專題1-1一網打盡全等三角形模型（10個模型）

目錄

模型梳理................................................................................................................................................................2

題型一倍長中線模型......................................................................................................................................13

題型二一線三等角模型..................................................................................................................................15

題型三半角模型..............................................................................................................................................22

2022·山東日照真題.....................................................................................................................................23

題型四手拉手模型..........................................................................................................................................30

2022·張家界真題.........................................................................................................................................33

2022·貴陽中考.............................................................................................................................................33

題型五對角互補+鄰邊相等模型...................................................................................................................43

題型六平行線夾中點模型..............................................................................................................................46

題型七截長補短模型......................................................................................................................................47

題型八絕配角模型..........................................................................................................................................57

2023·深圳寶安區二模................................................................................................................................60

2023·深圳中學聯考二模............................................................................................................................61

題型九婆羅摩笈模型......................................................................................................................................67

2022武漢·中考真題....................................................................................................................................68

2020·宿遷中考真題.....................................................................................................................................73

題型十腳蹬腳模型（海盜埋寶藏）..............................................................................................................84

模型梳理

模型1倍長中線模型

（一）基本模型

A已知：在△ABC中，AD是BC邊上的中線，延

長AD到點E，使ED＝AD，連接BE．

BDC

結論1：△ACD≌△EBD．

E

已知：在△ABC中，點D是BC邊的中點，點

AE是AB邊上一點，連接ED，延長ED到點F，

E使DF＝DE，連接CF．

BDC

F

結論2：△BDE≌△CDF．

（二）結論推導

結論1：△ACD≌△EBD．

證明：∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BD．

∵∠ADC＝∠EDB，AD＝ED，∴△ACD≌△EBD．

結論2：△BDE≌△CDF．

證明：∵點D是BC邊的中點，∴BD＝CD．

∵∠BDE＝∠CDF，DE＝DF，∴△BDE≌△CDF．

（三）解題技巧

遇到中點或中線，則考慮使用“倍長中線模型”，即延長中線，使所延長部分與中線相等，然后連接相應的

頂點，構造出全等三角形．

模型2一線三等角模型

（一）基本模型

C已知：點P在線段AB上，∠1＝∠2＝∠3，

DAP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．

2

13

APB結論1：△CAP≌△PBD．

D

已知：點P在AB的延長線上，∠1＝∠2

＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD）．

A23

1BP

結論2：△APC≌△BDP．

C

（二）結論推導

結論1：△CAP≌△PBD．

證明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD．

∵∠1＝∠3，AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△CAP≌△PBD．

結論2：△APC≌△BDP．

證明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，

