專題3.2圖形的旋轉(zhuǎn)【十大題型】

【浙教版】

，題型梳理

【逑型I生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】..........................................................................1

【題型2判斷一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】...............................................................3

【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點(diǎn)】...............................................................5

【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】.......................................................................8

【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】.......................................................................15

【題型6判斷旋轉(zhuǎn)對稱圖形】........................................................................21

【題型7作圖-旋轉(zhuǎn)變換】.............................................................................23

【題型8求饒某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)】......................................................................30

【題型9旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究】.........................................................................35

【題型10旋轉(zhuǎn)中的最值問題】.......................................................................38

，舉一反三

【知識點(diǎn)1旋轉(zhuǎn)的定義】

在平面內(nèi)，把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)o叫做旋轉(zhuǎn)中

心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。

【題型1生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象】

【例1】（2023春?廣東揭陽?九年級統(tǒng)考期中）下列現(xiàn)象：①地下水位逐年下降，②傳送帶的移動(dòng)，③方向

盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，④水龍頭的轉(zhuǎn)動(dòng)；其中屬于旋轉(zhuǎn)的有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的概念解答即可.

【詳解】解?：①地下水位逐年下降，不是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；

②傳送帶的移動(dòng)，不是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象：

③方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；

④水龍頭的轉(zhuǎn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)

一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn).

【變式1-1］（2023春?江蘇?九年級期中）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn)180。，得到數(shù)字“9”，將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn)180°,得到數(shù)

字“6”，現(xiàn)將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180°,得到的數(shù)字是.

【答案】689

【分析】直接利用中心對稱圖形的性質(zhì)結(jié)合“689”的特點(diǎn)得出答案.

【詳解】解：將數(shù)字“689”整體旋轉(zhuǎn)180。,得到的數(shù)字是：689.

故答案為:689.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，能夠想象出旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題關(guān)鍵.

【變式1-2］（2021春?廣東廣州?九年級統(tǒng)考期末）“玉兔”在月球表面行走的動(dòng)力主要來自太陽光能，要使接

收太陽光能最多，就要使光線垂直照射在太陽光板上.現(xiàn)在太陽光如圖照射，那么太陽光板繞支點(diǎn)A逆時(shí)針

最小旋轉(zhuǎn)（）可以使得接收光能最多.

太陽光

A.46°B.44°C.36°D.54°

【答案】B

【分析】根據(jù)垂直的定義和旋轉(zhuǎn)方向，計(jì)算可得.

【詳解】解：由題意可得：

若要太陽光板于太陽光垂直，

則需要繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。-（180°-134°）=44°,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)際生活中的垂直的定義，旋轉(zhuǎn)的定義，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)分為順時(shí)針和逆時(shí)針.

【變式1-3］（2020秋.九年級課時(shí)練習(xí)）摩天輪上以等間隔的方式設(shè)置36個(gè)車席，車廂依順時(shí)針方向分別

編號為I號到36號，且摩天輪運(yùn)行時(shí)以逆時(shí)針方向等速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一圈花費(fèi)30分鐘，若圖2表示21號車

廂運(yùn)行到最高點(diǎn)的情形，則此時(shí)經(jīng)過多少分鐘后，3號車廂才會運(yùn)行到最高點(diǎn)？（）

旋

轉(zhuǎn)

方

向

由2

A.14分鐘B.20分鐘C.15分鐘D.三分鐘

【答案】C

【分析】先求出從21號旋轉(zhuǎn)到3號旋轉(zhuǎn)的角度占圓大小比例，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)一圈花費(fèi)30分鐘解答即可.

【詳解】解?：些等2'30=15（分鐘）.

所以經(jīng)過20分鐘后，3號車廂才會運(yùn)行到最高點(diǎn).

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，理清題意，得出從21號旋轉(zhuǎn)到3號旋轉(zhuǎn)的角度占圓大小比例

是解答本題的關(guān)鍵.

【知識點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】

（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等：

（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

理解以下幾點(diǎn)：

（I）圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。

（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。

（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置。

【題型2判斷一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)而成的圖案】

【例2】（2020春?山西晉城?九年級統(tǒng)考期末）如果齒輪A以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪E旋轉(zhuǎn)的方向（）

A.順時(shí)針B.逆時(shí)針

C.順時(shí)針或逆時(shí)針D.不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)圖示進(jìn)行分析解答即可二

【詳解】齒輪A以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪B以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪C以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪D以順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)，齒輪E以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

故選B.

圖I

A.平移B.翻折C.旋轉(zhuǎn)D.以上三種都不對

【答案】C

【詳解】解：根據(jù)圖形可知，這種圖形的運(yùn)動(dòng)是旋轉(zhuǎn)而得到的,

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，熟記圖形的旋轉(zhuǎn)的定義（把一個(gè)平面圖形繞平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,

叫做圖形的旋轉(zhuǎn)）是解題關(guān)鍵.

