中考壓軸題?題型組合卷（-）

（滿分：30分）

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

L在RtZ\48C中，。為斜邊A8的中點，N8=60°,BC=2cm,動點E從點4出發沿4B向點8運動，動點F從

點。出發，沿折線。?C?8運動，兩點的速度均為到達終點均停止運動，設AE的長為1，ZXAE尸的面積

為y,則），與x的圖象大致為（)

2.己知在等腰△/WC中，AB=AC=4S，BC=4,點。從A出發以每秒逐個單位的速度向點B運動，同時點石從

點4出發以每秒4個單位的速度向點C運動，在OE的右側作交直線AC于點凡設運動的時間為7

秒，則當△AQ廠是一個以人。為腰的等腰三角形時，/的值為

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.【問題提出】在4A6c中，AI3=AC^BC,點。和點A在直線6c的同側，BD=BC,ZlBAC=a,/DBC=§,

且a+0=12O。，連接A。，求NAO4的度數.（不必解答）

D

BC

圖2

【特例探究】小聰先從特殊問題開始研究，當a=9（）。，0=30°時，利用軸對稱知識，以/W為對稱軸構造△

A80的軸對稱圖形△A8。'，連接C。'（如圖2）,然后利用a=90°,0=30°以及等邊三角形等相關知識便

可解決這個問題.

請結合小聰研究問題的過程和思路，在這種特殊情況下填空：△?BC的形狀是,三角形；NAOB的

度數為,

【問題解決】

在原問題中，當NO3CVNA8C（如圖1）時，請計算的度數:

【拓展應用】在原問題中，過點人作直線交直線BQ于￡其他條件不變若8C=7,AD=2.請直接

寫出線段BE的長為

4.如圖，拋物線y=--AT+A（3〃?+1）x-m（〃?>_!且為實數）與j軸分別交于點A、B（點B位于點A的右側且

333

4BW0A）,與y軸交于點C.

（1）填空：點B的坐標為,點C的坐標為（用含機的代數式表示）；

（2）當〃?=3時，在直線上方的拋物線上有一點M,過M作X釉的垂線交直線BC于點N,求線段MN的最大

值；

（3）在第四象限內是否存在點P,使得△PC。，△POk和△陽B中的任意兩三角形都相似（全等是相似的特殊情

況）？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.在RtAA8c中，。為斜邊A4的中點，ZB=60°,BC=2cm,動點七從點4出發沿A3向點4運動，動點尸從

點。出發，沿折線D-C-8運動，兩點的速度均為1c〃心，到達終點均停止運動，設人石的長為小ZiAE產的面積

【分析】根據題意找到臨界點，E,/分別同時到達。、C,畫出一般圖形利用銳角三角函數表示），即可.

【解答】解：在RtZ\4月C中，。為斜邊A8的中點，NB=60°,BC=2cm,

：,AD=DC=DB=2,NCDB=60°

???EF兩點的速度均為lc〃?/s

,當0WxW2時，y=A-AE-DF-sinZCDB=返也

24

當2WxW4時，y=y-AE-BF-sinZB=---x2+73xf

由圖象可知A正確.

故選：A.

