專題4.4相似三角形的判定與性質（二）【九大題型】

【浙教版】

?題型梳理

【甩型1尺規作圖與相似三角形綜合運用】........................................................1

【題型2三角板與相似三角形綜合運用】.........................................................5

【題型3裁剪與相似三角形綜合運用】..........................................................13

【題型4折疊與相似三角形綜合運用】..........................................................21

【題型5判斷與相似有關結論的正誤】..........................................................29

【題型6用相似三角形的判定與性質證明】......................................................37

【題型7用相似三角形的判定與性質求線段比值】................................................44

【題型8利用相似三角形的判定與性質求最值】..................................................52

【題型9利用相似三角形的判定與性質解決幾何動點問題】.......................................59

，舉一反三1

【題型1尺規作圖與相似三角形綜合運用】

[ft1]（2023春?福建福州?九年級校考階段練習）已知菱形A8C。中，E是8c邊上一點.

⑴在BC的右側求作△%命,使得￡7」|且E尸二'0；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）

⑵在（1）的條件下，若""="/18C,求證：AE=>/2EF.

【答案】⑴見解析；

⑵見解析.

【分析】（1）連接AC交8。于。，在8c右側作（SCEFWCB。，再在射線EF截取￡F=O8,連接AE、AF,

即可得AAEF；

（2）延長E/交人。延長線于點G,先證明四邊形是平行四邊形，可得EG=BD=2EF,0G=QCTD,

【詳解】（1）解：如圖，連接人。交/切于。，在8c右側作團。石四3。5。，再在射線石r截取E/=OB,連

接AE、AF,則aA"即為所要求作的三角形，再證?△EG4,可得笠=蕓,

AEEG

最后證得結果；

（2）證明：延長稗交A。延長線于點G,

回四邊形A8C。是菱形，

mAD//BC.

雙EF”BD,EF=^BD,

團四邊形BEG。是平行四邊形，

0FG=BD=2EF,3G=0CBD,

又?在菱形A8CQ中，^CBD=^ABC,

--AABC,

AAEAF2

Z.EAF=Z.G,

又（344EF=4GE/，

￡71"?△EGA,

AEEG

AE2=EF-EG=EF?2EF=2EF2,

AE=V2EF；

【點睛】本題考查作圖?復雜作圖、相似三角形的性質與判定、菱形的性質、平行四邊形的判定等知識，解

題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

【變式1-1］（2023?陜西?九年級校考階段練習）如圖，國48c中，AB=AC,04=108°,請你利用尺規在3c

邊上求一點尸，使團以施財8。（不寫畫法，保留作圖痕跡）

【答案】詳見解析

【分析】直接作出AB的垂直平分線，進而得出P點位置，利用相似三角形的判定方法得出即可.

【詳解】解：如圖所示：點P即為所求，

團AB=AC,0A=1O8\

團團B=13C=36°,

團EP是AB的垂直平分線，

0PA=PB,

?=0PAB=36°,

【點睛】此題主要考查了尺規作圖和相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵.

【變式1-2］（2023?陜西西安?西安行知中學校考模擬預測）如圖，在△48C中，AMWBC.請用尺規作圖法,

在射線4M上求作一點。，使得△DC4?△ABC.（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見詳解

【分析】作乙ACO=乙8,交AM于點點。即為所求.

【詳解】如圖所示，作乙/1C0=M，交AM于點。，點。即為所求,

HzD/lC=Z.ACB,

^z.ACD=乙B,

[SADCA-△ABC.

【點睛】本題考杳了相似三角形的判定，作?個角等于已知角，掌握以上知識是解題的關鍵.

【變式1-3]（2023春?河北保定?幾年級統考期末）在△ABC中，乙4c8=90。，用直尺和圓規在邊AB上確定

一點D,使△4C。?△48C,根據下列作圖痕跡判斷，正確的是（）

【答案】C

【分析】根據△4COSA/RC,可得zCZM==90。，即CD是4口的垂線，根據作圖痕跡判斷即可.

【詳解】解：當。。是A5的垂線時，△/CD-a/lBC,

???CD1AB,

Z.CDA=Z.BCA=90°,

^/.CAD=“AB,

0AACDABC.

根據作圖痕跡可知，

A選項中，CO是N4C8的角平分線，不符合題意；

B選項中，乙乙4。WZ_&48,不符合題意；

C選項中，CO是48的垂線，符合題意；

D選項中，C。不與A8垂直，乙ADCH乙ACB,不符合題意.

故選:C.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵.

【題型2三角板與相似三角形綜合運用】

【例2】（2023春?上海?九年級專題練習）等邊3c邊長為6,P為上一點，含30。、60。的直角三角板

60。角的頂點落在點戶上，使三角板繞P點旋轉.

⑴如圖1,當。為8c的三等分點，旦夕￡044時，判斷△放”的形狀；

⑵在（1）問的條件卜\FE、P/3的延長線交于點G,如圖2,求AEGB的面積;

⑶在三角板旋轉過程中，若CF=AE=2,（CFoBP）,如圖3,求PE的長.