【變式2-3］（2023春?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，下列的圖案是由什么基本圖案經(jīng)怎樣的旋轉(zhuǎn)得到的，把它畫

出來？

【答案】見解析

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

以上基本圖案繞著對稱軸旋轉(zhuǎn)一周得到.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)正確作圖是解本題的關(guān)鍵.

【題型3找旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、對應(yīng)點(diǎn)】

【例3】（2023春?福建漳州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在7x5方格紙中，格點(diǎn)三角形甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到格點(diǎn)

三角形乙，則其旋轉(zhuǎn)中心是（）

A.點(diǎn)MB.點(diǎn)、NC.點(diǎn)〃D.點(diǎn)Q

【答案】A

【分析】先確定點(diǎn)A與點(diǎn)￡為對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)8和點(diǎn)尸為對應(yīng)點(diǎn)，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得旋轉(zhuǎn)中心在AE的垂直平

分線上，也在8F的垂直平分線上，所以作的垂直平分線和8尸的垂直平分線，它們的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心.

【詳解】解：???甲經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后得到乙，

???點(diǎn)A與點(diǎn)E為對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)8和點(diǎn)尸為對應(yīng)點(diǎn)，

???旋轉(zhuǎn)中心在AE的垂直平分線上，也在8尸的垂直平分線上，

作AE的垂直平分線和B尸的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為M點(diǎn)，如圖，

即旋轉(zhuǎn)中心為M點(diǎn).

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.

【變式3-1](2022秋?全國?九年級專題練習(xí))如圖，4ABe和ZL4DC都是等邊三角形.

(I)2MBe沿著所在的直線翻折能與440。重合；

(2)如果ZL4BC旋轉(zhuǎn)后能與zMOC重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)是；

(3)請說出2中一種旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【答案】（1）AC；（2）.點(diǎn)4、點(diǎn)C或者線段AC的中點(diǎn)；（3）60。

【分析】（1）因?yàn)閆L4BC和41DC有公共邊AC,翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；（2）將△ABC旋

轉(zhuǎn)后與ZL4OC重合，可以以點(diǎn)A、點(diǎn)C或AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心：（3）以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋轉(zhuǎn)

60%以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180°

【詳解】（l）???2L48C和41。。都是等邊三角形，

???44BC和44DC是全等三角形，

/.△ABC沿著AC所在的直線翻折能與△ADC重合.

故填A(yù)C;

⑵將仆ABC旋轉(zhuǎn)后與ZMDC重合，則可以以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。或以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)60°,或以AC的中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180。即可；

（3）以點(diǎn)A、點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心時(shí)都旋轉(zhuǎn)60。，以AC中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)180。.

【點(diǎn)睛】此題考查平移的對稱軸確定的方法、旋轉(zhuǎn)中心確定的方法，依照平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)來確定即可.

【變式3-2]（2022秋.河北石家莊.九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形旋轉(zhuǎn)后能與正方形COE嚴(yán)重合，那

么點(diǎn)A,B,C,。中，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有個(gè).

ADE

BCF

【答案】2.

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類討論確定旋轉(zhuǎn)中心.

【詳解】解：把正方形ABCD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)D；

把正方形ABCD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。能與正方形CDEF重合，則旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)C：

綜上，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的有2個(gè).

故答案為；2.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋

轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了正方形的性質(zhì).

【變式3-3］（2023春.山東荷澤.九年級統(tǒng)考期末）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，點(diǎn)

4、8都在格點(diǎn)上.線段A8繞著某一定點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a（0。VaV180。）后,得到線段￡夕（點(diǎn)4、

【答案】90°

【分析】首根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)。，即可解決問題.

【詳解】解：如圖，連接44,8夕,由網(wǎng)格作44,8夕的垂直平分線,交于點(diǎn)O,

工點(diǎn)。為旋轉(zhuǎn)中心，

：.LAOA'=90°,即旋轉(zhuǎn)角為90。，

故答案為：90°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)角度的確定，畫出圖形能快速解決問題.

【題型4利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明】

【例4】（2023春?河南南陽?九年級統(tǒng)考期末）在△48。中，AC=CB,^ACB=90°,點(diǎn)。為△ABC內(nèi)一點(diǎn),

連接力。、CD.

圖1圖2

⑴把△/1(/〃逆時(shí)針的轉(zhuǎn)得到了△C8E.如圖1,欣轉(zhuǎn)中心是點(diǎn),旋轉(zhuǎn)角是.

(2)在(1)的條件下，延長40交BE于心求證：AF1BE.

⑶在圖I中，若NC4O=30。，把繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AECB,如圖2,若旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角是多

少度時(shí)，DEWAC,直接寫出結(jié)果.

【答案】⑴C,90°

⑵證明見解析?

(3)30°或210。

【分析】(1)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的概念I(lǐng)可答即可；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，。40=47BE,對頂角乙1MC=4尸M8,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推tU/lFB=

乙4cB=90°,結(jié)論即可得證;

(3)結(jié)合圖形，由平行線的性質(zhì)盯可求解.