2.己知在等腰△八8C中，AB=AC=^,BC=4,點。從A出發以每秒注個單位的速度向點B運動，同時點石從

點4出發以每秒4個單位的速度向點C運動，在。￡的右側作NQEb=N4,交直線4C于點凡設運動的時間為7

秒，則當△4。〃是一個以4。為腰的等腰三角形時，，的值為一提型京或

【分析】當△4￡）尸是一個以AD為腰的等腰三角形時，如圖2,只能AD=AF,由題意。/=4/,BE=4t,DF//

BE,推出四邊形8EFO是平行四邊形，由可得地=些，延長構建方程即可解決問題；

BCAB

【解答】解：當點尸在線段AC上時，如圖1,過A作4G_L8C于G,

9：AB=AC=^

/?BG=CG=2,

由勾股定理得：AG=2_22=1,

由國形可知：N84C是鈍角，

???生^A。尸是一個以AO為腰的等腰三角形時，如圖2,只能AO=AF,

由題意/)"=4，RE=4f.DF//RE,

???匹邊形是平行四邊形，

:.：,DEF=NBDE=NB,

??*IBD-.B-E1,

BCAB

?V5-V5t_4t

..一LF

1=巨，

21

②當點尸在C4的延長線上，A7)=A尸時,

圖3

易笈叢BDEs^CEF,

?BD-BE

ECCF

.V5-V5t_4t

4-4tW

:.小瓶=辛,

?,一5

11

③當點?在CA的延長線上，4。=。?時，作。N_LAF于MZM1_LCF于例.

設AM=x,則42-(x+y/~S)2=(加)2-x2,

■.■X—9

5

?:DN//BM,

?細=歿，

"AMAB，

5

'：DA=DF.DN工AF,

二?A尸=24N=gZA

5

???亞+漢泉=型區t，

55

?L1

2

綜上所述，滿足條件的/的值為二或巨或』.

21112

故答為巨或二或」.

21112

圖1

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.【問題提出】在△ABC中，A8=ACWBC,點。和點A在直線BC的同側，BD=BC,NBAC=a,NO8c=0,

且a+0=12O°,連接A。，求/AO8的度數.（不必解答）

D

B

圖2

【特例探究】小聰先從特殊問題開始研究，當a=90°,0=30°時，利用軸對稱知識，以48為對稱軸構造△

43。的軸對稱圖形△A8。'，連接C。'（如圖2）,然后利用a=90°,0=30°以及等邊三角形等相關知識便

可解決這個問題.

請結合小聰研究問題的過程和思路，在這種特殊情況下填空：8。的形狀是等邊三角形;的度

數為30°.

【問題解決】

在原問題中，當/。（如圖1）M,請計算/AO6的度數：

【拓展應用】在原問題中，過點A作直線AE_LB。，交直線4Q于E,其他條件不變若8c=7,AO=2.請直接

寫出線段BE的長為7+亞或7-立.

【分析】【特例探究】①如圖2中，作NAB。'=ZABD,BD'=BD,連接CQ',ADf,由△AB/）0A44Q',

推出△〃’是等邊三角形；

②借助①的結論，再判斷出BdAD'C,得N4。’R=NA。'C,由此即可解決問題.

【問題解決】當60°VaW120°時，如圖3中，作NAB。'=NABD,BD'=BD,連接C。，AD',證明

方法類似（1）.

【拓展應用】第①種情況：當60°VaW120°時，如圖3中，作N48。'=ZABD,BD'=BD,連接CO',

AD',證明方法類似（1）,最后利用含30度角的直角三角形求出。￡即可得出結論；

第②種情況：當0°<a<60°時，如圖4中，作N48。'=NABD,BlY=BD,連接CQ',AD'.證明方

法類似（1）,最后利用含30度角的直角三角形的性質即可得出結論.

【解答】解：【特例探究】①如圖2中，作NAB。’=/AB。，BD'=B。，連接CQ',AD',

圉2

?：AB=AC,N84C=90",

，NA8C=45°,

VZD?C=30°,

：.^ABD=ZABC-ZDBC=\5°,

'AB=AB

在△ABO和△AB。'中，，ZABD=ZABDZ

BD=BD'

AZABD=ZABD1=15°,ZADB=ZAD1B,

???/?BC=AABD'+NABC=60°,

'：BD=BD',BD=BC,

:?BD'=BC,

「?△O'BC是等邊三角形，

@VAD,6c是等邊三角形,

：?"B=D'C,NBD'C=60°,

<AD=AD/

在△A。'8和△4￡>'C中，<D'B=D'C

AB二AC

?二△A。'跆△4￡>'C,

???NA。'B=N4。'C,

???NA。'B=1.ZBD,C=30°,

2

/.ZADB=30°.