【答案】（1）等邊三角形

⑵國

（3）4

【分析】（1）要證三角形EP戶是等邊三角形，已知了用石尸尸=63。，主要再證得PE=P尸即可，可通過證三

角形以明和PPC全等來得出結論，再證明全等過程中，可通過證明和來實現；

（2）由（1）不難得出團CFG=9（T,那么在團CFG中，有回C的度數，可以根據CF的長求出GC的長，從而

求出G8的長，下面的關鍵就是求G8邊上的高，過￡作EH08C,那么即就是所求的高，在直角回8￡「中，

有BP的長，有四18c的度數，可以求出BE、EP的長，再根據三角形面積的不同表示方法求HIE”的長，

這樣有了底和高就能求出團GBE的面積；

（3）由相似三角形的判定定理得出團BP￡03C”,設研=%,則CP=6-x,由相似三角形的對應邊成比例

可求出x的值，再根據勾股定理求出PE的值即可.

【詳解】（1）陰函48,05=60°,

因此直角三角形PE8中，BE=QP=：BC=PC,

團圓BPE=30°,

00EPF=60°,

在后BEP和團CP廠中，

(Z.B=Z.C

BE=PC，

【乙PEB=Z.FPC=90°

WBE^CPF,

0EP=PF,

酬EPF=60°,

I3I3￡P尸是等邊三角形.

(2)過上作于〃,

由(1)可知：FP^BC,FC=BP=^BC：4,BE=CP=^BC=2,

在三角形尸CP中，0PFC=9O°-EC=30°,

團團PF石=60°,

團團G尸C=90°,

直角三角形FGC中，團C=60。，Cr=4,

0GC=2CF=8,

^GB=GC-BC=2,

直角三角形BEP中回/尸=60°,BP=4,

0P￡=2V3,BE=2,

⑦EH=BE*PE+BP=?

此GBE==^BG-EH=V3；

(3)國在BPE中,團4=60°,

團團。￡0+團8戶￡=120°,

^EPF=60°,

0E1Z?PE+0FPC=12OO,

乂畫8=13C,

團團6P￡0團CFP,

喘點

設BP=x,則CP=6?x.

聽占

解得：x=2或4.

當上=2時，在西8EP中，團8=60°,BE=4,BP=2,

過E作EM38C于〃，

W

BHPC

貝IJE〃=2A/5,BH=2,

0P/7=O,

即P與〃重合，與CFwBP矛盾,故工=2不合題意，舍去；

當工=4時，在田2石戶中，（38=60。，BE=A,RP=A,

則加/P是等邊三角形，

0PE=4.

故PE=4.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和等邊三角形的性質以及相似三角形的判定與性質，注意對全

等三角形和等邊三角形的應用.

【變式2-1]（2023春?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形〃中，AB=點,AD=1U,宜角三角板

的直角頂點P在A。上滑動，（點尸與力，。不重合），一直角邊經過點C,另一直角邊與射線48交于點E.

(2)當/CP。=30°時,求PE的長；

⑶是否存在這樣的點P,使AOPC的周長等于△4EP周長的2倍？若存在，求出8E的長；若不存在，請說明

理由.

【答案】(1)詳見解析

(2)8

(3)5-尊

【分析】(1)根據矩形的性質，推出/〃=24=90。，再由直角三角形的性質，得出4PCD+2OPC=90。,

又因4CPE=90。，推出NEP4+/OPC=90。，Z.PCD=^EPAf從而證明△CDP團△/ME；

(2)根據含30。角的直角三角形的性質和勾股定理可得結論；

⑶假設存在滿足條件的點P,設=貝|J0P=1O—由△CDP(3"/4E知器=2,解獻的值，從而

得結論.

【詳解】(1)證明：???四邊形力8co是矩形，

Z.D=z.A=90°,

???/PCD+乙DPC=90°,

又乙CPE=90°,

Z.EPA+Z.DPC=90。，

/.PCD=Z.EPA,

/1FP0ADPC；

(2)解：在RtAPCD中,乙DPC=30°,CD=AB=2遮,

ACP=2CD=4百，

22

APD=y/PC-CD=(46)2-(2㈣2=6,

VAD=10,

???AP=10-6=4,

vLCPE=90°,

/APE=60°,

Rt^APE^P，LAEP=30°,

PE=2AP=8；

（3）解：假設存在滿足條件的點P,

設?IP=x,則PD=10-x,

???△CDP0APAE,

根據△COP的周長等于△PAE周長的2倍，得到兩三角形的相似比為2,

二且=絲，即2=*=2,

APAEXAE

解得％=V3,

Ar10-V3

???AE=-2--,

BE=AE-AB=-273=5--.

