規范答題系列五

解析幾何類解答題

例(2021.廈門模擬)(12分)已知橢圓C:'+/1320)的離心率馬,

3

且經過點1點”,人為橢圓C的左、右焦點.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點八分別作兩條互相垂直的直線八，區且人與橢圓交于不同的兩點4

―?—?—?-?

B,/2與直線x=l交于點P.若AF|=汨B,且點Q滿足QA—QB,求△PQFi面積

的最小值.

解題思路(1)根據橢圓的離心率為e二;，可得再將點(1,1)代入橢圓

Io

。的方程可得了+正=1,解出/，廬可得橢圓。的方程；

(2)設直線人的方程為x=與橢圓方程聯立，由條件求出。點的坐標,

求出IBQI,得出直線b的方程為工二與直線聯立求出點尸的坐標,

得出IF甲，從而表示三角形面積，得出最值.

21

21-

e=2-=4

91分

bJ

解(由題意，得0一

1)114

--+--71

4P從-1

解得4=4,廿=3.

所以橢圓c的方程為1.(2分)

(2)由⑴可得Fi(-1,0),若直線人的斜率為0,

則，2的方程為與直線X=1無交點，不滿足條件.（3分）

設直線/1的方程為x=-1,若m=0,則1.不滿足。=7Q8,所以mWO.

設4加，y0,Bg”)，g(xo,川)，

3f+4)，2=12,

由)得(3而+4)/-6my-9=0,

x=my-\t

因為1>0,

6m9

所以8+"=病盲，m=一病身,。分)

AFi=2FiB,

因為j-_

[QA=AQB,

(-1--V1,-yi)=A(X2+1,y2),

(xi-xo,yi-yo)=i(x2-xo,yi-yo),

所以一yi=2",yi-"=4月一yo).

_yi_yi-yo解得刈=篝=一*（7分）

所以7二y2~yi-yo1

于是|F@=1l+m謂.（8分）

直線A的方程為1二

x=-73-1,

聯立請解得P（l,~2m）,

x=1,

所以「甲=211+m2.（［0分）

所以S?叫=/尸@?|尸甲二駕產=3（|詞+自）26,（11分）

當且僅當加=士1時，（S?QF］）min=6.（12分）

踩點得分

1.根據題意列出關于出匕的方程組得1分;

2.準確解方程組，寫出橢圓方程得1分；

3.設直線方程時分類討論，分析直線/)的斜率為0的情況得1分；

4.將直線方程與橢圓方程聯立，消元化簡，由根與系數的關系寫出等量關系

得2分；

5.利用向量關系式及坐標運算建立等量關系得2分；

6.用M表示IF?得1分;

7.用機表示尸甲得2分；

8.建立底股。關于m的函數，利用基本不等式求最值得1分;

9.說明基本不等式等號成立的條件得1分.

1.解析幾何試題知識點多，運算量大，能力要求高，綜合性強.解題時，應

在遵循“設——列——解"程序化解題的基礎上，突出解析幾何“設”的重要性,

以達到簡化運算的目的.如本例中直線/1與直線/2的設法.

解

析設而不求

H兒

解

答

題標準方程

一

2.解析幾何問題的難點是計算，解題的關鍵點往往是一個重要的等量關系,

如本例中“”念

［跟蹤訓練］

(12分)已知點4(1,0),點B是圓。I：。+1)2+V=16上的動點，線段48的

垂直平分線與BOi相交于點C,點C的軌跡為曲線￡

⑴求E的方程；

(2)過點O］作傾斜角互補的兩條直線八，/2,若直線人與曲線E交于M,N兩

點，直線與圓。交于P,。兩點，當M,N,P,。四點構成四邊形，且四邊

形MPNQ的面積為8s時，求直線人的方程.

解(1)二.點C在線段A5的垂直平分線上，

：.CA=CB,（1分）

又點。在BOi上，.\O}B=O}C+CR=O}C+CA=4,

則可得點c的軌跡是以01,A為焦點的橢圓，（2分）

貝IJ2〃=4,即〃=2,c=1,Z?2=?2-c2=3,

故E的方程為?+?=1.（4分）

⑵由題意得直線伍/2的斜率存在且不為0,如圖，

設的斜率為由于小，2的傾斜角互補，則，2的斜率為-幻

則直線臺的方程為產破+1）,直線/2的方程為y=-總+1）,（5分）

y=A:（x+1）,

聯立ff可得（3+4F）f+8以+4斤-12=0,?.,點（-1,0）在橢圓

皿3=1，

內，「./AO.

設頌加，yi）,Ng"）,

8d4&2_12

貝nil"+工2=一二充.=與7市，

|ta+』+>\2kxi+2k\2MM+1|

則點M到直線b的距離為人飛再廠=訴7=際丁'

同理可得點N到直線；2的距離為

2因42+1|

曲二飛再丁'（8分）

貝IIS四邊形財吶。=；儼。卜（由+J2）=^X8X’2因如+I2|妙位+1|、

<11+1+1爐+1>

小8義瑞陽+”+咫+“）

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