【詳解】(1)解：在圖1中，點(diǎn)。是三角形47。的旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為90。；

故答案為：C,90。

(2)證明：由△4CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到了aCBE可知，^CBE=/.CAD

在ACAM中，Z-ACB=180°-/.CAD-^AMC,

在中，Z.MFB=180°-Z-CBE-Z-FMB,

[fdzzlMC="MB

:.AMFB=乙ACB=90°,

即力球1BE

(3)解：如圖,依題意得乙CEO=30。,

當(dāng)點(diǎn)。在△ABC內(nèi)部時(shí)，

vDEIIAC,

Z/4CE=乙CED=30°,

當(dāng)點(diǎn)。在△4BC外部時(shí),

vD'E'||AC,

???NACE'=180°-zF=150°,

???△D'CE'繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)360。-乙ACE，=360°-150°=210%

綜上所述，當(dāng)△ACD旋轉(zhuǎn)角是30。或210。時(shí)，DEWAC.

故答案為:30。或210。

//

/

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)及性質(zhì)，垂直定義，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，正確理解

相關(guān)的概念及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023秋.山西陽泉.九年級校考期末）把兩個(gè)全等的等腰直角三角板川?C和EFG（其直角邊均為

4）疊放在一起（如圖1）,且使三角板￡TG的直角頂點(diǎn)G與三角板48c的斜邊中點(diǎn)O重合，現(xiàn)將三角板EFG

繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角a滿足條件：0°<a<90°）,四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角形的重

疊部分（如圖2）.在上述旋轉(zhuǎn)過程中.

（1）8H與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

⑵四邊形C//GK的面積有何變化?請證明你的發(fā)現(xiàn).

【答案】（l）BH=CK

（2）四邊形CHGK的面積在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化，始終為4,證明見解析

【分析】（1）先由ASA證出ACGK三△8GH,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出8H=CK.

（2）四邊形CHGK的面積不變，面積為4.利用全等三角形的性質(zhì)證明即可.

【詳解】（1）解：結(jié)論：BH=CK.

理由：???點(diǎn)。是等腰直角三角板49c斜邊中點(diǎn)，

Z.B=乙GCK=45。，BG=CG,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，知N8G，=NCGK,

:.&BGH三△CGK（ASA）,

:.BH=CK.

（2）四邊形C〃GK的面枳不變，面積為4.

理由：MBGH三ACGK,

"S&BHG=S^cGK?

S四邊形CHGK=S.GB=尹M8C=1x^x4x4=4?

【點(diǎn)睛】此題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對

應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒有改變.

【變式4-2］（2023秋?山西晉城?九年級統(tǒng)考期末）綜合與探究

在AA8C中，AB=AC,4CAB的角度記為a.

①②

⑴操作與證明；如圖①，點(diǎn)。為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接/W,將線段力。繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度a至4E位置，連

接D￡,CE.求證：BD=CE；

（2）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖②，若a=90。，點(diǎn)。變?yōu)锽C延長線上?動(dòng)點(diǎn)，連接力。將線段力。繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角

度a至/1E位置，連接OE,CE.可以發(fā)現(xiàn)；線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系是；

(3)判斷與思考；判斷(2)中線段8。和CE的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)B。=CE

(3)8。ICE,理解見解析

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=乙DAEjCAB,從而證明△B40三△&4E,即可得到結(jié)論;

(2)同第(I)小題的方法，證明△84。三△%!￡?,即可得到結(jié)論；

(3)由(2)可得△840三△&4E,從而得=Z4CE=45。，進(jìn)而即可得到結(jié)論.

【詳解】(I)證明：???線段/。繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度。至4E位置，^CAB=a,

,.AD=AEZ,DAE=乙CAB=a,

-Z.CAD=LDAE-/CAD,

：^BAD=ZLCAE,

在ABAD和△CHE中，

AB=AC

/.BAD=Z.CAE,

AD=AE

“BAD=△CAE(SAS'),

:.BD=CE.

(2)解：Va=90°,

由旋轉(zhuǎn)可知：AD=AE,Z-DAE=Z-CAB=90°,

.\^CAB+/.CAD=Z.DAE+Z.CAD.

?"BAD=/,CAE,

在ABAD和△C4E中，

AB=AC

Z.BAD=tLCAE>

.AD=AE

"BAD=△CAE(SAS),

:?BD=CE.

故答案為：BD=CE.

(3)BD1CE,理由如下：

?：￡CAB=a=90°,AB=AC,

:.乙B=Z.ACB=45°,

由（2）可得：2BADCAE,

：,LACE==45°,

?"BCE=乙ACB+Z.ACE=45°-45°=90°,

???BZ）1CE.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì).掌握三角形全等的證明是解

題的關(guān)鍵.

【變式4-3]（2022秋?上海靜安?九年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)校考期中）己知：中，^ACB=90°,

乙ABC=60。，將△ABC繞點(diǎn)8按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).

（1）當(dāng)C轉(zhuǎn)到48邊上點(diǎn)C'位置時(shí)，A轉(zhuǎn)到4,（如圖I所示）直線CC'和/M'相交于點(diǎn)D,試判斷線段4。和線段

4。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）將RS/1BC繼續(xù)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理

由.