∴∠C＝∠BPD，∠APC＝∠D．∵AP＝BD（或AC＝BP或CP＝PD），∴△APC≌△BDP．

（三）解題技巧

在一條線段上出現三個相等的角，且有一組邊相等時，則考慮使用一線三等角全等模型．找準三個等角，

再根據平角性質、三角形內角和進行等角代換，判定三角形全等，然后利用全等三角形的性質解題．一線

三等角模型常以等腰三角形、等邊三角形、四邊形（正方形或矩形）為背景，在幾何綜合題中考查．

模型3半角模型

（一）基本模型

等邊三角形含半角

已知：△ABC是等邊三角形，D為△ABC外一點，∠BDC＝120°，

A

BD＝CD，點E，F分別在AB，AC上，

∠EDF＝60°．

E

F

BC結論1：EF＝BE＋CF，

∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．

D

正方形含半角

已知：四邊形ABCD是正方形，點E，

ADF分別在BC，CD上，∠EAF＝45°．

F

結論2：EF＝BE＋DF，

∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．

BEC

等腰直角三角形含半

已知：△ABC是等腰直角三角形，

角

∠＝，點，在上，

ABAC90°DEBC

∠DAE＝45°．

結論：2＝2＋2．

BDEC3DEBDCE

（二）結論推導

結論1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．

證明：延長AC到點G，使CG＝BE，連接DG．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．

∵∠BDC＝120°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，

A

∴∠DBE＝∠DCF＝90°，∴∠DBE＝∠DCG＝90°，

E

F

∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，∠DEB＝∠G，∠BDE＝∠CDG．

BC

∵∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°，

DG

∴∠CDG＋∠CDF＝60°，即∠GDF＝60°．

∵DF＝DF，∴△DEF≌△DGF，

∴EF＝FG，∠DEF＝∠G，∠DFC＝∠DFE．

∴∠DEB＝∠DEF．

∵FG＝CG＋CF，∴EF＝BE＋CF．

結論2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．

證明：延長CB到點G，使BG＝DF，連接AG．

∵正方形ABCD，∴∠ABG＝∠D＝90°，AB＝AD，AD

F

∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠G＝∠AFD，∠BAG＝∠DAF．

∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，

GBEC

∴∠BAE＋∠BAG＝45°，即∠EAG＝45°．

∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG，

∴EF＝EG，∠AEB＝∠AEF，∠AFE＝∠G．

∴∠AFD＝∠AFE．

∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF．

結論3：DE2＝BD2＋CE2．

證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉90°到△ACF，連接EF．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，

A

∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACF＝∠B＝45°，F

∴∠＝，∴2＝2＋2＝2＋2，

ECF90°EFCFCEBDCEBDEC

∵∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，

∴∠CAF＋∠CAE＝45°，即∠FAE＝45°．

∵AE＝AE，∴△AEF≌△AED，

∴EF＝DE，∴DE2＝BD2＋CE2．

（三）解題技巧

對于半角模型，一般情況下都需要做輔助線（延長或旋轉），構造全等，通過等量代換得到相關的結論．

模型4手拉手模型

（一）基本模型

已知：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，

AE連接BD，CE相交于O，連接OA．

O

D

結論1：△ABD≌△ACE，BD＝CE，

BC結論2：∠BOC＝∠BAC，

結論3：OA平分∠BOE．

（二）結論推導

結論1：△ABD≌△ACE，BD＝CE．

證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．

∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，

∴BD＝CE．

AE

結論2：∠BOC＝∠BAC．O

D

F

證明：設OB與AC相交于點F．BC

∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．

∵∠AFB＝∠OFC，∴∠BOC＝∠BAC．

結論3：OA平分∠BOE．

證明：過點A分別做BD，CE的垂線，垂足為G，H．H

AE

O

∵△ABD≌△ACE，∴SABD＝SACE，D

G

△△BC

11

∴BDAG＝CEAH．

22

∵BD＝CE，∴AG＝AH，

∴OA平分∠BOE．

（三）解題技巧

如果題目中出現兩個等腰三角形，可以考慮連接對應的頂點，用旋轉全等模型；如果只出現一個等腰三角

形，可以用旋轉的方法構造旋轉全等．

模型5對角互補+鄰邊相等模型

模型解讀：通過做垂線或者利用旋轉構造全等三角形解決問題。

如圖，EOFECF180，CECF

作垂線旋轉

模型6平行線夾中點模型

【結論】如圖，AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，點M為BC中點，則△BME≌△CMF

口訣：有中點，有平行，輕輕延長就能行

模型7截長補短模型

【模型解讀】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關系。截長:指在長線段中截取一段等于已知線

段:補短:指將短線段延長,延長部分等于已知線段。該類題目中常出現等服三角形、角平分線等關鍵詞

句,可以采用截長補短法構造全等三角形來完成證明過程,截長補短法(往往需證2次全等)。

①截長：在較長的線段上截取另外兩條較短的線段。

如圖所示，在BF上截取BM=DF，易證△BMC≌△DFC（SAS），則MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，

可得△MCF為等腰直角三角形，又可證∠CFE=45°，∠CFG=90°，

∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四邊形CGFM為平行四邊形，則CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.

②補短：選取兩條較短線段中的一條進行延長，使得較短的兩條線段共線并尋求解題突破。

如圖所示，延長GC至N，使CN=DF，易證△CDF≌△BCN（SAS），

可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，

又知∠FGC=45°，可證BN∥FG，于是四邊形BFGN為平行四邊形，得BF=NG，

所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.