22

【點睛】此題是相似三角形的綜合題，考查了矩形的性質，含30。角的直角三角形的性質，相似三角形的性

質和判定等知識，根據△COP的周長等于△/ME周長的2倍，得到兩三角形的相似比為2是解題的關鍵.

【變式2-2］（2023春?江蘇泰州?九年級校考階段練習）（1）如圖1,將直角三角板的直角頂點放在正方形

A4CO上，使直角頂點與。重合，三角板的一邊交43于點P,另一?邊交8c的延長線于點Q.則。P0Q（填

或"=〃）.

（2）將（1）中“正方形ABCQ〃改成“矩形48CD”,且AO=2,CO=4,其他條件不變.

①如圖2,若PQ=5,求4P長.

【答案】（1）=;（2）①1,②乎

【分析】(1)先證明0/1QPE0C。。，即可求解：

(2)①先證明團4。陽團CQQ,可得蕓=管=2=3設AP=x，則CQ=2x,

CQCD42

再由勾股定理，即可求解：

②過點8作B￡IM)P交。尸延長線于點E,MWQ于點F,根據射。廂3CDQ,可得財?。=%,蕓=穿=：=

p從而得到魴尸E=QQ,再由角平分線的性質定理可得8代BF,進而證得(3B“013BFQ,得至ljBP=8Q,從而

得到4P二|,再由勾股定理，即可求解.

【詳解】解團(1)在正方形/WC7)中，

^A=^BCD=WCQ=^ADC=90°,AD=CD,

物PQQ=90°,

^PDQ^ADC=90°,

團財OP+回產。。=團。。。+酎。。=90°,

配L4OPWCQQ,

^ADP^CDQ,

回。P=Z)Q；

故答案為葬

(2)①團四邊形ABC7)是矩形，

回財=酎。。=團4c0=90°.

回斯。P+團POC=(3COQ+國POC=90°,

團財。P=12COQ.

又回。CQ=90°.

^ADP^CDQ,

c4PAD21

CQCD42

設AP=.i,則CQ=2x,

團尸8=4-x,8Q=2+Zt.

由勾股定理得，在用加有。中，PB2+BG=PQ2,

代人得(4—x)2+(2+2A)2=52,

解得x=l,即4P=1.

財戶的長為1.

②如圖，過點4作四M）。交。。延長線于點￡,/"同。。于點尸,

由①得：^ADP^CDQ,

E5cC八APAD21

國3AP￡>=團Q,——=——=-=一，

上CQCD42

回CQ=Z4P,

回財PD=（38P￡,

釀囹Q,

團8￡>平：分團尸。Q,BE^DE,B蜘DQ,

?BE=BF,

回回E=Z8FQ=90°,

團團BE用⑶8/。，

OBP=BQ,

設AP=/〃，則/?。=80=4-〃?，CQ=2m,

回2+2/〃=4-〃?，解得：m=

3

BPZP=-,

3

0DP=y/AD2+AP2=J22+Q）2=竽

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形和全等三角形的判定和性質，角平分線的性質定理，

勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵.

【變式2-3］（2023春?廣東廣州?九年級校考階段練習）一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB

中點，E、〃分別是一個三角板與另一個三角板直角邊AC8C的交點，已知A石=2,CE=5,連接。七，M為

8c上一點，且滿足回CM￡>20AQE,EM=.

【分析】由。￡=5,AE=2,得AC=7,利用勾股定理，得到AQ的長度，過七作￡陵4）于N,求出硒和

QN的長度，由于回CM￡=2[MDE,延長MB至P,是可以證明^DNE-△PCE,MP=x,在Rt△MCE

中，利用勾股定理列出方程，即可求解.

【詳解】解：如圖，過E作EMM。于N,

???Z.END=LENA=90°,

：.4NEA=Z/4=45°,

田NE=NA,

-AE=yjNE2+NA2=>/2NA,

AE「

NE=NA=—=V2,

同理，40=保二苧，

DN=AD-NA=―,

延長至P,使MP=ME,連接戶￡,

自可設4MPE=乙MEP=x,

...Z.EMC=乙MPE+乙MEP=2x,

v/.EMC=2/-ADE,

LADE=Z-MPE=X,

又乙DNE=乙PCE=90°,

:心DNEPCE.

CENE_V2_2

''PE='DN=5??=5*

2

25

：?PC=

設MP=ME=%則CM=y

在法△MCE中，ME2=CM2+CE2,

.GT+25=*

29

???x=—,

4

29

ME—.

4

【點睛】本題考查了勾股定理，二倍角的輔助線的構造，方程思想求線段，熟練掌握二倍角輔助線是解決

問題的關鍵.

【題型3裁剪與相似三角形綜合運用】

【例3】（2023春?全國?九年級期中）如圖1所示，一個木板余科由一個邊長為6的正方形和一個邊長為2

的正方形組成，甲、乙兩人打算采用剪拼的辦法，把余料拼成一個與它等積的正方形木板.

甲：如圖2,沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得4M=2.