【答案】（1）40=40,理由見詳解

（2）仍然成立，理由見詳解

【分析】（1）易證△BCC%A844'都是等邊三角形，從而可以求出乙AC'。=乙BAD=60°,/-DCA'=^DArC=

30c,進(jìn)而可以證到4C=0C'=4D；

（2）過點(diǎn)力作4E||A'C',交CO的延長線于點(diǎn)凡由“ASZT可證△4OE"三△4OC',可得AO=4'D；

【詳解】（1）40=4。.理由如下：如圖1,

???Rt△A'BC三Rt△ABC,

:.BC=BC',BA=BA',

???/ABC'=乙ABC=60°,

BCC'^WL844'都是等邊三角形,

:.Z.BAA1=Z.BC'C=60。，

V/.A'CB=90°,

???Z.DCA'=30°,

???Z.ACD=乙BC'C=60°,

/.ADC=60°,

???Z.DA'C=30°,

Z.DAC=/-DCA,Z-DC'A1=ADA^1,

:.AD=DC',DC=DAr,

AD=ArD；

r

(2)仍然成立:AD=ADt

如圖2：過點(diǎn)4作4EII4C',交CD的延長線于點(diǎn)E,=z.2?Z.F=z.3?

W2

由旋轉(zhuǎn)可得，AC=A'C\BC=BC',

AN4=Z.S,

???Z.ACB=^A'CB=90°,

z5+z6=z.3+z.4=90°,

???z3=z.6>

???zE=z.6?

AE=AC=A'C,

在211AoE與△A'OC'中,

(Z1=Z2

\AE=A'C,

(ZE=Z3

???△40E三△4。。'(ASA),

AD=4D：

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊

三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

【題型5利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解】

【例5】（2023秋?安徽滁州?九年級校聯(lián)考期末）如圖，正方形ABC。中，E為DC邊上一點(diǎn)、,且。f=2.將

4E繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到石尸，連接AF,/C.則線段”"的長度是（）

A.V2B.2V2C.2D.V5

【答案】B

【分析】延長。C,過點(diǎn)/作H/JLDC于點(diǎn)H,證明三△￡*”「，得出尸H=DE=2,AD=EH,證明CH=

DE,根據(jù)勾股定理求出CF=VCH24-FH2=2或即可.

【詳解】解：延長。C,過點(diǎn)尸作于點(diǎn)”，如圖所示：

則，"=90°,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，AE=EF,^AEF=90°,

???四邊形48。。為正方形，

AzD=90°,AD=CD,

：.LAED+乙FEH=乙FEH+乙EFH=90%

：.LAED=乙EFH,

VzD=Z.W=90%

：.LADE三AEHF,

:,FH=DE=2,AD=EH,

*：AD=CD,

:,EH=CD,

:?DC-EC=EH-EC,

：,CH=DE,

工在Rt△C/，中，根據(jù)勾股定理得：CF=y/CH2+FH2=2&.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明

【變式5-1]（2022秋?河南許昌?九年級許昌市第一中學(xué)校考期末）如圖，在△A8C中，AB=2,BC=3.6,

乙。二60。，將A/WC繞點(diǎn)片順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度得到△AOE,當(dāng)點(diǎn)〃的對應(yīng)點(diǎn)。恰好落在3c邊上時(shí)，貝北。的長為

A.1.4B.1.6C.1.8D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到AD=48,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD=AB,

?:乙B=60°,AD=AB,

???A4D8為等邊三角形，

；?BD=AB=2,

：.CD=CB-BD=1.6,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2023春江蘇淮安?九年級統(tǒng)考期末）如圖1,在平行四邊形/8C0中，4。=3。=4,BD1AD,

點(diǎn)E為對角線力C上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE,將0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到OF,連接

(1)求證8尸=/lE；

⑵若8F所在的直線交ACJ■?點(diǎn)M,求。M的長度；

(3)皿圖2,當(dāng)點(diǎn)尸落在△OBC的外部，構(gòu)成四邊形OEMF時(shí)，求四邊形DEMF的面積.

【答案】(1)見解析

⑵等

(3)Y

【分析】(I)由“SAS”可證三△可得8F=4E；

(2)過。作ONJ.4。于N,由“AAS”可證△00N三△80M,可得0M=ON,由勾股定理可求4。的長，由面

積法可求DN的長，由勾股定理可求解；

(3)將AOEN繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△。rG,通過證明四邊形ONMG為正方形，即可求解.

