專題12.3角的平分線的性質【七大題型】

【人教版】

【題型1作已知角的角平分線】..................................................................1

【題型2角平分線的性質的應住】...............................................................4

【題型3角平分線的性質與等積法】.............................................................8

【題型4角平分線的性質與全等】...............................................................12

【題型5角平分線的判定】.....................................................................17

【題型6角平分線的性質與判定綜合】..........................................................20

【題型7角平分線的實際應用】................................................................23

,如蘆一＞，三

【知識點1角平分線的作法】

①以。為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D,交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于』DE的長為半徑畫弧，兩弧在NAOB內部交于點C.

2

③畫射線OC.即射線OC即為所求.

【題型1作己知角的角平分線】

【例I】（2022秋?上饒縣期末）如圖，已知方格紙中的每個小方格都是相同的正方形.NAO8畫在方格紙

上，請在小方格的頂點上標出一個點P.使點。落在NA03的平分線上.（本題有三個結果，答對一

個得I分：若其中一個標錯,本題得。分.二個點分別用字母U。、E表示）

【分析】作出NAO8的平分線，找出角平分線與正方形的頂點的三個交點即可.

【解答】解：如圖所示，

①以。為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交OH、Q4于點。、Ex

②分別以。、E為圓心，以大于為半徑畫圓，兩圓相交于點F；

③連接交各小正方形的頂點分別為外、尸2、。3,則此三點即為所求.

本題答案不唯一.有三種結果如圖中的外，尸2,尸3所示.

【變式1-1]（2022秋?瑤海區期末）如圖，RtaABC中，ZC=90°,用尺規作圖法作出射線AE,AE交

BC于點D,CD=2,P為AB上一動點,則P。的最小值為1）

A.2B.3C.4D.無法確定

【分析】當。夕_L48時，根據垂線段最短可知，此時。夕的值最小.再根據角平分線的性質定理可得。P

=C。解決問題：

【解答】解：當。時，根據垂線段最短可知，此時OP的值最小.

由作圖可知：AE平分NB4C,

VDC14C,DPA.AB,

：.DP=CD=2,

???P。的最小值為2,

故選：A.

【變式1-2]（2022?遼寧）如圖，OG平分NMON,點4,4是射線OM,ON上的點，連接48.按以下步

驟作圖：①以點8為圓心，任意長為半徑作弧，交44于點C,交BN于點、D；②分別以點。和點。為

圓心，大于長為半徑作弧，兩弧相交于點￡③作射線/法，交。G于點P.若N4BN=I4O。，Z

,MON=50°,則NOP8的度數為（）

M

【分析】利用基本作圖得到BP平分NA8M則可計算出/尸BN=70°,再利用0G平分NMON得到/

BOP=25°,然后根據三角形外角性質計算/OP8的度數.

【解答】解：由作法得4。平分NA4M

AZPBN=-ZABN=-x140°=70°，

22

YOG平分4MON,

/.ZBOP=^ZMON=x50°=25°,

22

/PBN=NPOB+NOPB,

；?/OPB=1C-25°=45°.

故選：B.

【變式1-3］（2022春?西鄉縣期末〉如圖，三角形八AC中，點。在4c上.

（1）請你過點。作QE平行8C,交AB于E.（要求尺規畫圖，保留痕跡，不寫作法）

（2）如果點E在/C的平分線上，ZC=44°,那么NQEC=22°.

【分析】（1）作NAOE=NC即可；

（2）由平行線的性質和角平分線定義證出NOEC=NOCE,得出OC=OE,由等腰三角形的性質即可得

出答案.

【解答】解：（1）如圖1所ZK：

A

」J\,D

BC

圖1

A.54°B.50°C.48°D.46°

【分析】過。作。于E,DF±ACTF,DG1.BC于G,依據角平分線的性質，即可得到。E=OG,

再根據三角形外角性質，以及角平分線的定義，即可得到NAD8=NZ)BE-N84O=；(NCBE-N8AC)

=^-ZACB.