乙：如圖3,沿虛線剪開可以拼接成所需正方形，并求得

卜列說法正確的是（）

圖3

A.甲的分割方式不正確

B.甲的分割方式正確，AM的值求解不正確

C.乙的分割方式與所求AM的值都正確

D.乙的分割方式正確，AM的值求解不正確

【答案】D

【分析】根據題意畫出相應的圖形，再逐個驗證拼圖是否符合題意，再利用全等二角形的性質，正方形的

性質以及相似三角形的判定與性質求解即可.

【詳解】解：如圖所示，將團行平移至將團M8C平移至回/石M

由此可得AM=QC=2,FA=ND=6,NE=BC=2,

團DE=ND-NE=4（符合題意），

回甲的分割方式正確，4M的值求解也正確，

故選項A、選項B的說法都是錯誤的，不符合題意；

如下圖所示，將MEG平移至團VB，，連接G”，交AB于點M,將HGAM平移至團EDP,將團尸C8平移至團

由此可得G4=E￡>=6-2=4,AM=DP,MN=PC,NB=EF,

回OP+PC+EF=2+6=8=A8,

（3當尸G=M7=8C=2時，G4=ED=4（符合題意），

田砌=（3〃NM=90°,SAMGFNMH,

^AMG^NMH,

廷=絲

MNNH

啜瀉，

解得：4M=/

回乙的分割方式正確，AM的值求解不正確，

故選項C的說法是錯誤的，不符合題意，選項D的說法是正確的，符介題意，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了平移的性質，全等三角形的性質，正方形的性質以及相似三角形的判定與性質，

熟練掌握相似三角形的判定與性質是解決本題的關鍵.

【變式3-1]（2023?河北保定?統考二模）如圖為三角形紙片A8C,其中。點和E點將4B三筆分，尸點為

DE中點.若小慕從A8上的一點P,沿著與直線8c平行的方向將紙片剪開后，剪下的小三角形紙片面積為

△4BC的點則下列關于。點位置的敘述正確的是（）

B

A.在此上，但不與廠點也不與E點重合B.在。尸上，但不與。點也不與尸點重合

C.與￡點重合D.與。點重合

【答案】A

【分析】根據題意確定出剪下來的三角形與三角形ABC相似，面積比為%得到相似比苧，逐一判斷各選項

即可.

【詳解】解：由題意得，剪下來的三角形與三角形ABC相似，面積比為成

故相似比為

y33

即竺=烏

AB3

選項A：\AB<AP<\AB,則：<笠<；，符合題意；

232A83

詵項B：之AB<AP<-AB,則;<啜<不符合題意：

選項C：AP,則嵋=j不符合題意；

\3AB=AR3

選項D：以8=4P,則喘=；,不符合題意；

3AB3

故選：A.

【點睛】本題考查了相似三角形性質的實際應用，對?于操作類題目，要對每個選項逐一分析，解題的關鍵

是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方.

【變式3-2］（2023?福建泉州?中考真題）（1）如圖1是某個多面體的表面展開圖.

①請你寫出這個多面體的名稱，并指出圖中哪三個字母表示多面體的同一點：

②如果沿BC、G”將展開圖剪成三塊，恰好拼成一個矩形，那么138MC應滿足什么條件？（不必說理）

（2）如果將一個三棱柱的表面展開圖剪成四塊，恰好拼成一個三角形，如圖2,那么該三棱柱的側面積與

表面積的比值是多少？為什么？（注：以上剪拼中所有接縫均忽略不計）

【答案】（1）①直三棱柱，點A、M、D三個字母表示多面體的同一點.②團8WC應滿足的條件是:a、勖MC=90。，

且BM=DH,或CM=DH；b、0MBC=9O°,且/3M=Q〃，或BC=DH：。、團4cM=90°,且8C=Q〃，或CM=。”；

⑵-2

【分析】（1）①根據多面體的側面展開圖可以判斷，且A、M、。是一點；②要使最后的圖形為矩形，必

須使團BMC是百角三角形，且團BMCB3//GM

（2）連接AA、BC、CA,可知矩形ACKL、H1JC、AGUN為棱柱的三個側面，且四邊）脛/X7AL、EIBH.卜KCJ

須拼成與底面財BC全等的另一個底面的三角形，然后根據三角形相似的判定和相似比可確定結果.

【詳解】解：（1）①根據這個多面體的表面展開圖，可得這個多面體是直三棱柱，

點A、M、。三個字母表示多面體的同一點.