模型8絕配角模型

（一）基本模型

A已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，點D為邊BC上一點，

∠C＝2∠BAD，延長DB到點E，使BE＝BD，連接AE．

結論：＝．

EBDCACEC

（二）結論推導

結論：AC＝EC．

證明：∵∠ABC＝90°，BE＝BD，∴AE＝AD，

∴∠E＝∠ADE，∠BAE＝∠BAD，∴∠EAD＝2∠BAD．

∵∠C＝2∠BAD，∴∠EAD＝∠C，

∴∠CAE＝∠ADE＝∠E，∴AC＝EC．

（三）解題技巧

如果題目中出現二倍角，可以考慮用絕配角模型，構造等腰三角形，絕配角＋等腰三角形＋全等三角形一

般同時出現，然后用勾股定理或相似求解．構造等腰三角形是這類絕配角問題的重要方法．

模型9婆羅摩笈模型

如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，連接AD，CE，M，N分別在AD，CE上，且MN經過點B

【性質1：垂直得中點】若MN⊥CE，則①點N是AD的中點，②SCBE＝SABD，③CE＝2BN．

【證明】如圖，（知垂直得中點，一線三垂直）

過A作AP⊥MN，垂足為P，過D作DQ⊥MN交MN的延長線于Q，

易證：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM

∴AP＝DQ

易證：△APN≌△DQN

∴AN＝DN

②如圖，由①知，SCBM＝SBAP，SEBM＝SBDQ，SAPN＝SDQN

∴SABD＝SABN＋SDBN＝SBAP＋SAPN＋SBDQ－SDQN

＝SBAP＋SBDQ＝SCBM＋SEBM＝SCBE,即SCBE＝SABD，得證.

③如圖，由①得，PN＝QN，

∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得證.

【性質2：中點得垂直】若點N是AD的中點，則①MN⊥CE．

【證明】如圖，（知中點得垂直，倍長中線）

證明：延長BN至點P，使BN＝PN，連結PN，

易證：△PAD≌BDA

∴BC＝PD，BE=PA

∵PA∥BD，∴∠PAB＋∠ABD＝180°，

又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠CBE＝∠PAB，

易證：△CBE≌△PAB，

∴∠BCM＝∠ABN，

∵∠ABN＋∠CBM＝90°∴∠BCM＋∠CBM＝90°

∴∠BMC＝90°

模型10腳蹬腳模型（海盜埋寶藏）

模型成立條件：等腰三角形頂角互補

已知：ABC、ADE為等腰直角三角形，∠B=∠D=90°，AB=CB，AD=ED，點F為CE的中點，

△△

則△BFD是等腰直角三角形.

CC

F

EE

DD

BABA

【證明】法一：倍長中線

延長DF至點G，使得FG=FD，易證DEF≌GCF（SAS）；

△△

所以CG=ED=AD，∠2=∠7；

又∠1+∠2+∠3=360°，

∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°（五邊形內角和），

∠4=∠6=90°；

所以∠3+∠5+∠7=∠1+∠2+∠3，

所以∠1=∠5；

則BCG≌BAD（SAS），

△△

所以∠DBG=90°，BG=BD；

1

所以BF=DG=DF，BF⊥DF。

2

法二：構造手拉手模型

將△ABC沿AB對稱，將△ADE沿AD對稱

連接PE，CQ，易知△ACQ≌APE，進而得出PE=CQ且PE⊥CQ，而BE是CPE的中位線，CD是CQE

的中位線，故BF=DF，且BF△⊥FD△△

重點題型·歸類精練

題型一倍長中線模型

1．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E是AD上一點，BE＝AC，BE的延長線交AC于點F，

求證：AF＝EF．

A

F

E

BDC

證明：延長AD到點G，使DG＝AD，連接BG．

A

F

E

BDC

G

∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BD．

∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB，

∴AC＝BG，∠DAC＝∠G，

∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠G＝∠BED．

∵∠AEF＝∠BED，∴∠DAC＝∠AEF，

2．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點E是BC的中點，過點E作EF∥AD，交AC于點F，交BA的

