2024-2025學(xué)年河南省開封市高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．2．請將答案正確填寫在答題卡上．第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（8小題，每題5分，共40分）1.下列函數(shù)的求導(dǎo)不正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算對四個選項(xiàng)一一判斷.【詳解】對于A：由冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得.故A正確；對于B：由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算得.故B正確；對于C：因?yàn)槌Ｖ岛瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為0，所以.故C錯誤；對于D：由導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算得.故D正確.故選：C.2.若，則（）A. B.6 C.3 D.-3【正確答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得；【詳解】.故選：C.3.函數(shù)的極大值點(diǎn)是（）A. B.1 C. D.【正確答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性求極大值點(diǎn)即可.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)時，當(dāng)或時，所以在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)是1.故選：B4.已知是的導(dǎo)數(shù)，的圖象如圖，則的圖象可能是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)及變化規(guī)律即可判斷.【詳解】由的圖象可知，，所以的圖象單調(diào)遞增，因?yàn)榈闹迪仍龃蠛鬁p小，所以的切線的斜率先增大后減小，根據(jù)圖象可判斷A正確.故選：A.5.已知函數(shù)的圖象與x軸相切，則a的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先設(shè)切點(diǎn)，再求導(dǎo)，根據(jù)題意列出，求解即可得出.【詳解】易知，定義域?yàn)椋€與軸相切，設(shè)切點(diǎn)為，，易得，故，又，，故，解得.故選：B.6.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先對求導(dǎo)，再令求得，進(jìn)而得到與，再依次求即可得解.【詳解】因?yàn)椋裕瑒t，得，故B錯誤；所以，，則，，，故AD錯誤，C正確.故選：C.7.已知函數(shù)，若有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得其最值，結(jié)合的解析式，進(jìn)而作出函數(shù)的大致圖象，將有三個不同的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有三個交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合，可得答案.【詳解】當(dāng)時，，故當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故，且時，，當(dāng)時，，由此作出函數(shù)的大致圖象如圖：由有三個不同的零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與有三個不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得，故選：C8.若對于任意正數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】對不等式分離參數(shù)得到，令，構(gòu)造函數(shù)，，則，通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求出最大值即可.【詳解】由不等式恒成立，且，分離參數(shù)得，所以，即，設(shè)，得，，設(shè)，，則.，由得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以.所以.故選：C.二、多選題（3小題，每題6分，共18分）9.下列命題正確是（）A.若，則B.設(shè)函數(shù)，且，則C.已知函數(shù)，則D.【正確答案】BD【分析】由基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出各項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)后，再逐項(xiàng)代入判斷即可.【詳解】A：，故A錯誤；B：，令，所以，故B正確；C：，所以，故C錯誤；D：，故D正確；故選：BD10.對于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.在處取得極大值 B.在處取得最大值C.有兩個不同零點(diǎn) D.【正確答案】ABD【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性求極值和最值即可判斷A、B，令函數(shù)等于0，求出零點(diǎn)即可判斷C，利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷D.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令得，則當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)為減函數(shù)，則當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，極大值為，故A正確，由上述可知當(dāng)時，函數(shù)的極大值即為最大值，且最大值為，故B正確，由，得，得，即函數(shù)只有一個零點(diǎn)，故C錯誤，由，所以，由時，函數(shù)為減函數(shù)，知，故成立，故D正確．故選：ABD．11.對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．若函數(shù)，則（）A.一定有兩個極值點(diǎn)B.函數(shù)在R上單調(diào)遞增C.過點(diǎn)可以作曲線的2條切線D.當(dāng)時，【正確答案】BCD【分析】對求導(dǎo)，得出，沒有極值點(diǎn)，可判斷A，B；由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求過點(diǎn)的切線方程條數(shù)可判斷C；求出三次函數(shù)的對稱中心，由于函數(shù)的對稱中心為，可得，由倒序相加法求出所給的式子的值，可判斷D.【詳解】由題意知，，恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，A錯誤，B正確；設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為，代入點(diǎn)得，即，解得或，所以切線方程為或，C正確；易知，令，則．當(dāng)時，，，所以點(diǎn)是的對稱中心，所以有，即．令，又，所以，所以，D正確．故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（3小題，每題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則的極小值為______．【正確答案】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而可求出極值.【詳解】因?yàn)椋裕傻茫挥傻茫凰院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為.故答案為.13.已知函數(shù)在時有極值0，則______．【正確答案】11【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意列出方程組，求得的值，經(jīng)驗(yàn)證后，即可確定的值，即可求得答案.【詳解】由函數(shù)，得，由題意得，解得或，當(dāng)時，，僅當(dāng)時等號成立，此時在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；當(dāng)時，，令，則或，令，則，即在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，且，則，即符合題意，故，故1114.某生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為萬元，并且每生產(chǎn)百臺產(chǎn)品需增加投入萬元.