②同8MC應滿足的條件是：

〃、團3MC=90°,且8M=。"，或CM=DH；

b、0MBC=9O°,且8M=。"，或BC=DH；

c、回BCM=90°,且8C=OH,或CA/=。”；

（2）如圖2,連接AB、BC、C4,

團皿犯〃是由一個三棱柱表面展開圖剪拼而成，

但矩形ACKL、BUC.AG48為棱柱的三個側面，

且四邊形ZXML、EIBH、/KCZ須拼成與底面財BC全等的另一個底面的三角形,

（MC=LK,且AOOL+FK,

那一，

DF2

同理，可得

AB^_B￡_A￡_1

DE~EF~DF~2f

SADEF4

即S3EF=4SAABC，

_S4DEF-2S&ABC_2sMBC_1

-1—.............——,

S&DEF4SAABC2

即該三棱柱的側面積與表面積的匕值是也

【點睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數形結合

方法的應用，要熟練掌握.此題還考杳了相似三角形的判定和性質的應用，要熟練掌握.同時此題還考杳

了直三棱柱的表面展開圖的特征和應用，要熟練掌握.

【變式3-3](2023?吉林長春?一模)綜合與實踐

折紙是同學們喜歡的手工活動之「通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著

豐富的數學知識.

折一折：把邊長為2的正方形紙月ABCD對折，使邊4B與CD重合，展開后得到折痕E只如圖①；點M為CF上

一點，將正方形紙片ABC。沿直線DM折疊，使點C落在上的點N處，展開后連接DN,MN,AN,如圖②.

圖②

；線段NF=

(2)圖②中，試判斷△AND的形狀，并給出證明.

剪一剪.、折一折：將圖②中的AHND剪下來，將其沿直線GH折疊，使點A落在點A處，分別得到圖③、圖

⑷.

⑶圖③中，陰影部分的周長為.

（4）圖③中，若41'GN=80。，則Z/'HO=。.

⑸圖③中，相似三角形（包括全等三角形）共有對.

⑹如圖④，點力'落在邊ND上,若A'N=2A'D,則煞=

【答案】（1）75°,2-V3；

（2）44ND是等邊三角形，理由見解析；

（3）6；

（4）40；

⑸4對;

4

【分析】（1）由折疊知DE==貝吐EON=60。，ACDM=Z.NDM=15°,EN=%N=G可

得答案；

（2）由折疊知EF是AO的垂直平分線，得AN=DN,由（1）得4EDN=60。，從而得出答案；

（3）由折疊知AG=AG,ArH=AH,則圖③中陰影部分的周長=AADN的周長=3x2=6；

（4）由折疊知乙4GH=50。,則4）HG=2知”G=70。,再利用平角的定義可得答案;

（5）根據兩組角相等可說明ANMG?AAMP?AOHP,由折疊知，A/1GH三A4ZH,從而得出答案；

（6）設HN=2x,ArD=x,說明ANGN?AAM'。，則半=”=竽，設4G=4G=m,AH=AH=n,

AHDHAD

則GN=2—m,DH=2—n,得出解得：rn.=得出竺=—==2+2^3=

n2-nxx+2AHnx+22+3--34

【詳解】（1）解：由折疊的性質得，四邊形CDEF是矩形，??.EF=CD,4EOF=90。，DE=AE=^AD,

???將正方形紙片4BCD沿直線DM折疊，使點C落在EF上的點N處，

：.DN=CD=2DE,MN=CM,

:.乙EDN=60°,

Z.CDM=乙NDM=15°,EN=—DN=V3,

2

???LCMD=75°,NF=EF-EN=2-y[3,

故答案為：75°；2-V3：

（2）解：AADN是等邊三角形，理由如下：

由第?次折疊知，￡尸是4。的垂直平分線,

AN=DN,

vZ.EDN=60°,

???A/WN是等邊三角形；

（3）解：???將圖②中的A/1NO剪下來，將其沿直線G，折置，使點A落在點4處,

AG=AG,ArH=AH,

，醫③中陰影部分的周長=A4DN的周長=3x2=6,

故答案為：6；

（4）解：將圖②中的A/INO剪下來，將其沿直線G”折疊，使點4落在點4,處，

Z.AGH=,Z.AHG=Z.AHG,

???NAGN=80,

:./.AGH=50°,

乙AUG=^A/HG=70°,

:.ZA'HG=180°-70°-70°=40°,

故答案為：40；

（5）解：如圖③，???ZNMG=Z/TMP,4A'PM=4DPH,

A

由折疊知，A/1GH三A/rGH,

???圖③中的相似三角形（包括全等三角形）共有4對,

故答案為：4對；

（6）解：???AN=271'D,設力'N=2x,A'D=x,

vND=NA'+A'D,

2=2x+%=3x?

2

X="

vz/V=Z.D=Zi4=ZTT=60°,

4NA'G+乙A'GN=乙NAG+￡DA'H=120°,

：.WGN=Z.DA'H,

???MGN?△，"，

?_K_G=A,'N—_G_N

,，H~DH-AfDr

設A'G=AG=m,A'H=AH=n?

:.GN=2—m,HD=2—n,

m2x2-m

:.—=----=------,

n2-nx

故答案為:

4

【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等邊三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，折疊的

性質，全等三角形的判定與性質，利用相似三角形的周長比等于相似比是解決問題的關鍵.