延長線于點G，求證：BG＝CF．

G

A

F

BDEC

證明：延長GE到點H，使EH＝EG，連接CH．

G

A

F

BDEC

H

∵點E是BC的中點，∴BE＝CE．

∵∠BEG＝∠CEH，∴△BEG≌△CEH，

∴BG＝CH，∠G＝∠H．

∵EF∥AD，∴∠G＝∠BAD，∠CFE＝∠DAC．

∵AD平分∠BAC，∠BAD＝∠DAC，

∴∠H＝∠CFE，∴CF＝CH，∴BG＝CF．

3．如圖，△ABC≌△ADE，∠ACB＝∠AED＝90°，連接EC并延長，交BD于點F，求證：F為BD的中點．

A

E

C

BFD

證明：過點B作BG∥DE，交EF的延長線于點G．

A

E

C

BFD

G

則∠G＝∠DEF，∠GBF＝∠EDF．

∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，

∴∠ACE＝∠AEC．

∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠BCF＝∠DEF，

∴∠G＝∠BCF，∴BG＝BC，∴BG＝DE，

∴△BGF≌△DEF，∴BF＝DF，

即F為BD的中點．

考點分析：全等三角形的判定與性質，平行線的判定與性質，等腰三角形的判定與性質．

思路點撥：過點B作BG∥DE，交EF的延長線于點G．先根據△ABC≌△ADE，得AC＝AE，BC＝DE，

再證BG＝BC，最后證△BGF≌△DEF即可．

題型二一線三等角模型

基礎篇

1．如圖，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥BD于點D，CE⊥BD于點E，求證：CE＝BD．

A

D

E

BC

證明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠EBC＝90°．

∵AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，

∴∠A＋∠ABD＝90°，∴∠A＝∠EBC．

∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴CE＝BD．

2．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CD于點D，BE⊥CD于點E，若BE＝6，DE＝4，