故答案為：等邊，30°；

【問題解決】VNDBCV/ABC,

A60°VaW120°,

如圖3中，作NA8D'=ZABD,RD'=BD,連接C。'，AD',

圖3

9：AB=AC,

???NABC=NACB,

VZBAC=a,

，NABC=2(180°-a)=900■工a,

22

???NABD=ZABC-NDBC=90°■工a-仇

2

同(1)(5)可證448。g448。’，

/.^ABD=ZABD,=90°-工邛，BD=BD',/ADB=NAD'B

2

???/?BC=ZABD,+NABC=90°-L-0+90°-工a=18(T-(a+p),

22

Ya邛=120°,

???NO'BC=60°,

由（1）②可知，△A。'BWAAD'C,

：.AAD'B=ZAD'C,

???NA。'B=L/BD，C=30°,

2

，NAD8=30°.

【拓展應用】第①情況：當60°<a<120°時，如圖3?1,

由(2)知，ZADB=30°,

作AEJ_4Q,

在RtZXAO石中，N4/)B=30°,AD=2,

：?DE=近,

???△8CZ7是等邊三角形，

:?BD'=BC=7,

：.BD=BD'=7,

：.BE=BD-DE=1-

第②情況：當0°<a<60°時，

如圖4中，作NAB。'=ZABD,BD'=BD,連接CD',ADf.

同(1)①可證△A3。0△AB。'，

/.ZABD=ZABD1=B-(90°-工)，BD=BD',ZADB=ZAD'B,

2

???NO'=900-A-[R-(900-Xx)]=180°

BC=ZABC-AABD'a-(a+p),

22

：.D'B=D'C,NBD'C=60°.

同（1）②可證△4。'50△A。'C,

/.ZAD'B=ZAD,C,

VZIAD'B+Z1AD,C+/BD'C=360^,

AZADB=ZAD'4=150°,

在RtZXAQ石中，Z/1DE=3O°,4D=2,

，OE=M，

:,BE=BD+DE=7+止,

故答案為：7+J々或7-近.

【點評】此題是三角形綜合題，主要考查全等三角形的判定和性質.等邊三角形的性質、等腰三角形的性質等知

識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

4.如圖，拋物線），=-?+2（3〃?+1）x-m（/〃>2且為實數）與大軸分別交于點A、B（點4位于點A的右側且

（1）填空：點『的坐標為（3次0）,點。的坐標為（0,-團）（用含人的代數式表示）:

（2）當m=3時，在直線BC上方的拋物線上有一點M,過M作x軸的垂線交直線BC于點N,求線段MN的

最大值；

（3）在第四象限內是否存在點尸，使得△尸CO,△POA和△以8中的任意兩三角形都相似（全等是相似的特殊

情況）？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由.

【分析】（1）令x=0,或y=0,可求8,。坐標

（2）求出解析式，設A4（a,?工？+4?3）,則N（a,L?3）,用"表示MN的長度，根據二次函數

333

最值問題可求MN的最大值.

（3）由。，A,4都在工軸上，且要使△PCO,△POA,△以8中的任意兩個三角形均相似，則三個三角形都是

直角三角形.可得布J_x軸.分/。。。=90°和/OCP=9（）°,分兩種情況討論，根據相似三角形所得的線段比

可求尸點坐標.

【解答】解：（1）令x=0,則）=-6.

C（0,?〃?）：

令y=0,貝I0=--^+―(3w+l)x-m,

33

Axi=I,X2=3m,

且〃＞」■,

3

???A(1,0),B(3m,0)；

(2)當〃?=3時，則拋物線解析式丁=-12+也廣3；

33

AC(0,-3),B(9,0),

:.直線BC解析式y=1x-3；

設M(a,--3),則N(a,L-3),

333

:,MN=--3-1+3=-1，3〃，

3333

.?.蘭時，MN的最大值為&；

24

⑶:。,4,8都在％軸上,

???要使△尸。。△PO4△%B中的任意兩個三角形均相似，則三個三角形都是直角三角形.

NOPB=90°,

???三邊形。4C尸是矩形，

???OA=CP=1,OC=AP=m；

.OA^AP

?下而

：,nr=(3in-1)X1,

'.nr-3/w+l=0,

_3-A/5

...m\_=-3--+--*^5,nn=-----

22

.?.尸(1,■百巫〉或(i,■3-恒;

22

如圖2,

當NOPC=90°，且NOPB=90°,

???點8,點P,點C共線.