【題型4折疊與相似三角形綜合運用】

【例4】（2023?遼寧鞍山?統考一模）如圖,在矩形4BC。中，點￡是BC邊上一點,連接將AOCE沿DE所

在直線翻折得到仆DC'E,C'E與AD交于F,點N為OE中點，射線AN交CO邊于點G,連接4E,若4凡4E=乙FEC,

AB=V15,BC=6,則DG長為

6危

【答案】

7

【分析】過點E作EH1AD,延長AG交BC延長線于7,由垂直證明四邊形為矩形，設BE=4H=%,

由角相等推出E4=EF,因為AH=HF=x,即可表示出DF=6-2x,用HL證明△ABEwa

DCF,FC1=x,由勾股定理求出第=1,再由N為DE中點，可由AAS證明△ZMN三△ETN,可求得CT=1,

再利用角相等證明△DAG八CTG,相似三角形對應邊成比例可求得0G的長度.

（詳解］解：過點E作EH1AD,延長4G交BC延長線于T,

???NB=LBAF=Z.AHE=90°,

??.四邊形力BE"為矩形，

:.BE=AH,

設BE=4H=x,

v/ID||FC,

:.Z.FEC=Z.AFE,

vZ.FAE=Z.FEC,

:.Z.AFE=LFAE,

EA=EF,

?:EH1AF,

???AH=HF=x,

:.AF=2x,

:.DF=6—2x,

vAD\\BC,

Z.ADE=乙DEC,

由折疊可知：乙FED=LDEC,

:.Z.ADE=乙FED,

???EF=FD,

EA=FD,

vAB=CD=V15,

vZ.ABE=乙DC'E=90°,

.?.△ABE三△OC'尸(HL),

FC=BE=x,

在Rt△C'F。中由勾股定理可得:

z,2,2

FD=FC+CDf

2

(6-2x)2=r2+(>/15).

解得：x=1或x=7（舍去），

:.BE=1,

???/V為。￡中點,

：.DN=NE,

-ADWBC,

???Z.DAN=Z.T,

又??4ADE=iDEC,

.??△n4N三△ETN(AAS),

:.AD=ET=6,

vAD=BC=6,

:.BE=CT=1,

VAD\\BC,

AZ.ADG=Z-GCT=90°,

???Z.DAG=乙T,

**?△DAG?△CTG,

ADDGDG6

crCG反一DG1

解得：DG=巫.

7

故答案為：半

【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的知識，相似三角形判定和性質，正確做出輔助線是解答本題的關

鍵.

【變式4-112023?上海?九年級假期作業）如圖，在矩形ABCD中，48=3,點E在邊AB上，AE=2,連接

DE,將△力DE沿著DE翻折，點A的對應點為P,連接EP、DP,分別交邊BC于點F、G,如果=

4

那么CG的長是

【答案】警

【分析】延長EP交。C于點Q,根據已知得出皆=/證明凡求得CQ=3,根據折疊的性質以

及平行線的性質得出QE=QD,在Rt△PDQ中，PD=y/DQ2-PQ2=V62-42=2通,進而得出8c=AD=

P0=26，證明根據相似三角形的性質即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長EP交0。于點Q，

理“，

FC3

回四邊形力BCD是矩形，

團4BIICD,AB=CD=3,AD=BC

0AEBF?XQCFt

EBBF1

%=員=正=7

回BE=1,

團CQ=3BE=3,

WQ=DC+CQ=6,

團折疊,

(L4D=PD,Z.AED=乙QED,AE=EP,

則8c=PD,

又a4B||CD,

^LAED=乙EDQ

^Z-DEQ=乙EDQ,

(3QE=QD=6

(ME=EP=2,

^PQ=EQ-EP=6-2=4,

在Rtz\POQ中，PD=^DQ2-PQ2=A/62-42=2A/5,

(BBC=AD=PD=2而，

0BF="BC=—,

42

0ZFFF=90°-乙BFE,乙BFE=Z-PFG=90°-乙PGF,Z.PGF=Z.DGC=90°-乙GDC

團/BEF=乙DGC,

又用乙B=zC=90°,

團4EBF?&GCD?

挹BF

%=茄，

、后

即上=工，

CG3

^CG

D

故答案為：”.

【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，相似三角形的性質與判定，熟練掌握折疊的性質以及相似三角形的

性質是解題的關鍵.

【變式4-2](2023?安徽?九年級專題練習)如圖，將矩形A8CD沿A廣折疊，使點。落在8c邊的點E處,

過點E作EG0CO交于點G,連接。G.

(1)求證：四邊形EFQG是菱形;

(2)求證EG2=Zb?AF：

2

（3）若AG=3,EG=V5,求BE的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）8￡=竽.

