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文檔簡介
浙江省寧海縣十校聯(lián)考2025年高三3月綜合測試(一)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),為的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.2.本次模擬考試結(jié)束后,班級(jí)要排一張語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六科試卷講評(píng)順序表,若化學(xué)排在生物前面,數(shù)學(xué)與物理不相鄰且都不排在最后,則不同的排表方法共有()A.72種 B.144種 C.288種 D.360種3.已知全集,集合,則()A. B. C. D.4.將函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度后,得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)在上的值域是()A. B. C. D.5.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值是()A. B. C. D.46.設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則使得成立的的取值范圍是()A. B.C. D.7.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.1208.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點(diǎn),若三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.109.已知函數(shù),為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱軸,且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是()A. B. C. D.10.已知底面為邊長為的正方形,側(cè)棱長為的直四棱柱中,是上底面上的動(dòng)點(diǎn).給出以下四個(gè)結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是()①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成一條曲線,則該曲線的長度是;②若面,則與面所成角的正切值取值范圍是;③若,則在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長度之和的最大值為.A. B. C. D.11.已知雙曲線(,),以點(diǎn)()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點(diǎn),若,則的離心率為()A. B. C. D.12.已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球(),現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個(gè)黑球;若取出的是黑球,則放回一個(gè)白球),記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是.若,則=()A. B.1 C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則________.14.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn),的面積為3,則的值是______.15.若滿足約束條件,則的最大值為__________.16.已知實(shí)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點(diǎn);(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點(diǎn),求證:;(3)若,且不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.18.(12分)設(shè)橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請(qǐng)說明理由.19.(12分)購買一輛某品牌新能源汽車,在行駛?cè)旰螅畬⒔o予適當(dāng)金額的購車補(bǔ)貼.某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)擬購買該品牌汽車的消費(fèi)者,就購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查,其樣本頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計(jì)擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);(2)將頻率視為概率,從擬購買該品牌汽車的消費(fèi)群體中隨機(jī)抽取人,記對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)統(tǒng)計(jì)最近個(gè)月該品牌汽車的市場銷售量,得其頻數(shù)分布表如下:月份銷售量(萬輛)試預(yù)計(jì)該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛?附:對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.20.(12分)已知中,內(nèi)角所對(duì)邊分別是其中.(1)若角為銳角,且,求的值;(2)設(shè),求的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若的極小值為,求在區(qū)間上的最大值.22.(10分)如圖,在四棱錐中,是邊長為的正方形的中心,平面,為的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
求出,直接由復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù).【詳解】.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算,共軛復(fù)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
利用分步計(jì)數(shù)原理結(jié)合排列求解即可【詳解】第一步排語文,英語,化學(xué),生物4種,且化學(xué)排在生物前面,有種排法;第二步將數(shù)學(xué)和物理插入前4科除最后位置外的4個(gè)空擋中的2個(gè),有種排法,所以不同的排表方法共有種.選.【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用,不相鄰采用插空法求解,準(zhǔn)確分步是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題3、D【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合,由補(bǔ)集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】,,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算問題,涉及到函數(shù)定義域的求解,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,余弦函數(shù)的值域,求得結(jié)果.【詳解】解:把函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長度后,可得的圖象;再根據(jù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,,,,函數(shù).在上,,,故,即的值域是,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,余弦函數(shù)的值域,屬于中檔題.5、D【解析】
模擬程序運(yùn)行,觀察變量值的變化,得出的變化以4為周期出現(xiàn),由此可得結(jié)論.【詳解】;如此循環(huán)下去,當(dāng)時(shí),,此時(shí)不滿足,循環(huán)結(jié)束,輸出的值是4.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu).解題時(shí)模擬程序運(yùn)行,觀察變量值的變化,確定程序功能,可得結(jié)論.6、D【解析】構(gòu)造函數(shù),令,則,由可得,則是區(qū)間上的單調(diào)遞減函數(shù),且,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0∵f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)<0∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),f(x)>0,(x2-1)f(x)>0.綜上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范圍是.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān),但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系,抓住其本質(zhì),那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題,能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),并掌握好使用的技巧和方法,這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題,是一種常用技巧.許多問題,如果運(yùn)用這種思想去解決,往往能獲得簡潔明快的思路,有著非凡的功效.7、A【解析】
對(duì)數(shù)字分類討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰,利用分類計(jì)數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),同理也有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí),數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個(gè)故滿足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列,組合及簡單計(jì)數(shù)問題,解題的關(guān)鍵是對(duì)數(shù)字分類討論,屬于基礎(chǔ)題。8、C【解析】