已知銷售收入（萬元）滿足（其中是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量，單位：百臺，），假定生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉，則當(dāng)公司每月產(chǎn)量為______百臺時，公司所獲利潤最大..【正確答案】6【分析】設(shè)銷售利潤為，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可.【詳解】設(shè)銷售利潤為，依題意可得，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以時，取得極大值，也是最大值，所以當(dāng)公司每月生產(chǎn)6百臺時，獲得利潤最大.故6.本題考查函數(shù)應(yīng)用問題以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求最值，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.四、解答題（5小題，77分）15.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【正確答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，結(jié)合定義域，討論和情況下，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到的單調(diào)性；（2）求出，則在上是單調(diào)增函數(shù)等價(jià)于在上恒成立，分離參數(shù)，即在恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋佼?dāng)時，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，在有故在單調(diào)遞減；在有故在上單調(diào)遞增．綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上為單調(diào)遞減，在上為單調(diào)遞減增（2）由，得．若函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)，則在上恒成立，即不等式在上恒成立．也即在上恒成立．令，則．當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，則所以，即的取值范圍為．本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，通過導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性以及最值，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．16.已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值.（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【正確答案】（1）極大值為，極小值為；（2）答案見解析【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，令得或，并得到函數(shù)單調(diào)性，求出極值；（2）求定義域，求導(dǎo)，分，，和四種情況，求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當(dāng)時，的定義域?yàn)椋剩畹没颍畹没颍畹茫栽冢蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，故極大值為，極小值為；【小問2詳解】的定義域?yàn)椋?dāng)時，令得，令得，故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，，令得或，令得，故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，，此時恒成立，故單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，，令得或，令得，故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.17.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)減區(qū)間；（2）若在區(qū)間上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即得；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值的關(guān)系可得函數(shù)的最大值，可得，結(jié)合條件進(jìn)而即得.【小問1詳解】由，求導(dǎo)可得,由，可得或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，；【小問2詳解】因?yàn)椋睿獾没蚩傻孟卤恚簞t，分別是在區(qū)間上的最大值和最小值，所以，解得，從而得函數(shù)在上的最小值為.18.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若在區(qū)間有2個零點(diǎn)，求的取值范圍．【正確答案】（1）當(dāng)時，在處取極大值（2）分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為與在區(qū)間有2個交點(diǎn)，求得函數(shù)的值域，即可得到結(jié)果.小問1詳解】因?yàn)椋x域?yàn)椋裕?dāng)時，由于，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減：所以當(dāng)時，在處取極大值，無極小值；【小問2詳解】，令，得，令，在區(qū)間有2個零點(diǎn)，即與在區(qū)間有2個交點(diǎn)，，，，當(dāng)，，在上單增，當(dāng)，，在上單減，，的最大值為，，與在區(qū)間有2個交點(diǎn)，則．19.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處切線方程；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）當(dāng)時，，求的取值范圍．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解；（2）由條件轉(zhuǎn)化為恒成立．再轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的最小值大于等于0，即可求解；（3）方法一：首先將不等式整理為，再參變分離為，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；方法二：根據(jù)（2）的結(jié)果，由的值，討論的取值，判斷不等式是否成立，即可求解；方法三：從命題成立的必要條件入手，再證明命題成立的充分條件，即可求解的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【小問2詳解】，由題意得，恒成立．令，則，且在單調(diào)遞增，令，解得，所以當(dāng)時，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故單調(diào)遞增；所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，故．【小問3詳解】解法一：因?yàn)椋灶}意等價(jià)于當(dāng)時，．即，整理，得，因?yàn)椋裕暑}意等價(jià)于．設(shè)，的導(dǎo)函數(shù)，化簡得，考察函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；故在時，取到最小值，即，即，所以，所以當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；所以的最小值為，故．解法二：先考察，由（2）分析可得，情況1：當(dāng)，即，此時在區(qū)間單調(diào)遞增，故，即，符合題意；情況2：若，則，注意到，且，故對進(jìn)一步討論．①當(dāng)時，即且由（2）分析知：當(dāng)單調(diào)遞減，故當(dāng)，即單調(diào)遞減，故恒有，不符合題意，舍去；②當(dāng)時，注意到在區(qū)間單調(diào)遞減，且，又，故在區(qū)間存在唯一的滿足；同理在區(qū)間單調(diào)遞增，且，故在區(qū)間存在唯一的滿足；故可得+0-0+極大值極小值所以當(dāng)，符合題意；故題意等價(jià)于，即．又因?yàn)椋矗啠盟裕淼茫⒁獾剑裕式獾茫芍胺治龅眉纯疾旌瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；故在時，取到最小值，即，即，所以恒成立，故，又注意到情況（2）討論范圍為，所以也符合題意．綜上①②本題所求的取值范圍為．方法三：