【分析1（1）先依據翻折的性質和平行線的性質證明［3OGFR］。尸G,從而得到GQ=OF,接下來依據翻折的

性質可證明DG=GE=DF=EF；

（2）連接OE,交力產于點0.由菱形的性質可知GR3OE,OG^OF^GF,接下來，證明團。0g財。凡由

相似三角形的性質可證明。F2=F0?AF,于是可得到GE、AF,只7的數量關系；

（3）過點G作GZ/aOC,垂足為H.利用（2）的結論可求得〃G=4,然后再助/）產中依據勾股定理可求得

人。的長，然后再證明團PGM亞mW,利用相似三角形的性質可求得GH的長，最后依據4E=/1Q-G〃求解即

可.

【詳解】（1）證明：團G旗。凡

00￡GF=0DFG.

因由翻折的性質可知：GD=GE,DF=EF,WGF^EGF,

00DGF=0DFG.

0GD=DF.

6DG=GE=DF=EF.

國四邊形KF/）G為菱形.

（2）證明：如圖1所示：連接交AF于點。

回四邊形EFDG為菱形，

0G=OF=-GF

0GM3DE,2f

00DOF=0ADF=9O°,HOF￡>=0DM,

^DOF^ADF.

爬=絲，即。產=P0?4P.

AFDF

^FO=^GF,DF=EG,

^EG2=-GF-AFt

2

（3）如圖2所示：過點6作6版。C,垂足為，.

^EG2=^GF-AF,AG=3,EG=V5,

團5=^FG（FG+3）,整理得：FG2+3FG-1O=O.

解得：FG=2,FG=-5（舍去）.

WF=GE=yf5,AF=5

團4D=>/AF2-DF2=2V5

0G/70DC,AD^DC,

0GMMD.

00FGH03MD.

啜，即豺，

團G"=容.

團BE=-G”=2代-竽=誓.

【點睛】本題主要考查的是四邊形與三角形的綜合應用，解答本題主要應用了矩形的性質、菱形的判定和

性質、相似三角形的性質和判定、勾股定理的應用，利用相似三角形的性質得到。尸=尸。1尸是解題答問題

（2）的關鍵，依據相似三角形的性質求得G”的長是解答問題（3）的關鍵.

【變式4-3］（2023?安徽?模擬預測）如圖，將矩形A8CO折疊，使點。落在上點。處，折痕為AE;再

次折疊，使點C落在EO上點。處，連接FC并延長交AE于點G.若A8=8,AD=5,則FG長為（）

A.5V2B.V29C.yD.4

【答案】C

【分析】過點G作GEW,GMEiy,垂足分別為/、H,由折疊的性質可得C￡>5-4=1,在KaEFC中,設

FC=x,則EF=3-x,由勾股定理得：12+(3-x)2=f,解得：戶工再證明△4CQ國CGH,設CH=3m,則GH=4m,

3

CG=5rn,則“Q'=G/=A/=4-3〃?，ZD'=5-(4-3/M)=l+3m=GH=4m,可得到CG=5〃?=5,從而解決問題.

【詳解】解：由折疊的性質得，040^=0^=90°,AO=A。'，

又觀D4B=90°,

團四邊形AOE。是矩形，

^AD=AD',

國四邊形AOEQ'是正方形，

過點G作GGH^ED',垂足分別為/、H,

a4D=DE=ED'=AD'=5,BC=BC=5,(3C=0?CF=9OO,FC=FC,

田。足￡08-5:3,

在QQC4。'中，CD"

0C￡=5-4=1,

在R/0ER7中，設R7=x,則Er=3-X,由勾股定理得:

12+(3-x)2=f,

解得：V

團團8CZT+團GC77=90°,回GC77+SCG”=90°,

^BCD'^CGH,

又（33G”C'=[3BQ'C=90°,

昵8c77瞠C'G”，

0CW：GH：CG=BD'：CD'：BC=3：4：5,

設CH=3m,則GH=4m,C'G=5m,

a/7D'=G7M/=4-3/n,Z/7=5-（4-3"）=l+3m=GH=4m,

解得：*1,

團CG=5〃?=5,

囹尸G號;

故選:C.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，正方形的判定與性質，翻折的性質，勾股定理，相似三角形的判定

與性質等知識，作輔助線構造三角形相似是解題的關鍵.

【題型5判斷與相似有關結論的正誤】

【例5】（2023春?湖北襄陽?九年級統考期中）如圖所示，邊長為4的正方形.ABCD.中，對角線，BD交

于點。，E在線段OD上，連接CE,作EF_LCE交4B于點F,連接CF交8。于點，，則下列結論：?EF=EC；

②C產=CG-C4③BE?DH=16；④若=1,則DE=卜2,正確的是（）

A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】①由"SAS〃可證△/WE=ACDF,可得4E=EC,乙DAE=△DCE,由四邊形的內角和定理可證

Z-AFE=Z.BCE=LEAF,可得=EF=EC；

②通過證明△/CG?AACF,WWCF2=CG-CA；

③通過證明?△CDH,可得生=”，通過證明△ECH八EBC,可得生=絲，可得結論;