???△OCPS^POA,

?APOP.

**0P=oc,

：.OP2=APXOC,

?：NOAP=NOPB=9D°,ZBOP=ZBOP,

：.^POA^^HOPy

.OAOP

**0P=OB'

:.OP2=OAXOB,

：.APXm=lX3mt

：.AP=3,

：,P（L-3）,

綜上所述：尸（1,-3）,（1,匹），（1,-老心■）.

22

【點評】本題考查了二次函數的綜合題，二次函數的最值，相似三角形，利用相似三角形所得線段比例是本題的

關鍵.

楮品基礎教克教學資料，僅供參考，宥要可下我便見！

中考壓軸題?題型組合卷（二）

（滿分：30分）

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.如圖，以正方形ABCD的邊CD為邊向正方形ABCD外作等邊△CZ）E,AC與BE交于點F,則NAFE的度數是（)

A.135°B.120°C.60°D.45°

2.如圖，在△ABC中，48=AC=2巫，8c=4.點E為8c邊上一動點，連接AE,作/AE/EF與4ABC

的外角/AC。的平分線交于點?當E凡LAC時，七戶的長為

BECD

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.綜合與實踐?■旋轉中的數學

問題背景：在一次綜合實踐活動課上，同學們以兩個矩形為對象，研究相似矩形旋轉中的問題：己知矩形A/3CO

s矩形川夕C。'，它們各自對角線的交點重合于點0,連接人人'，CC.請你幫他們解決下列問題：

觀察發現：（1）如圖1,若A'B'〃48,則44'與CC'的數量關系是;

操作探究：（2）將圖I中的矩形43CD保持不動，矩形4'B'CD'繞點。逆時針旋轉角度a（0°<a<90°）,

如圖2,在矩形A'B'CD1旋轉的過程中，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明：若不成立，請說明理由;

操作計算：（3）如圖3,在（2）的條件下，當矩形A'B'CD'繞點O旋轉至AA'_LA'D'時，若A8=6,

BC=8,A'B'=3,求AA'的長.

4.綜合與探究

如圖，拋物線y=■孚x2-^xrG與％軸交于A，8兩點(點A在點8的左側)，與)，軸交于點C,直線

I經過B,。兩點，點M從點A出發以每秒1個單位長度的速度向終點8運動，連接CM,將線段MC繞點M順時

針旋轉90°得到線段M。，連接C。，3。.設點M運動的時間為/(/>()),請解答下列問題:

備用圖

(1?求點A的坐標與直線I的表達式;

(2)①直接寫出點。的坐標(用含，的式子表示)，并求點。落在直線/上時的f的值；

②求點M運動的過程中線段CO長度的最小值；

(3)在點M運動的過程中，在直線/上是否存在點P,使得△BDP是等邊三角形？若存在，請直接寫出點。的

坐標；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.如圖，以正方形46C。的邊CQ為邊向正方形A6CD外作等邊△CQE,AC與交于點人則NAFE的度數是（）

A.135°B.120°C.60°D.45°

【分析】易得△回r與AA。小全等，ZAFD=ZAFB,因此只要求出NAFB的度數即可.

【解答】解：???四邊形ABCO是正方形.

：.AB=ADfNBAF=NDAF.

△AB/7與△AZ）/7全等.

/.ZAFD=/AFB.

?:CB=CE,:?/CBE=/CEB.

?：NBCE=NBCD+NDCE=90°-K）0°=150°,

AZCB￡=15°.

VZACB=45°,

ZAFB=NACB+NCBE=60°.

/.^AFE=\20Q.

故選：B.

【點評】此題考查正方形的性質，熟練掌握正方形及等邊三角形的性質，會運用其性質進行一些簡單的轉化.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC=2^,BC=4.點E為8c邊上一動點，連接AE,作N4E尸=/B,EF與4ABC

的外角NACZ）的平分線交于點凡當EEL4C時，石十的長為1壁.