則△ACE的面積為_________．

A

D

E

BC

【答案】2

【解析】∵AD⊥CD，BE⊥CD，∴∠D＝∠BEC＝90°，

∴∠EBC＋∠ECB＝90°．

∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠ECB＝90°

∴∠DCA＝∠EBC．

∵AC＝BC，∴△CDA≌△BEC，

∴AD＝CE，CD＝BE＝6．

∵DE＝4，∴AD＝CE＝2，

11

∴SACE＝CE·AD＝×2×2＝2．

22

△

3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝5，以AC為直角邊向外作等腰Rt△ACD，連接

BD，則BD的長為_________．

A

D

BC

【答案】10

【解析】過點D作DE⊥BC于點E．

A

D

BCE

∵∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝5，

∴AB＝AC2BC2＝2，∠BAC＋∠ACB＝90°，

∵∠ACD＝90°，∴∠ECD＋∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝∠ECD．

∵∠ABC＝∠E＝90°，AC＝CD，

∴△ABC＝△CED，∴DE＝BC＝1，CE＝AB＝2，

∴BE＝3，∴BD＝BE2DE2＝10．

考點分析：等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理．

思路點撥：過點D作DE⊥BC于點E，先證△ABC≌△CED，再在Rt△BDE中用勾股定理求解．

4．如圖，在Rt△ABC中，ABC90，過點B作BEAC，延長BE到點D，使得BDAC，連接AD，

CD，若AB4，AD5，則CD的長為________．

【答案】58

【詳解】解：過D點分別作DGBC于點G，DFAB交BA的延長線于點F，勾股即可

5．如圖，已知AB＝BC，AB⊥BC，AD⊥BD，BD＝2AD，求證：CD＝AB．

AB

D

C

證明：過點C作CE⊥BD于點E．

AB

E

D

C

∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，

∴∠ABD＋∠CBE＝90°．

∵AD⊥BD，CE⊥BD，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，

∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE．

∵AB＝BC，∴△ABD≌△BCE，∴AD＝BE．

∵BD＝2AD，∴BD＝2BE，∴BE＝DE，

∴BC＝CD，∴CD＝AB．

提高篇

6．如圖，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，點E在BC上，點F是CE的中點，

連接AF，DF，求證：AF＝DF且AF⊥DF．

A

E

B

FC

D

【解析】證明：過點A作AG⊥BC于點G，過點D作DH⊥BC于點H．

A

HEG

B

FC

D

∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∴AG＝1BC，BH＝1BE．

22

∵點F是CE的中點，∴CF＝1CE，

2

1

∴FH＝BC－BH－CF＝BC－BE－CE＝BC，

112

22

∴AG＝FH，∴FG＝FH－GH＝AG－GH＝BG－GH＝BH＝DH．

∵∠AGF＝∠FHD＝90°，∴△AFG≌△FDH，

∴AF＝DF，∠AFG＝∠FDH．

∵∠DFH＋∠FDH＝90°，∴∠DFH＋∠AFG＝90°，

∴∠AFD＝90°，∴AF⊥DF．

考點分析：等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質．

思路點撥：過點A作AG⊥BC于點G，過點D作DH⊥BC于點H．先根據等腰直角三角形的性質推導等線

段，再證△AFG≌△FDH，即可得到結論．

7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為AC上一點，CE⊥BD于點E，連接AE，若CE＝4，

則△ACE的面積為_________．

A

ED

BC

【答案】8

【解析】過點A作AF⊥CE，交CE的延長線于點F．

A

F

ED

BC

∵CE⊥BD，AF⊥CE，∴∠BEC＝∠CFA＝90°，

∴∠EBC＋∠BCE＝90°．

∵∠ACB＝90°，∴∠FCA＋∠BCE＝90°，

∴∠FCA＝∠EBC．

∵AC＝BC，∴△CAF≌△BCE，

11

∴AF＝CE＝4，∴SACE＝CE·AF＝×4×4＝8．

22

△

8．如圖，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠CDE＝90°，點A在邊DE上，連接BE交CD

于點F，求證：AE＝2DF．

E

A

D

F

BC

【答案】證明：過點B作BG⊥CD于點G．則∠BGC＝∠CDA＝90°，

E

A

D

F∴∠GBC＋∠GCB＝90°．

G

BC

∵∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠GCB＝90°，

∴∠DCA＝∠GBC．

∵AC＝BC，∴△CAD≌△BCG，

∴AD＝CG，CD＝BG．

∵CD＝DE，∴AE＝DG，BG＝DE．

∵∠BFG＝∠EFD，∠BGF＝∠EDF＝90°，

∴△BFG≌△EFD，∴FG＝DF，

∴AE＝DG＝2DF．

9．如圖，把兩個腰長相等的等腰三角形拼接在一起，AB＝AC＝AD，∠BAD＝90°，過點D作DE⊥AC于

點E，若BE＝BC，DE＝8，求AE的長．

A

E

D

B

C

解：過點B作BF⊥AC于點F．

A

E

D

BF

C

∵∠BAD＝90°，∴∠BAF＋∠DAE＝90°．

∵∠AFB＝90°，∴∠BAF＋∠ABF＝90°，

∴∠ABF＝∠DAE．

∵∠AFB＝∠DEA＝90°，∴△ABF≌△DAE，

∴AF＝DE＝8．

∵BE＝BC，BF⊥AC，∴EF＝CF．

設EF＝CF＝x，則AE＝8－x，AD＝AC＝8＋x．

在Rt△AED中，82＋(8－x)2＝(8＋x)2，

解得x＝2，∴AE＝8－x＝6．

10．如圖，E為正方形ABCD外一點，連接AE，DE，AE＝AB，AF平分∠BAE交DE于點F，連接CF．

（1）求∠AFD的度數；

（2）求證：AF⊥CF．

AD

EF

BC

【答案】解：（1）過點A作AG⊥AF交DE于點G．

AD

GN

M

EF

BC

∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，

∴∠FAG＝∠BAD，∴∠FAB＝∠GAD．

∵AF平分∠BAE，∴∠FAB＝∠FAE，

∴∠FAE＝∠GAD．

∵AE＝AB，∴AE＝AD，∴∠E＝∠ADG．

∴△AEF≌△ADG，∴AF＝AG，

∴∠AFD＝∠AGF＝45°．

（2）分別過點A，C作DE的垂線，垂足為M，N．

則∠AMD＝∠DNC＝90°，∴∠ADM＋∠DAM＝90°．

∵正方形ABCD，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠ADM＋∠CDN＝90°，∴∠DAM＝∠CDN，