【詳解】⑴解:證明：???0E繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到DF,

???DE=DF,^EDF=90°,

???BD1AD,

???Z.ADB=90°,

???Z.ADE=Z.BDF,

vAD=BD,

.-.△/IDE=△80~(SAS),

:.BF=AEt

(2)如圖，過。作DNJ.力。于N,

n

①

???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.AO=CO,BO=DO=2,

-AADEBDF,

Z.DAE=/.DBF,

???Z.ADB=90°,Z.AOD=乙BOC,

???"AE十^AOD=乙DBF十乙BOC=90°,

￡BMO=90°,

vZ.DNO=Z.BMO=90°,乙DON=^BOM,BO=DO,

???△DON三△BOM(AAS),

???OM=ON,

vAD=4,DO=2,Z.ADB=90°,

???AO=>JAD2+DO2=V22+42=2遍，

vS“00=-ADxDO=-xAOxDN,

22

.,2X44西

??n?DN』=『

NO=\/DO2-DN2=等，

OM=ON=等；

(3)如圖，過D作ON140于N,將△OEN繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△DWG,

②

；.DG=DN,ADNE=Z.DGF=90°,Z-DEN=Z.DFG,

vZ.EDF=乙FME=90°,

:.々DEM+乙DFM=180°,

Z.DFG+乙DFM=180°,

???點(diǎn)G,點(diǎn)/，點(diǎn)M三點(diǎn)共線，

V乙DGF=乙DNM=乙FMN=90°,

.??四邊形DNMG是矩形，

又???DN=DG,

二四邊形DNMG為正方形，

：?S四邊形DEMF=$四邊形MMG=M￥=T,

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2022秋?北京大興?九年級校考期末）如圖，在RtA/WC中，^ACB=90°,將△A8c繞點(diǎn)C順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)得到△DEC,點(diǎn)3的對應(yīng)點(diǎn)為E,點(diǎn)力的對應(yīng)點(diǎn)。落在線段718上，連接BE.卜列結(jié)論：①DC平分乙ADE；

②&BDE=乙BCE；③BD1BE；?BC=DE.其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②?

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)不變性得出4A=ZCD4^A=^CDE,得出NC/L4=△CDE,即可

判斷①，設(shè)8C,DE交于點(diǎn)心根據(jù)外角的性質(zhì)得出"FE="CE+"EC=4F08+"8D,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)得出41BC=40￡C,進(jìn)而即可判斷②，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，證明

ZDBE+ZDCE=}SO°,即可判斷③，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，DE=AB,而48H8C,即可判斷④，即可求解.

【詳解】解：???△DCE是由AAC8旋轉(zhuǎn)得到，

：,CA=CD,LA=LCDE,

?,?乙4=Z.CDA,

：,￡CDA=乙CDE,

平分乙4DE；

故①正確，

如圖,設(shè)B&DE交于點(diǎn)F,

工人BFE=乙FCE+乙FEC=Z-FDB+乙FBD

???旋轉(zhuǎn)，

：.LABC=乙DEC,

:?乙BDE=^BCE,故②正確；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，（ACD=LBCE,

?：CA=CD,CB=CE,

：.LCAD=/-CDA=乙CBE=乙CEB,

*：LABC+4CAB+Z-ACD+乙DCB=180°,

：.LABC+乙CBE+乙DCB+乙BCE=180°,

AzDCE+zDBF=180°,

'：z.DCE=90°,

:.乙DBE=90°,

：?BE1AB；

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，0E=4B,而力

：.BCHDE,

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

【題型6判斷旋轉(zhuǎn)對稱圖形】

【例6】（2020秋?河南許昌?九年級統(tǒng)考期中）閱讀理解并解決問題：一般地，如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度a（a小于360。）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)

叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，a叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角.請依據(jù)上述定義解答下列問題：

（1）請寫出一個(gè)旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)圖形有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是90。，這個(gè)圖形可以是；

（2）為了美化環(huán)境，某中學(xué)需要在一塊正六邊形空地上分別種植六種不同的花草，現(xiàn)將這塊空地按下列要

求分成六塊：①分割后的整個(gè)圖形必須既是軸對稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；②六塊圖形的面積相同；請你

按上述兩個(gè)要求，分別在圖中的兩個(gè)正六邊形中畫出兩種不同的分割方法（只要求畫圖正確，不寫作法）.

【答案】（1）正方形（答案不唯一，例如正八邊形、圓等）；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義解答即可；

（2）先作出正六邊形的旋轉(zhuǎn)中心，再根據(jù)圖形既是軸對稱圖形又是旋轉(zhuǎn)對稱圖形進(jìn)行作圖即可.

【詳解】解?：（1）正方形（答案不唯［例如正八邊形、圓等）；

故答案為：正方形（答案不唯一，例如正八邊形、圓等）；

（2）如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形和旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義及作圖，王確理解題意、熟練掌握基本知識是解題的

關(guān)鍵.

【變式6-1］（2018春?福建泉州?九年級統(tǒng)考期末）某校在屠假放假之前舉辦了交通安全教育圖片展活動(dòng).下

列四個(gè)交通標(biāo)志圖中，旋轉(zhuǎn)對稱形是（）

AA色AA

【答案】DcD

【詳解】分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱形和各圖形的特點(diǎn)即可求解

A、B、C無論旋轉(zhuǎn)多少度都不能與原圖形重合，只有D旋轉(zhuǎn)60。能夠和原來的圖形重合，故選D.