【分析】當AB=4C,NAE尸=N/3時，ZAEF=ZACB,當EF_LAC時，N4C4+NCE6=90°=ZAEF+ZCEF,

即可得到AE_LBC,依據Rt^CFGgRtZXCF”,可得CH=CG=再根據勾股定理即可得到￡尸的長.

【解答】解：如圖，當A8=AC,/A￡/=N8時，ZAEF=ZACB,

當E/_LAC時，ZACB+ZCEF=90°=ZAEF+ZCEF,

???AE_L8C,

：,CE=^BC=2,

2

又???AC=2M，

，AE=4,￡G=AEX_CE=

AC

???^=7CE2-EG2=-|V5,

作FHLCD于H,

YCF平分NACO,

:,FG=FH,WCF=CF,

ARtACFG^RtACF//,

ACW=CG=-1^/5，

設EF=x,貝ljHF=GF=x-^x/^，

???RlZXEF”中，EH2+FH2=EF2,

,,,（2+~|^）2+（X-專用2=9,

解得x=l+加，

故答案為：1+J0

【點評】本題主要考查了角平分線的性質，勾股定理以及等腰三角形的性質的運用，解決問題的關鍵是掌握等腰三

角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.綜合與實踐--旋轉中的數學

問題背景：在一次綜合實踐活動課上，同學們以兩個矩形為對象，研究相似矩形旋轉中的問題：已知矩形A/3CQS

矩形4夕CD1,它們各自對角線的交點重合于點O,連接A4',CCf.請你幫他們解決下列問題：

觀察發現：（I）如圖1,若A'B'〃AB,則A4'與CC'的數量關系是A4'=CC'；

操作探究：（2）將圖1中的矩形A8CD保持不動，矩形A'B'C。'繞點。逆時針旋轉角度a（0°VaW900）,

如圖2,在矩形A'"CD'旋轉的過程中，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明：若不成立，請說明理由；

操作計算：（3）如圖3,在（2）的條件下，當矩形A'B'CD'繞點。旋轉至AA'±A,。'時，若A8=6,BC

=8,/VB'=3,求/U'的長.

圖1圖2圖3

【分析】（1）連接AC、A'C',根據題意得到點A、4'、C'、C在同一條直線上，根據矩形的性質得到OA

=OC,OA'=OC,得到答案；

（2）連接AC、A'C,證明04也△（?'0C,根據全等三角形的性質證明；

（3）連接AC,過。作CEJ_A",交A*的延長線于E,根據相似多邊形的性質求出8'C,根據勾股定理

計算即可.

【解答】解：（1）AV=CC',

理由如下：連接AC、A'C,

???矩形ABCDs矩形A'B'CD',乙CAB=4C'4'B',

VA'B'//AB,

???點A、A'、C'、。在同一條直線上，

由赳形的性質可知，OA=OC,OA'=OC,

???AA'=CC,

故答案為：AA'=CC；

（2）答：（I）中的結論還成立，AAf=CC'，

理由如下：連接AC、A'C,則AC、AfC都經過點0,

由旋轉的性質可知，NA'OA=ZCOC,

???匹邊形A8CO和四邊形A'B'CD,都是矩形，

：.OA=OC,OA'=0C,

在AA'04和0c中，

rOA=OC

?NA'OA=NC'OC，

ON=OCZ

???△A'o噲xcoc,

?W=cc；

(3)連接AC,過C作CE_LA8',交.AB'的延長線于E,

:矩形A3cos矩形A'B'CD,

■:NEB，C=NB'C'C=ZE=90°，

???匹邊形"ECC為矩形，

：.EC=B'C=4,

AC=2S=10,

在Rt/XABC中，-7AB+BC

在中，

RtZ^AECAE=JAC2_C￡2=2V21?

?W+B'E=2揚-3,又A4'=CC=B'E,

：.AAf=2收-3

2

A______________D

s

B\~^C

圖

/A______________D

圖2

AK_______________D

圖1

【點評】本題考杳的是矩形的性質、旋轉變換的性質、全等三角形的判定和性質，掌握旋轉變換的性質、矩形的

性質是解題的關鍵.