∴△ADM≌△DCN，∴AM＝DN，DM＝CN．

∵∠AMF＝90°，∠AFD＝45°，∴AM＝FM，

∴DN＝FM，∴DM＝FN，∴CN＝FN，

∴∠CFN＝45°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥CF．

11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AB上，DE⊥AB，交AC于點E，交BC的延長線于點F，若DF

＝AC，AB＝m，AE＝n，求AD＋DE的值（用含m，n的式子表示）．

A

D

E

BCF

解：過點A作AG⊥AB，過點B作BG⊥BC，AG與BG交于點G，

連接GF與AC交于點O，則∠GAB＝∠BDF＝90°．

∴∠GBA＋∠AGB＝∠GBA＋∠DBF＝90°，

G

A

O

D

E

BCF

∴∠AGB＝∠DBF．

∵AB＝AC＝DF，∴△AGB≌△DBF，

∴∠AGB＝∠ABC，AG＝DB，∴∠BGF＝∠BFG＝45°．

設∠BAC＝2x，則∠ABC＝∠ACB＝90°－x，∠GAO＝90°＋2x，

∴∠AGB＝∠ABC＝90°－x，∴∠AGO＝45°－x，

∴∠AOG＝45°－x，∴∠AGO＝∠AOG，

∴AG＝AO，∴DB＝AO．

∵AG⊥AB，DF⊥AB，∴AG∥DF，∠AGO＝∠EFO．

∵∠AOG＝∠EOF，∴∠EFO＝∠EOF，EF＝EO，

∴AD＋DE＝AB－DB－DF－EF＝m－AO－m－OE

＝2m－AE＝2m－n．

題型三半角模型

例題

例1如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，D為△ABC外一點，BD＝CD，∠BDC＝120°，點E，

F分別在AB，AC上，且∠EDF＝60°，則△AEF的周長為_________．

A

E

F

BC

D

考點分析：等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質．

思路點撥：由半角模型可知EF＝BE＋CF，則△AEF的周長＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC

＝2AB＝2．

【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，則△AEF的周長＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝

2AB＝2．

例2如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，∠EAF＝45°，△CEF的周長為2，則正方形

ABCD的邊長為_________．

AD

F

BEC

【答案】1

【解析】由半角模型可知EF＝BE＋DF，則△CEF的周長＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC＋CD＝

2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的邊長為1．

思路點撥：由半角模型可知EF＝BE＋DF，則△CEF的周長＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝BC

＋CD＝2BC＝2，BC＝1，即正方形ABCD的邊長為1．

例3如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E，F在AB上，∠ECF＝45°，AE＝2，EF＝3，則

BF的長為_________．

C

AEFB

【答案】5

【解析】由半角模型可知EF2＝AE2＋BF2，則BF＝EF2AE2＝3222＝5．

222

思路點撥：由半角模型可知＝＋，則＝22＝．

EFAEBFBFEFAE5

2022·山東日照真題

例4如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M，N分別是邊AC，BC上的點，以

CM，CN為鄰邊作矩形PMCN，交AB于點E，F．設CM＝a，CN＝b，且ab＝8．

（1）判斷由線段AE，EF，BF組成的三角形的形狀，并說明理由；

（2）①如圖2，當a＝b時，求∠ECF的度數；

②當a≠b時，①中的結論是否成立？并說明理由．

AA

EP

MEPM

F

F

CNBCNB

圖1圖2

思路點撥：（1）由條件可得S矩形PMCN＝SABC，則SPEF＝SAEM＋SBFN，EF2＝AE2BF2，

由線段AE，EF，BF組成的三角形是直角三角形；（2）①過點C作CH⊥EF于點H．當a＝b時，可得CM

△△△△

＝CN＝CH，△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，則∠ECM＝∠ECH，∠FCN＝∠FCH，∠ECF＝∠ECH＋

