，令，如圖二面角的平面角為銳角，設二面角為，則，時取得最大值，最大值為，則最小值為【點睛】本題考查面面垂直的證明，利用空間向量法解決立體幾何問題，屬于中檔題.19．（1）（2）詳見解析【解析】

（1）將原不等式轉化為，構造函數，求得的最大值即可；

（2）首先通過求導判斷的單調區間，考查兩根的取值范圍，再構造函數，將問題轉化為證明，探究在區間內的最大值即可得證．【詳解】解：（1）由，即，即，令，則只需，，令，得，在上單調遞增，在上單調遞減，，的取值范圍是；（2）證明：不妨設，當時，單調遞增，當時，單調遞減，，當時，，，要證，即證，由在上單調遞增，只需證明，由，只需證明，令，，只需證明，易知，由，故，，從而在上單調遞增，由，故當時，，故，證畢．【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性，最值等，關鍵是要對問題進行轉化，比如把恒成立問題轉化為最值問題，把根的個數問題轉化為圖像的交點個數，進而轉化為證明不等式的問題，屬難題．20．（1）（2）見解析，【解析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人，基本事件總數為，這兩人來自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，而甲、丙兩個小組學生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學生的人數的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的分布列和數學期望.【詳解】（1）由題設易得，問卷調查從四個小組中抽取的人數分別為4，3，2，3（人），從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學生來自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學生來自同一個小組的概率為（2）由（1）知，在參加問卷調查的12名學生中，來自甲、丙兩小組的學生人數分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學生的人數的可能取值為0，1，2,因為所以隨機變量的分布列為：012所求的期望為【點睛】此題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識，考查運算能力，屬于中檔題.21．；①詳見解析；②應該批發一大箱.【解析】

酸奶每天銷量大于瓶的概率為，不大于瓶的概率為，設“試銷售期間任選三天，其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件，則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發一大箱，批發成本為元，依題意，銷量有，，，四種情況，分別求出相應概率，列出分布列，求出的數學期望，若早餐店批發一小箱，批發成本為元，依題