點(diǎn)睛：本題考查了旋轉(zhuǎn)對稱形：繞一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某一個(gè)度數(shù)后，仍然與原來的圖形重合，解題的關(guān)鍵是充

分理解旋轉(zhuǎn)對稱形的性質(zhì).

【變式6-2］（2018秋?上海松江?九年級統(tǒng)考期末）在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形這四種圖形中,

是旋轉(zhuǎn)對稱圖形的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種圖形

叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心.旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.解答即可.

【詳解】解：在正三角形、正方形、正五邊形和等腰梯形，只有等邊三角形、正方形、正五邊形是旋轉(zhuǎn)對稱

圖形，共3個(gè).

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種

圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.

【變式6-3］（2018?山西呂梁?九年級統(tǒng)考期中）實(shí)踐與操作：一股地，如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一

定角度a（a小于360。）后，能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)

對稱中心，a叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)對稱圖形的一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

（1）請寫出一個(gè)有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是90。旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)圖形可以是」

（2）尺規(guī)作圖：在圖中的等邊三角形內(nèi)部作出?個(gè)圖形，使作出的圖形和這個(gè)等邊三角形構(gòu)成的整體既是

一個(gè)旋轉(zhuǎn)對稱圖形又是一個(gè)軸對稱圖形（作出的圖形川實(shí)線，作圖過程用虛線，保留痕跡，不寫做法）.

【答案】正方形（或正八邊形或I詞等）

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。后，能夠與原來的圖形重合，進(jìn)行判斷即可;

（2）先作出正三角形的旋轉(zhuǎn)中心，再根據(jù)圖形既是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對稱圖形，又是一個(gè)軸對稱圖形進(jìn)行作圖即可.

試題解析：（1）有一個(gè)旋轉(zhuǎn)角是90。旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個(gè)圖形可以是正方形或正八邊形或圓等（答案不唯

一），

（2）如圖所示，（答案不唯一）

點(diǎn)睛：如果某一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（小于360。）后能與原圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做

旋轉(zhuǎn)對稱圖形.常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等.

【知識點(diǎn)3利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】

旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：

任意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連紜段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角：

對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。

步驟可分為：

①連：即連接圖形中每一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；

②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）

③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；

④接：即連接到所連接的各點(diǎn)。

【題型7作圖.旋轉(zhuǎn)變換】

【例7】（2023秋?甘肅隴南?九年級統(tǒng)考期末）如圖，△/1BC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為做1,1）,8（4,2）,C（3,4）.

(1)請畫出△ABC繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。的△力2c2；并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)在尤軸上求作一點(diǎn)P,使△/MS的周長最小，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)見解析,坐標(biāo)為：42(-1,-1),12(-4,-2),。2(-3,-4)；

⑵(2,0)

【分析】Q)根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)人、B、C關(guān)于原點(diǎn)的乂寸稱點(diǎn)(、%、Q的位置.，然后順次連接即可；

(2)找出點(diǎn)A關(guān)于工軸的對?稱點(diǎn)A,連接A8與無軸相交于一點(diǎn)，艱據(jù)軸對稱確定最短路線問題，然后利用待

定系數(shù)法求48的解析式，求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】(1)???△A8C繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得到△&82Q，即點(diǎn)A、8、C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為%、4、G，

又力(1,1),8(4,2),6(3,4),

??力2(-1，-1)，82(—4,-2),C2(-3,-4)(

如圖：順次鏈接/、/、C2,△4B2Q即為所求；

⑵如圖，作點(diǎn)4(1,1)關(guān)于x軸的對應(yīng)點(diǎn)4(1,一1),連接48,點(diǎn)P即為AB與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)△PAB的周

氏=AB+AP+DP=AB+40最短，

設(shè)AB的解析式為y=kx+b,過點(diǎn)4'與點(diǎn)B,把坐標(biāo)代入解析式得：

(-l=k+b

(2=4k+b'

解需二2'

AS的解析式為y=%—2,

當(dāng)＞=0時(shí)，x-2=0,

解得％=2.

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，軸對稱確定最短路線問題，待定系數(shù)法求直線

解析式，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵.

【變式7-1](2023春?山東棗莊?九年級統(tǒng)考期中)在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，(每個(gè)小

方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形).

y

(1)洛△ABC沿x軸方向向左平移6個(gè)單位，畫出平移后得到的△4]8]G

⑵將仆ABC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB2c2；

(3)A4B20可看作由△必當(dāng)?shù)睦@尸點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成，點(diǎn)B],G的對應(yīng)點(diǎn)分別為A,B2,C2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【答案】(I)見解析

(2)見解析

(3)(-2,-2)