取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點(diǎn)Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關(guān)系,及球的表面積公式,解題時(shí)要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.9、B【解析】
由題意可得,且,故有①,再根據(jù),求得②,由①②可得的最大值,檢驗(yàn)的這個(gè)值滿足條件.【詳解】解:函數(shù),,為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調(diào),,②.由①②可得的最大值為1.當(dāng)時(shí),由為圖象的對(duì)稱軸,可得,,故有,,滿足為的零點(diǎn),同時(shí)也滿足滿足在上單調(diào),故為的最大值,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性,屬于中檔題.10、C【解析】
①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,利用弧長公式,可得結(jié)論;②當(dāng)在(或時(shí),與面所成角(或的正切值為最小,當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,可得正切值取值范圍是;③設(shè),,,則,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影長,即可求出六個(gè)面上的正投影長度之和.【詳解】如圖:①錯(cuò)誤,因?yàn)椋c點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,長度為;②正確,因?yàn)槊婷妫渣c(diǎn)必須在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)在(或)時(shí),與面所成角(或)的正切值為最小(為下底面面對(duì)角線的交點(diǎn)),當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,所以正切值取值范圍是;③正確,設(shè),則,即,在前后、左右、上下面上的正投影長分別為,,,所以六個(gè)面上的正投影長度之,當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)取等號(hào).故選:.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),屬于難題.11、A【解析】
求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn),且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因?yàn)椋詧A心到的距離為:,即,因?yàn)椋越獾茫蔬xA.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于中檔題.對(duì)于離心率求解問題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個(gè)思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.12、B【解析】由題意或4,則,故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用交集定義直接求解.【詳解】解:集合奇數(shù),偶數(shù),.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查交集的求法,考查交集定義等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
對(duì)求導(dǎo),再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線方程,令,可得點(diǎn)橫坐標(biāo),由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.15、4【解析】
作出可行域如圖所示:由,解得.目標(biāo)函數(shù),即為,平移斜率為-1的直線,經(jīng)過點(diǎn)時(shí),.16、【解析】
由虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得,的值,則答案可求.【詳解】解:由,,,所以,得,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查虛數(shù)單位的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】
(1)令,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進(jìn)而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證,即證,即證,構(gòu)造函數(shù)進(jìn)而求證;(3)不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,,設(shè),分類討論進(jìn)而求解.【詳解】解:(1)令,所以,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減;所以,所以的零點(diǎn)為.(2)由題意,,要證,即證,即證,令,則,由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)恒成立,,設(shè),,記,△,①當(dāng)△時(shí),即時(shí),恒成立,故單調(diào)遞增.于是當(dāng)時(shí),,又,故,當(dāng)時(shí),,又,故,又當(dāng)時(shí),,因此,當(dāng)時(shí),,②當(dāng)△,即時(shí),設(shè)的兩個(gè)不等實(shí)根分別為,,又,于是,故當(dāng)時(shí),,從而在單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,此時(shí),于是,即舍去,綜上,的取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)考查函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn);(2)考查轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)求極值;(3)考查分類討論思想,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的求導(dǎo);屬于難題.18、(1);(2)見解析.【解析】
(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計(jì)算A的坐標(biāo),計(jì)算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo),代入橢圓方程,計(jì)算參數(shù),即可.(II)分切線斜率存在與不存在討論,設(shè)出M,N的坐標(biāo),設(shè)出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,∴橢圓的方程可設(shè)為.易求得,∴點(diǎn)在橢圓上,∴,解得,∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時(shí),不妨設(shè)切線方程為,由(Ⅰ)知,,,∴.當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時(shí),可設(shè)切線的方程為,,∴,即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得,∴,得.∵,∴,,∴.綜上所述,圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),都有.在中,由與相似得,為定值.【點(diǎn)睛】本道題考查了橢圓方程的求解,考查了直線與橢圓位置關(guān)系,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,難度偏難.19、(1)1.7;(2),見解析;(2)2.【解析】
(1)平均數(shù)的估計(jì)值為每個(gè)小矩形組中值乘以小矩形面積的和;(2)易得,由二項(xiàng)分布列的期望公式計(jì)算;(3)利用所給公式計(jì)算出回歸直線即可解決.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知,消費(fèi)群體對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)的估計(jì)值為,所以方差的估計(jì)值為;(2)由頻率分布直方圖可知,消費(fèi)群體對(duì)購車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值高于3萬元的頻率為,則,所以的分布列為,數(shù)學(xué)期望;(3)將2018年11月至2019年3月的月份數(shù)依次編號(hào)為1,2,3,4,5,記,,,,,,由散點(diǎn)圖可知,5組樣本數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系,因?yàn)椋瑒t,,所以回歸直線方程為,當(dāng)時(shí),,預(yù)計(jì)該品牌汽車在年月份的銷售量約為2萬輛.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、方差的估計(jì)值、二項(xiàng)分布列及其期望、線性回歸直線方程及其應(yīng)用,是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題,本題是一道中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)由正弦定理直接可求,然后運(yùn)用兩角和的正弦公式算出;(2)化簡,由余弦定理得,利用基本不等式求出,確定角范圍,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】(1)由正弦定理,得:,且為銳角(2)【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,三角函數(shù)的值域等,考查了學(xué)生
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