2

【解答】解：如圖所示，過。作。于E,QELAC于F,DGLBC于G,

:4。平分NB4C,DELAB^E,。產_LAC于尸，

:.DF=DE,

又?.?/ACQ=136°,NBCD=44",

二N46=92°,ZDCF=44",

JCO平分N8CF,

又于凡OG_LBC于G,

：.DF=DG,

:.DE=DG,

???B。平分NCBE,

???/DBE=上/CBE,

2

?.?A。平分N84C,

:.NBAD=-2ABAC,

AZADB=ZDBE-ZBAD=-(ZCBE-ZBAC)=-ZACB=-x92°=46°,

222

故選：D.

【變式2-1]（2022秋?蓬江區校級期中）如圖，已知△48C中，NC=90°,人。平分NB4C,且C。：BD

=3：4.若5c=21,則點。到A3邊的距離為3

【分析】先確定出。。=9,再利用角平分線上的點到兩邊的距離相等，即可得出結論.

設CO=3x,則BD=4x,

：,BC=CD+BD=lxf

°：BC=2\,

???7x=21,

.*.x=3?

???CO=9,

過點D作DELAB于E,

:A。是/8AC的平分線，ZC=90°,

：?DE=CD=9,

???點。到A8邊的距離是9,

故答案為：9.

【變式2-2]（2022秋?武昌區期中）在△人月。中，NA8C=110°,NC的平分線交人8于E,在AC上取

點。，使得/。8。=40°.

（I）求證：點上到AC和4。的距離相等；

（2）連接EQ,求的度數.

B

【分析】（1）延長CB至點M,根據角平分線的性質即可得到結論:

（2）根據角平分線的性質即可得到結論.

【解答】解：（1）延長CB至點M.

-110°=70°,/A3M=/ABD,

???點E到CM和BD得距離相等，

又???CE平分平分NACB,

???E點到AC和BC的距離相等，

???點E到AC和BD的距離相等；

（2）連接￡7）.

???點E到人C和BD的距離相等，

:./EDB=NEDA設/EQA=a,ZACE=ZBCE=^,

又：在△BOC中，2a=20+40°,

Aa-p=20°,

在△EQC中，a=p+NQEC

則NCE￡>=a-p=20°.

【變式2-3］（2022春?金堂縣期末）在△ABC中，ZBAC=I2O°,AB=AC,N4CB的平分線交AB于Z）,

AE平分NB4C交BC于E,連接OE,。口L8C于尸，則NEDC=30°.

【分析】過。作DM_LAC交CA的延長線于M,DNA.AE,根據角平分線的性質得到。〃=。加，根據鄰

補角的定義得到NZM例=60°,根據角平分線的定義得到NBAE=60°,推出DE平分NAEZL根據等

按三角形的性質得到NA砂=90°,得到/。￡尸=45°,根據三角形的外角的性質即可得到結論.

【解答】解：過。作。M_LAC交CA的延長線于M,DNVAE,

,?。平分NACB,

：.DF=DM,

VZBAC=120°，

???ND4M=6()°,

??YE平分NB/1C,

：?NBAE=60°,

ZDAM=ZBAE,

:.DM=DN,

???￡>￡平分NAEB,

'：AB=AC,4E平分NBAC交8C于E,

：.AELBC,

工NAEB=90°,

AZDEF=45°,

VZfi=ZACB=30°,

：.ZDCF=\5°,

AZEDC=30°,

故答案為：30.

【題型3角平分線的性質與等積法】

【例3】(2022?增城區期末)△工8c中，AB=BC=CA,三內角平分線交于O,OP_1_48于尸，OM_LBC于

歷，ONICA于MAHLBC于H.求證OP+OM+ON=AH.

【分析】由已知可得根據三角形的面積公式和三邊相等求證即可.

【解答】解：二，S^ABC—S心OA肚s^OALs20BC，

：.-AH^BC=-OP*AB+-BC*0M+-AC*ON,

2222

又?：AB=BC=CA,

：.（JfJ+OM+ON=AH.

【變式3-1]（2022春?泰和縣期末）如圖，平分/ABC交4c于點。，QE_LAB于石，DF上BC于F,

AB=8C=8,若SMBC=28,求OE的長.

【分析】根據角平分線性質得出。￡=。尸，根據三角形的面積公式得出關于。E的方程，求出即可.