1

∠FCH＝∠ACB＝45°；②將△ACE繞點C順時針旋轉90°得到△BCG，連接FG．可證△CEF≌△CGF，

2

則①中的結論成立．

【解析】（1）由線段AE，EF，BF組成的三角形是直角三角形，理由如下：

1

∵SABC＝44＝8，S矩形PMCN＝ab＝8，

2

∴S△ABC＝S矩形PMCN，∴SPEF＝SAEM＋SBFN，

121212

∴△EF＝AEBF，∴E△F2＝AE2△BF2，△

444

∴由線段AE，EF，BF組成的三角形是直角三角形．

（2）①當a＝b時，a2＝8，∴CM＝CN＝a＝22．

如圖1，過點C作CH⊥EF于點H．

∵AC＝BC＝4，∴CH＝22，∴CM＝CN＝CH，

∴△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，

∴∠ECM＝∠ECH，∠ECN＝∠FCH，

1

∴∠ECF＝∠ECH＋∠FCH＝∠ACB＝45°．

2

②當a≠b時，①中的結論仍然成立，理由如下：

如圖2，將△ACE繞點C順時針旋轉90°得到△BCG，連接FG．

則∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2BF2＝AE2BF2．

∵EF2＝AE2BF2，∴EF＝FG．

∵CE＝CG，CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，

11

∴∠ECF＝∠GCF＝∠ECG＝∠ACB＝45°．

22

A

A

MEP

MEP

HF

F

CNB

CB

NG

圖1圖2

基礎

1．如圖，D為等邊△ABC外一點，BD＝CD，∠BDC＝120°，點E，F分別在AB，AC上，且∠EDF＝60°，

若BE＝1，△AEF的周長為4，則AE的長為_________．

A

E

F

BC

D

【答案】1

【解析】由半角模型可知EF＝BE＋CF，則△AEF的周長＝AE＋AF＋EF＝AE＋AF＋BE＋CF＝AB＋AC＝

2AB＝4，∴AB＝2．∵BE＝1，∴AE＝1．

2．如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，DC上的點，且EF＝BE＋DF．

（1）求證：∠EAF＝45°；

（2）作∠EFC的平分線FG交AE的延長線于G，連接CG．探究BC，CF與CG的數量關系，并證明．

AD

F

C

BE

G

【解析】解：（1）延長CB到點P，使BP＝DF，連接AP．

∵正方形ABCD，∴∠ABP＝∠D＝90°，AB＝AD，

∴△ABP≌△ADF，∴AP＝AF，∠BAP＝∠DAF．

∴∠PAF＝∠BAD＝90°．

∵EF＝BE＋DF，EP＝BE＋BP，∴EF＝EP．

∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEP，

∴∠EAF＝∠EAP＝45°．

（2）過點G作GH⊥DC于點H．

∵△ABP≌△ADF，∴∠P＝∠AFD．

∵△AEF≌△AEP，∠AEF＝∠P，∴∠AEF＝∠AFD．AD

∵FG平分∠EFC，∴∠EFG＝∠GFH，F

∴∠AFE＋∠EFG＝∠AFD＋∠GFH＝90．

∵∠EAF＝45°，∴AF＝FG，∴△ADF≌△FHG，C

PBE

∴AD＝FH，DF＝GH．GH

∵AD＝DC，∴FH＝DC，

2

∴CH＝DF，CH＝GH＝CG，

2

22

∴FH－CF＝CG，∴BC－CF＝CG．

22

提高

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，兩銳角的角平分線交于點P，點E，F分

別在邊AC，BC上，且∠EPF＝45°，則△CEF的周長為_________．

C

F

E

P

AB

【答案】4

【解析】過點P作AC，BC，AB的垂線，垂足為M，N，H．

C

F

EN

M

P

AHB

∵兩銳角的角平分線交于點P，∴PM＝PH＝PN，

∴四邊形PMCN是正方形，∴CM＝CN＝PM＝PN．

∵∠EPF＝45°，∴EF＝EM＋FN．

1111

∵SABC＝ACPMBCPNABPH＝ACBC，

2222

∴PM△(AC＋BC＋AB)＝ACBC，

∴PM(6＋8＋10)＝6×8，∴PM＝2，CM＝CN＝2，

∴△CEF的周長＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋EM＋FN＝CM＋CN＝2＋2＝4．

4．如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是BC的中點，連接DE，DF⊥DE交BA的延長線于點F，連接