【分析】(1)先找到A、B、C對應(yīng)點(diǎn)為、B[、6的位置，然后順次連接4、B]、G即可；

(2)先找到8、C對應(yīng)點(diǎn)外、Cz的位置，然后順次連接力、為、。2即可；

(3)根據(jù)點(diǎn)P一定在A4的垂直平分線上，也在當(dāng)務(wù)的垂直平分線上，可得到點(diǎn)P在直線％=-2上，設(shè)出

點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，△4自6即為所求；

(2)解：如圖所示，△人當(dāng)傘即為所求；

八y

(3)解:由⑴(2)可知4(一5,1),%(2,4),%(4,-2),

???旋轉(zhuǎn)中心一定在A4的垂直平分線上，也在以殳的垂直平分線上，

?,?點(diǎn)產(chǎn)即為的線段垂直平分線和&B2的線段垂直平分線的交點(diǎn)，

???點(diǎn)P在直線x=等=一2上，

設(shè)P(-2,m),

.?.PB/=(4-m)2,P%?=(-2-4)2+(-2-m)2,

yPB1=PB2,

:.(4-rri)2=(-2—4)2+(—2—m)2,

/.m2—8m+16=36+m2+4m+4,

解得m=-2,

，P(-2,-2),

故答案為:(-2,—2).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——平移和旋轉(zhuǎn)，畫旋轉(zhuǎn)圖形和平移圖形，找旋轉(zhuǎn)中心，勾股定理

等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2](2023春?河南平頂山,九年級統(tǒng)考期末)如圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長都是1,小正方

形的頂點(diǎn)稱作格點(diǎn)，△力BC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，把△力8c先向右平移6個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位得

△為為如，再將繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△力282G.結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系，回答下列問題:

(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△Ai/Ci和△

(2)圖中的△力282cl能不能通過順時(shí)針旋轉(zhuǎn)448。得到？如果可以，請寫出旋轉(zhuǎn)中心D的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)角a的度

數(shù)(0。〈1〈180。)；如果不能，說明理由.

【答案】(1)見解析

⑵能,D(l,-2),a=90°

【分析】(1)利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B,C的對應(yīng)點(diǎn)兒、B］、G，然后順次連接4、81、G即可;

(2)利用旋轉(zhuǎn)方式分別作出4、瓦、G的對應(yīng)點(diǎn)42、(2、G，然后順次連接即可4、＜2、G；

(3)旋轉(zhuǎn)對應(yīng)圖形對應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線的的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解:△4/16和△4232cl如圖所示；

(2)解：如圖所示，△48。可以繞點(diǎn)。(1,一2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到△4282G.

???旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為。(1,一2),旋轉(zhuǎn)角度a=90°.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一旋轉(zhuǎn)變換，平移變換等知以，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等，對應(yīng)線段也相

等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的

圖形，對應(yīng)點(diǎn)連線都交于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心；確定平移后圖形的基本要素有兩個(gè)：平移方向、平移

距離；作圖時(shí)要先找到圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，分別把這幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點(diǎn)后，再順次

連接對應(yīng)點(diǎn)即可得到平移后的圖形.解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，平移變換的性質(zhì).

【變式7-3】(2022春?四川達(dá)州?九年級校聯(lián)考期中)如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有皿-1,2),8(-3,1),

C(0,-1).

(1)畫出△A8C向右平移三個(gè)單位的△力iBiG，并寫出Bi的坐標(biāo)：；

⑵洛繞C點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到△力2/。2，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，并寫出為坐標(biāo)：

(3)求(I)中△ABC所掃過的面積.

【答案】⑴圖見解析，當(dāng)(0,1)

⑵圖見解析，％(-2,-4)

(3)12.5

【分析】(1)直接將三角形向右平移三格，再根據(jù)圖中可直接得到答案；

(2)將三角形繞。點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)90。，再根據(jù)圖中可直接得到答案；

(3)由題意可得掃過的面積可表示為平行四邊形力公的。的面積加三角形本身的面積，而三角形面機(jī)可用包

圍住本身的一個(gè)正方形減去三個(gè)小三角形的面積，最后計(jì)算可直接得到答案.

【詳解】(1)△&&&即為△48C向右平移三個(gè)單位所得，如圖

y

故答案為：（o,i）.

（2）△&82。2即為44"繞。點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。所得，如圖

（3）由題意可得掃過的面積可表示為平行四邊形力4G。的面積加三角形本身的面積，

而三角形面積可用包圍住本身的一個(gè)正方形減去三個(gè)小三角形的面積,

則面積為：3x3+3x3-Txlx2-Txlx3-：x2x3=12.5

?人力8。掃過的面積：12.5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是作圖旋轉(zhuǎn)變換，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

【題型8求饒某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)】

【例8】（2022秋?黑龍江牡丹江?九年級統(tǒng)考期末）菱形如圖放置，點(diǎn)C坐標(biāo)是（3,4）,先將菱形向左平

移6個(gè)單位長度，向上平移1個(gè)單位長度，然后沿“軸翻折，最后繞坐標(biāo)原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。得到菱形0218c的對

角線交點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P，則點(diǎn)PH勺坐標(biāo)是.