【解答】解：:8。平分NA8C交4c于點。，DELAB,DFLBC,

:?DE=DF,

V5AABC=28,AB=BC=S,

???：x8><OE+：x8XQr=28,

22

.*.8DE=28.

：,DE=3.5.

【變式3-2]（2022春?香坊區期末）已知：點夕為/E4"平分線上一點，于從PCA.AFTC,點

“、N分別是射線AE、AF上的點，且PM=PN.

（1）當點M在線段A8上，點N在線段AC的延長線上時（如圖1）,求證：BM=CN；

（2）在（1）的條件下，AM+AN=2AC；

（3）當點M在線段48的延長線上時（如圖2）,若AC：PC=2：1,PC=4,求四邊形ANPM的面

【分析】（1）由點P為2￡4/平分線上一點，P8J_AE于8,PC_LA產于C,根據角平分線的性質，可

得P8=PC,又由PM=PN,利用HL,即可判定RtZ\P8MgRtZ\PCN,則可證得結論；

(2)由角平分線的性質易證得人8=人。，又由AM+AN=AM+CN+AC=/Uf+BM+4C=A8+/lC,即可證得

結論：

(3)由AC：PC—2'.1?PC—4.即可求得AC的長，乂由S四動形ANPM=S_M/w+S4Apm■SaP8M=S2”y+SaAP8+S

"CN=S&APC^S^APR，即可求得四邊形ANPM的面積.

【解答】解：(1)???點P為/E4/平分線上一點，PBA.AE,PCA.AF,

:.PB=PC,NPBM=NPCN=90°,

在RtAPBM和RtAPCN中,

(PM=PN

lPB=PC'

ARtAPW^RtAPC/V(HL),

:,BM=CN；

(2)VZAPB=90°-ZPAB,ZAPC=90Q-APAC,

：,ZAPC=ZAPB,

VPB1AE,PCLAF,

:,PB=PC,

：.AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC=2AC；

故答案為：2；

(3)VAC：PC=2：I,PC=4,

；?AC=8,

/.AB=AC=89PB=PC=4,

..?Sinj邊形^AC*PC+^AB*PB=1x8X4+1X8

X4=32.

【變式3-3](2022秋?朝陽期中)在△48C中，。是9C邊上的點(不與點8、C重合)，連接A。.

(1)如圖I,當點。是8C1邊上的中點時，SAABD：5.A.ACD=1：1;

(2)如圖2,當AQ是N8AC的平分線時，若48=小，AC=n,求鼠八⑺：5&c力的值(用含〃?，〃的代

數式表示)；

(3)如圖3,A。平分NZMC,延長AO到E,使得AO=QE連接3E,如果AC=2,A3=4,S^DE=6,

那么S^ARC—9

A

D

B

圖3

【分析】（1）過A作4E_L8c于E,根據三角形面積公式求出即可;

（2）過。作。EL48于區0FL4C于F,根據角平分線性質求出OE=OF,根據三角形面積公式求出

即可;

（3）根據已知和（I）（2）的結論求出△人8。和△ACO的面積，即可求出答案.

t解答】解:

過A作AE_L8C于E,

???點。是8C邊上的中點,

???BD=DC,

:?SABD：SAACD=0XBOXAE)：(^xCDXAE)=1：I

故答案為：1：1；

過D作DELAB于E,DFLAC于F,

*：AD為NBAC的角平分線，

:?DE=DF,

\*AB=tn,AC=n,

:?SABD：S&ACD=(|XAZ?XD￡)：(|xACXDF)=m：〃；

?：AD=DE,

???由(1)知：Sf、ABD：SAEBD=I：I?

,；S，、BDE=6,

S&ABD=6,

VAC=2,AB=4,人。平分NCA以

**?[tl(2)知：S&ABD：SAACO=，4B：AC=4：2=2：1?

S&ACO=3，

**?S^ABC=3+6=9,

故答案為：9.

【題型4角平分線的性質與全等】

【例4】(2022春?通道縣期末)，知在△ABC中，NC48的平分線A。與BC的垂直平分線OE交于點Q,

DM_LAB與M,/)N_LAC交AC的延長線于M你認為與CN之間有什么關系？試證明你的發現.