EF，AC，DE，EF分別與AC交于點P，Q，則PQ＝_________．

DC

PE

Q

FAB

【答案】52

3

【解答】連接DQ，過點F作FG⊥FB，交CA的延長線于點G．

DC

PE

Q

FAB

G

∵正方形ABCD，∴DA＝DC，∠DAF＝∠DCE＝∠ADC＝∠B＝90°，∠QCE＝45°，

∴FG∥BC，∴∠G＝∠QCE＝45°，∴AF＝FG．

∵DF⊥DE，∴∠FDE＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，

∴△ADF≌△CDE，∴AF＝CE，DF＝DE，

∴FG＝CE，∴△FQG≌△EQC，

∴QE＝QF，QG＝QC，∴∠QDE＝45°，

∴AQ2＋CP2＝PQ2．

∵正方形ABCD的邊長是4，點E是BC的中點，

∴AC＝42，AF＝CE＝2，∴AG＝22，

∴CG＝62，∴QG＝QC＝32，∴AQ＝2，

52

∴(2)2(32PQ)2＝PQ2，解得PQ＝．

3

5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D為邊AC上一點，將△BCD沿BD翻折得到△

122

BED，延長DE到點F，使∠DBF＝45°，若S△ADF＝S△BEF，則CD＋EF的值是_________．

4

F

A

E

D

BC

【答案】33

【解析】將四邊形AFBC補成矩形GHBC，使點F在GH上．

HFG

A

E

D

BC

∵∠DBF＝45°，∴∠HBF＋∠DBC＝∠EBF＋∠DBE．

∵∠DBC＝∠DBE，∴∠HBF＝∠EBF．

∵∠H＝∠BEF＝90°，BF＝BF，∴△BHF≌△BEF，

∴BH＝BE＝BC＝8，∴HF＝EF，四邊形GHBC是正方形，

∴DF＝DE＋EF＝CD＋HF．

設CD＝a，HF＝b，則DF＝a＋b，DG＝8－a，FG＝8－b，

在Rt△DFG中，(8－a)2＋(8－b)2＝(a＋b)2，

整理得64－8a－8b＝ab．①

1

∵SADF＝SBEF，∴SBHF＝SBEF＝4SADF，

4

△△△△△

∴8b＝4(6－a)(8－b)，

整理得8a＋8b－48＝ab．②

由①②解得a＋b＝7，ab＝8，

∴CD2＋EF2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝72－2×8＝33．

6．如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD的延長線上，且∠EAF＝45°．

（1）探究EF，BE，DF之間的數量關系，并證明；

（2）若CE＝5，DF＝2，求正方形ABCD的邊長．

F

A

D

BCE

【解析】（1）證明：在BC上截取BG＝DF，連接AG．

F

A

D

BGCE

∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABG＝∠ADF＝90°，

∴△ABG≌△ADF，∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF．

∵∠BAD＝90°，∴∠BAG＋∠DAG＝90°，

∴∠DAF＋∠DAG＝90°，∴∠GAF＝90°．

∵∠EAF＝45°，∴∠EAG＝∠EAF＝45°，

∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF，

∴EF＝EG＝BE－BG＝BE－DF．

（2）設正方形ABCD的邊長為x．

則CF＝x＋2，EF＝BE－DF＝BC＋CE－DF＝x＋5－2＝x＋3．

在Rt△CEF中，52＋(x＋2)2＝(x＋3)2，

解得x＝10，即ABCD的邊長為10．

7．（1）問題背景：如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E、F在線段BC上，∠EAF＝45°，

用等式表示線段BE，EF與CF的數量關系，并證明；

（2）拓展應用：如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E在線段BC上，點F在BC的延長線

上，∠EAF＝45°，若EC＝1，CF＝2，求BE的長．

AA

BEFCBECF

圖1圖2

【答案】（1）BE2＋CF2＝EF2．

證明：如圖1，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°到△ACD，連接DF．

D

AA

D

BEFCBECF

圖1圖2

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，

∴∠ACD＝∠B＝45°，∴∠DCF＝90°，

∴CD2＋CF2＝DF2，∴BE2＋CF2＝DF2．

∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠CAF＝45°，

∴∠CAD＋∠CAF＝45°，∴∠EAF＝