【答案】(-3,2)或(3,-2)

【分析】先由菱形的性質(zhì)求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出對角線交點(diǎn)M坐標(biāo)以及平移以后對應(yīng)的點(diǎn)的

坐標(biāo)，最后根據(jù)繞坐標(biāo)原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【詳解】延長8C交1y軸于M連接08、AC交于點(diǎn)

???點(diǎn)C坐標(biāo)是(3,4),

：,0N=4,CN=3,

：,0C=5,

,?,菱形048C,

：.0C=04=5,M為AC中點(diǎn)，

??/點(diǎn)坐標(biāo)(5,0),

???”點(diǎn)坐標(biāo)(4,2),

???將菱形向左平移6個(gè)單位長度，向上平移1個(gè)單位長度后M點(diǎn)對應(yīng)坐標(biāo)為(-2,3),

???再把點(diǎn)(-2,3)沿x軸翻折后對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,-3),

???在坐標(biāo)平面內(nèi)繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)90。，

???對應(yīng)點(diǎn)橫縱坐標(biāo)絕對值互換作為對■應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)絕對值，再根據(jù)所在象限確定對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)

???若是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則對應(yīng)點(diǎn)在第二象限，坐標(biāo)為(-3,2),

若是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則對應(yīng)點(diǎn)在第囚象限，坐標(biāo)為(3,-2),

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,2)或(3,?2),

故答案為：(-3,2)或(3,-2).

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，電標(biāo)與圖形的變化，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及平移、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【變式8-1](2018?河北保定?九年級校聯(lián)考期末)正方形/WCO在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，將正方形A4CO

繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后，C點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-1,2)B.(2,0)C.(2,1)D.(2,-1)

【答案】D

【分析】利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后所得的正方形CEFD,

則可得到C點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】如圖，正方形ABCO繞。點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到正方形CEFO,則C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為產(chǎn)

(2,-1),

故選￡).

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點(diǎn)旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋

轉(zhuǎn)后的點(diǎn)的坐標(biāo).常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30。，45°,60°,90。，180。.

【變式8-2](2()23春?遼寧錦州?九年級統(tǒng)考期中)如圖,將等邊AO/IB放在平面直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)坐標(biāo)(1,0),

將A。43繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)夕的坐標(biāo)為.

【分析】如圖所示，過點(diǎn)以作1于〃，先由等邊三角形的性質(zhì)得到(M=08=AB=1,4648=乙AUB=

60。，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到4力8夕=4/1。8=60。，BB'=OB=1,進(jìn)而證明BB'||。4再求出。〃，BH的

長即可求出點(diǎn)夕的坐標(biāo).

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)8作BH_LOA于H.

：,OA=OB=AB=1,Z,OAB=LAOB=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得乙4BB，=^AOB=60°,BB'=OF=1,

=4。AB,

：.BB'||OA,

*：BH1OA,

：.0H=AH=-OA=-

22f

:.BH=>JOB2-OH2=—,

2

?.?B'C+LT)-即B'G，T)

故答案為：修，y).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

【變式8-3](2022秋?浙江金華?九年級校考期中)如圖所示，直線y=-1+4與x軸，y軸分別交于A,B

?5

兩點(diǎn)，把△/OB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。后得到△21。，夕，則點(diǎn)夕的坐標(biāo)是

【答案】(7,3)

【分析】先確定4(3,0),8(0,4)得到。4=3,。8=4,根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到OS=3,0'e=4,0的||%軸,

計(jì)算即可.

【詳解】???直線+4與x軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn),

??"(3,0),8(0,4),

：.0A=3,OB=4,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得到O'A=3,0'9=4,乙4。8==90。，

???0,81|工軸，

作B'Clx軸，垂足為C,

???四邊形4。')。是矩形，

=AC=4,0'A=B'C=3,

：.OC=OA+AC=4+3=7,

???點(diǎn)8'的坐標(biāo)是(7,3).

故答案為：(7,3).

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練掌握

一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型9旋轉(zhuǎn)中的規(guī)律探究】

【例9】(2022秋.內(nèi)蒙占呼倫貝爾.九年級統(tǒng)考期末)如圖，已知菱形。力BC的頂點(diǎn)。(0,0),8(2,2),若菱形

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45。，則第60秒時(shí)，菱形的對角線交點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【分析】轉(zhuǎn)動(dòng)前根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得。的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得轉(zhuǎn)動(dòng)后。的坐標(biāo).

【詳解】???轉(zhuǎn)動(dòng)前菱形048c的頂點(diǎn)。(0,0),3(2,2),

???。的坐標(biāo)(1,1),

每秒旋轉(zhuǎn)45。，則第60秒時(shí)得，

45cx60=2700。，

???2700°+360。=7.5周，

???0D與轉(zhuǎn)動(dòng)前位置比，移動(dòng)了半周，

??.此時(shí)。的坐標(biāo)為(一1,一1).

故答案為(一1,一1).

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式9-1](2020秋?黑龍江?九年級校考期中)如圖，將邊長為1的正三角形為OP沿x軸正方向作無滑動(dòng)的

連續(xù)反轉(zhuǎn)，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)P]，尸2,P3-P2020的位置，則點(diǎn)P2020的坐標(biāo)為.

【答案】(2020,0)

【分析】根據(jù)圖形的翻轉(zhuǎn)，分別得出匕、P2.P3…的橫坐標(biāo)，再根據(jù)規(guī)律即可得出各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)