【分析】連接B。，CD,由角平分線的性質可得。M=QN,線段垂直平分線的性質可得3。=。。，所以

RtA^WD^RtAC/VD(HL),則8M=CM

【解答】解：BM=CN.

理由：連接BO,CD,

???人。平分NMC,QM工AB,D/V1AC,

:.DM=DN,

???。七垂直平分3C,

:,BD=CD,

在RtABMD與RtAC/VD中

.,(BD=CD

?(DM=DN

.?.□△BDMgRtACDN(HL),

:?BM=CN.

【變式4-1]（2022秋?金平區校級月考）己知：如圖1,四邊形A4C。中，AC平分N8A。，和N。都

是直角.

（1）求證：BC=CD.

（2）若將原題中的已知條件和NO都是直角”放寬為“N8和/。互為補角”，其余條件不變，

如圖2,猜想：邊和鄰邊CD的長度是否一定相等？請證明你的結論.

【分析】（I）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得BC=CD；

（2）過點。作CEL4。于七，作C-L/W于尸，根據等角的補角相等求出NQ=NCBP,根據角平分線

上的點到角的兩邊的距離相等可得CO=C凡然后利用“角角邊”證明△4C〃和4006全等，根據全等

三角形對應邊相等證明即可.

【解答】（1）證明：???/。=/8=90°,

：.CDLAD,CB1AB,

???4C平分NBA。，

:?BC=CD；

（2）解:一定相等.

證明：如圖，過點C作C及LAQ于￡,作Cb_LA3于R

???NC5/；與NA4c互補.

???N8和N。都是直角，互為補角，

:,ND=/CBF,

又???AC是"BAD的平分線,

:.CE=CF,

(LD=Z.CBF

在RtZXBC尸與RtZ\OCE中，I乙DEC=LCFB，

(CE=CF

ARtABCF^RtADCE(A4S),

【變式4-2]（2022秋?文昌校級期中）在AABC中，AD,CE分別是/B4C、N8CA的平分線，A。、CE

相交于點F.

（1）①如圖（1）,當NB=60°,ZACB=90°,則NAFC=120°；

②如圖（2）,如果NACB不是直角，NB=60°時，請問在①中所得的結論是否仍然成立？若成立，請

證明；若不成立，請說明理由.

（2）如圖（3）,在②的條件下，請猜想石尸與。尸的數量關系，并證明你的猜想.

【分析】（I）①根據角平分線的定義求出NMC、N〃C4,再根據三角形的內角和定理列式計算即可得

解；

②根據三角形內角和定理和角平分線的定義求出NMC、ZFCA,再利用三角形內角和定理列式計算即

可得解：

（2）過點尸作FG_L3C于G,作于"，作FM_LAC于M,根據角平分線上的點到角的兩邊距

離相等可得FG=F”=nW,再求出NE/77=NOFG,然后利用“角邊角”證明和△OFG全等，

根據全等三角形對應邊相等證明即可.

【解答】解：(1)①???N8=6()°,NAC8=90°,

AZBAC=900-60°=30°,

???A。、CE分別是NZMC、N6C4的平分線，

AZMC=^ZBAC=1x30°=15°,ZFCA=^ZACB=\x900=45°,

AZ/4FC=180°-15°-45°=120°；

故答案為：12U°.

@*：AD.CE分別是N8AC、NBC/1的平分線，

AZMC+ZFC4=-(ZBAC+ZACB)=-(180°-ZB),

22

產C=180°-(ZMC+ZFCA)=180°--(180°-NB)=90°+-ZB,

22

VZB=60c,

：.ZAFC=90u+1x60u=120u；

(2)如圖，過點尸作/G_LBC于G,作F〃_LAB于”，作FM_LAC于M,

???A。、CE分別是NB4C、NBCA的平分線，

:?FG=FH=FM,

?：NEFH+NDFH=120°,

NDFG+NDFH=3600-90°X2-6O0=120",

:.ZEFH=/DFG,

2EHF=乙DGF=90°

在△EF”和△OFG中，\z.EFH=乙DFG,

FG=FH

:.△EFH//\DFGCAAS),

：.EF=DF.