ECCDECBE

④通過證明△AFC八DEC,可得攜=今,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接AE,

???四邊形力BCD是正方形，

:.AD=CD,Z.ADB=乙CDB=^3AC=4。AC=45°,

又?.DE=DE,

???△ADE三△CDE(SAS),

:.AE=EC,Z.DAE=乙DCE,

???Z.EAF=Z-BCE,

vZ.ABC+Z-FEC+Z-EFB+4BCE=360°,

:.乙BCE+乙EFB=180°,

X*.LAFE+乙BFE=180°,

???Z.AFE=乙BCE=LEAF,

???AE=EF,

：.EF=EC,故①正確；

???EF=EC,Z.FEC=90°,

Z.EFC=Z-ECF=45°,

Z.FAC=Z.EFC=45°,

又?.Z.ACF=ZFCG,

FCGsxACF,

.CF_CA

,?CG~CF'

CF2=CG-CA,故②正確;

.V(ECH=乙CDB.,Z.EHC=乙DHC,

:AECHS&CDH,

.CH_EC

“而一CD,

.CH_DH

'''EC_CD*

VZ.ECH=Z.DBC,乙BEC=LCEH,

???△ECH?AEBC,

CHEC

BCBE

CUBC

:.—=一,

ECBE

DHBC

:.BC-CD=DH-BE=16,故③正確：

BF=1,AB=4,

A/4F=3,AC=4V2,

?:乙ECF=^LACD=45°,

:.Z.ACF=Z-DCE,

XvZ.FAC=乙CDE=45°,

AFCs4DEC,

.?.竺=”，

DECD

—=\/2?

DE

.?.DE=芋，故④正確，

故選：D.

【點睛】本題是四邊形綜合題，考杳了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，相似三角形的判定和性

質，靈活運用這些性質解決問題是本題的關鍵.

【變式5-1］（2023?內蒙古赤峰?統考中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形48C0沿著直線DE折疊，使

點C與48延長線上的點Q重合.DE交BC于點、F,交48延長線于點七.DQ交BC『點P,0M_L/8丁點M,

AM=4,則下列結論，?DQ=EQ,@BQ=3,③3P=”，@BD||FQ.正確的是（）

8

C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折疊性質和平行線的性質可得根據等角對等邊即可判斷①正確；根據

等腰三角形三線合一的性質求出MQ=AM=4,再求出8Q即可判斷②正確：由^CDPBQP得啜=^=

BPBQ

3求出BP即可判斷③正確；根據黑工器即可判斷④錯誤.

3DeDC

【詳解】由折疊性質可知：乙CDF=￡QDF,CD=DQ=S,

^CDWAB,

團乙。。尸=乙QEF.

0Z(?DF=乙QEF.

WQ=EQ=5.

故①正確;

回OQ=CD=AD=5,DM1AB,

團MQ=/1M=4.

回MB=/IB-/1M=5-4=1,

回BQ=MQ-MB=4-1=3.

故②正確;

^CDWAB,

0ACDPBQP.

QCD5

0CP+BP=BC=S,

助P*BC吟

故③正確;

^CDWAB,

0ACDFBEF.

DF_CD_CD__5__5

EF~BE~BQ+QE~3+5~~8*

近8

%=7?

嗡，

^DE'BE，

I?IAEFQ與A七NN不相彳以.

國乙EQF工Z.EBD.

回8D與5Q不平行.

故④錯誤；

故選A.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，菱

形的性質等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關性質是解題的關鍵.

【變式5-2](2023?山東泰安?統考二模)如圖，正的邊長為2,沿的邊4C翻折得ZMDC,連接

BD交AC于點、O,點M為BC上一動點,連接力M,射線4M繞點A逆時針旋轉60。交8c于點N,連接MN、OM.以

下四個結論：①△4MN是等邊三角形：②MN的最小值是V5：③當MN最小時S.MN=：S菱形.CD；④當

OM1BC時，0爐=ON-48.正確的是()

CND

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】先證明△打力”三△G4N(A5A),可得4M=AN,結合4AM/V=60。，可判斷△力M/V是等邊三角形，

故①正確；因為MN=/M,即MN的最小值為力M的最小值，所以當4M1.8C時，4M最小，求出此時71M的

長即可判斷②正確；可證明此時乂村為48C0的中位線，再得△CMNC8D,相似比為1:2,S"MN：S△謝=

1:4,即SACMN=3SAC8。，結合=[s菱形A8CD，可證明SACMN=菱形A8CD，故③正確；證明△BOC?

△0MC,由相彳以的性質得好=—,即。。2=BC?MC,結合。力=OC,BC=AB,MC=DN,即可證明。力2=

DNAB,故④正確.

【詳解】解：團正△48C的邊長為2,沿△ABC的邊4C翻折得△耳八,

團48=AC=AD=CD=BC,Z-ABC=Z.BAC=Z.ACB=Z.ACD=60°,

回4BAC=乙MAN=