圖⑶

【變式4-3]（2022秋?東區校級月考）如圖①，。尸是NMON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所

在直線為對稱軸的全等三角形.請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

(1)如圖②，在△4BC中，NAC8是直角，NB=60°,AD.CE分別是NBAC、NBCA的平分線，AD.

CE相交于點?請你判斷并寫出所與PO之間的數量關系；(不需證明)

(2)如圖③，在△A8C中，N8=60°,AD.CE分別是NBAC、N3C4的平分線，AD.C￡相交于點

F,請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

【分析】圖①根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，過點P作以_LOM于A,作PB_LON于仇

△PQ4和aPOB即為關于直線OP對稱的全等三角形；

(1)猜想FE=FQ；

(2)過點尸作/GJ_AB于G,作F〃_L8C于”，作尸K_LAC于K,根據角平分線上的點到角的兩邊的

理離相等可得FG=FH=FK,根據四邊形的內角和定理求出/G"/=120°,再根據三角形的內角和定

理求出乙4尸。=120°,根據對頂角相等求出/EFD=120°,然后求出NEFG=N。"/,再利用“角角

邊”證明△￡:/=＜；和全等，根據全等三角形對應邊相等可得/

【解答】解：圖①如圖所示；

(1)FE=FD-

(2)如圖，過點尸作/G_LA8于G,作F”_L8C于”，作FK_LAC于K,

???4。、CE分別是N8AC、N8CA的平分線，

：.FG=FH=FK,

在四邊形8GF”中，NGFH=36O°-60°-90°X2=120°,

???A。、CE分別是NB4C、NBCA的平分線，NB=60°,

.,.ZMC+ZFC4=1(180°-60°)=60°,

在△/1尸C中，N4尸C=I8O°-(ZMC+ZFCA)=180°-60°=120°,

.\ZEFD=ZAFC=120°,

:.ZEFG=NDFH,

在△￡FG和△OF”中,

^EFG=Z-DFH

FG=FH

【4EG?=乙DHF=90°

:AEFG4/XDFH(ASA),

：,FE=FD.

【知識點3角平分線的判定】

角平分線的判定：角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.

用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE_LAD于點E,PF_LBD于點F,PE=PF,則PD平分NADB

【例5】（2022秋?濱湖區校級期中）已知：如圖，在△A3C中，。是N8、NC外角的平分線的交點，那

么點。在NA的平分線上嗎？為什么？

【分析】過點。作于F，作OGJ_BC于G,作OH_L人七于"，根據角平分線上的點到角的兩邊

電離相等可得OF=OG=OH,再根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上解答.

【解答】解：點。在NA的平分線上.

理由如下：如圖，過點。作OF_LA。于凡作OG_L8C于G,作O”_LAE于”，

???。是NB、/C外角的平分線的交點，

：.OF=OG,OG=OH,

：.OF=OG=OH,

??.點。在NA的平分線上.

【變式5-1]（2022秋?浦北縣校級月考）如圖，△ABC中，夕是角平分線人。，BE的交點.

求證：點。在NC的平分線上.

【分析】首先過點P作尸MJLAB,PN工BC,PQ1AC,垂足分別為M、N、Q,然后證明PQ=PN即可.

【解答】證明：如圖，過點P作PM1AB,PN1BC,PQLAC,垂足分別為M、N、Q,

在NBAC的平分線AD上，

???PM=PQ,。在NABC的平分線8E上，

:,PM=PN,

:,PQ=PN,

???點P在NC的平分線.

【變式5-2]（2022春?澧縣期末）如圖，已知點。到AE、AD.4c的距離相等，下列說法：①點。在/

BAC的平分線上；②點P在/。8E的平分線上；③點戶在N8CQ的平分線上；④點戶在/必C、/CBE、

N8CO的平分線的交點上，其中正確的是一①②③④.（填序號）

【分析】根據角平分線的判定定理判斷即可.

【解答】解：???點尸到4E、AD的距離相等，

???點0在N3AC的平分線上，①正確：

???點P到AE、BC的距離相等,

???點P在/C8E的平分線上，②正確；

???點P到AD、8c的距離相等，

???點P在NECO的平分線上，③正確；

???點P在NH4C、NCBE、N3CO的平分線的交點上，④正確，

故答案為：①②③

【變式5-3］（2022秋?北關區校級月考）如圖，D、七、尸分別是△44C的三條邊上的點，CE=BF,ADCE

和△。引；的面積相等.

求證：AD平分NZMC.

【分析】首先過。作。N_LAC，DMLAB,分別表示出再△OCE和的面積，再根據條件“ZXOCE

和△QB尸的面積相等”可得到;由于CE=8F,可得結論。*=ON,根據角平分線性

質的逆定理進而得到AD平分N8AC.

【解答】證明：過。作ON_L4C,DM_LA8,

△。8產的面積為：渺'?QM,

△QCE的面積為：*N?CE,

???△OCE和△/方產的面積相等，

:吊F?DM=他N-CE,

?：CE=BF,

:?DM=DN,

又?.?DM_LAB,ON_LAC,

???AO平分N8AC（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）.

A

【題型6角平分線的性質與判定綜合】

【例6】（2022秋?費縣期末）ZB=ZC=90°,EB=EC,OE平分NADC,求證：4E是NZMB平分線.

【分析】過點石作日」八。于F,根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得EC=ER從而求出政

=BE,再根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明.

【解答】證明：如圖，過點七作EFLAO于R

???OE平分NAQC,ZC=90°,

：.EC=EF,

,:EB=EC,

：,EF=BE,

又NB=90°，

：,EBLAB,

*：EFA.AD,

???AE是ND43平分線.

【變式6?1】.（2022秋?臺安縣期中）如圖，△ABC中，N8的平分線與NC的外角的平分線交于P點,

PQ_LAC于。，PH上BA于H,

（1）若點P到直線BA的距離是5m,求點P到直線BC的距離；

（2）求證：點P在N/MC的平分線上.

【分析】（1）過P作P凡LBE于人由于8P平分/ABC,PHLBA,PFLBE,則根據角平分線的性質

即可得到PH=PF=5cin；

（2）連接AP,如圖，根據角平分線的性質得PF=PQ,則于是根據到角的兩邊距離相等的

點在這個角的平分線上得到A0平分N/MD

【解答】（1）解：過P作P/LL8E于尸，如圖，

平分NABC,PH工BA于H,PFLBE于F,

:.PH=PF=5cm,

???點尸到直線8c的距離為5。〃：

（2）證明：連接AP,如圖，

???C尸平分/ACE,PO_LAC于。，PFLBE于F,

:,PF=PD,

:?PD=PH,

【變式6-2]（2022秋?洛龍區校級月考）如圖，PB.PC分別是△A8C的外角平分線，它們相交于點P,

求證：點?在NA的平分線上.

【分析】作PM_LAC于歷，PNLBC于N,于E,根據角平分線性質得出夕例=PN,PN=PE,

推出PM=PE,根據角平分線性質推出即可.

【解答】證明：作PM_LAC于M,PN1BC于N,PE_LA8于E,

???丹?、PC分別是△A8C的外角平分線，

:,PM=PN,PN=PE,

:?PM=PE,

?；PMJ_AC,PELAB,

???點。在NA的平分線上.

【變式6-3]（2022秋?鐵東區校級期中）如圖，△A8C中，點。在8c邊上，ZBAD=\00a,NA8C的

平分線交AC于點E,過點E作E/LLA8,垂足為凡且NAE/=50°,連接。￡

（1）求NC4O的度數;

（2）求證：OE平分NAQC；

（3）若A8=7,AO=4,CO=8,且以從8=15,求△A8E的面積.

【分析】（1）根據直角三角形的性質求出/布￡根據補角的定義計算，得到答案；

（2）過點上作EG_LA。于G,于〃，根據角平分線的性質得到EQ=EG,EF=EH,等最代換

得到EG=EH,根據角平分線的判定定理證明結論；

（3）根據三角形的面枳公式求出EG,再根據三角形的面積公式計算，得到答案.

【解答】（1）解：\'EF±ABfNAE尸=