4.綜合與探究

如醫，拋物線y=?亞_乂2-^乂+75與x軸交于4

6兩點（點A在點3的左側），與y軸交于短C,直線/

33

經過B,。兩點，點M從點A出發以每秒1個單位長度的速度向終點8運動，連接CM,將線段MC繞點M順

(1)求點A的坐標與直線I的表達式；

(2)①直接寫出點。的坐標(用含f的式子表示)，并求點。落在直線/上時的f的值；

②求點M運動的過程中線段C。氏度的最小值；

(3)在點M運動的過程中，在直線/上是否存在點P,使得△8DP是等邊三角形？若存在，請直接寫出點P的

坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)當y=0時，-返乂231xW§=。，解方程求得A(-3,0),B(I,0),由解析式得C(0,

33

的)，待定系數法可求直線/的表達式；

(2)分當點"在人。上運動時，當點”在OB上運動時，進行討論可求。點坐標，將。點坐標代入直線解析

式求得，的值；線段C。是等腰直角三角形CMO斜邊，若C。最小，則CM最小，根據勾股定理可求點M運動

的過程中線段CD長度的最小值；

(3)分當點M在40上運動時，即0V/V3時，當點M在OB上運動時，即3W/W4時，進行討論可求尸點坐

標.

【解答】解：(1)當)=0時，.叵乂20巨乂地;。,解得工i=i,x2=-3,

33

???點A在點8的左側，

?"(-3,0),B(1,0),

由解析式得C(0,?).

設直線/的表達式為)，=h+4將B,。兩點坐標代入得〃成--然.

故直線/的表達式為)，=-a計加；

(2)當點M在AO上運動時，如圖

由題意可知人M=1.OM=3-t,MCIM/).過點。作r軸的垂線垂足為M7DMN+7CMO=^(}°,/CMO+

NMCO=90°,

Z.ZMCO=ZDMN,

在△MCO與△OMN中，

fMD=MC

\ZDCM=ZDMN，

IZCOM=ZMND

；.4MCQg4DMN,

:,MN=OC=蕊,DN=OM=3-i,

：.D(f?3+近,/-3)；

同理，當點M在08上運動時，如圖,

0M=t-3,△MCOg△OMN,MN=OC=0ON=t-3+近,DN=0M=i-3,

：.D(/-3+VS-L3).

綜上得，D(L3+近，L3).

將D點坐標代入直線解析式得r=6-2%，

線段CO是等腰直角三角形CM。斜邊，若C。最小，則CM最小，

在48上運動，

???蘭CM_L/IB時，CM最短，CO最短，即CM=CO=J&,根據勾股定理得CO最小證;

(3)當點M在A。上運動時，如圖，即0V/U3時，

???NC4O=60°，

???△4。。是等邊三角形,

：.ZDBP=ZBDP=6（）°，BD=BP,

工NNBD=60。,DN=3-/,AN=l+近,NB=47-近,tan/N80=黑,

3-t=%，解得t=3-遭,

4-t-V3

經檢驗r=3-立是此方程的解,

過點P作k軸的垂線交于點Q,易知叢PQBq4DNB,

：.BQ=BN=4-t-43=^PQ=?，00=2,P（2,?代）；

同理，當點M在08上運動時，即3W/W4時,

???△BQP是等邊三角形,

:,乙DBP=/BDP=6V,BD=BP,

，NN8Q=60°,DN=t?3,N8=1-3+加?1=，-4+第,tan/N8D=@,

NB

t3

-z-=V3＞解得尸3-加，

t-4+V3

經檢驗［=3-然是此方程的解，1=3-近（不符合題意，舍）.

故尸（2,-V3）.

【點評】考杏了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法，勾股定理，等腰直角三角形的性質，等功三角形

的性質，三角函數，分類思想的運用，方程思想的運用，綜合性較強，有一定的難度.

楮品基礎教克教學資料，僅供參考，宥要可下我便見！

中考壓軸題?題型組合卷（H）

（滿分：30分）

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.如圖，在正方形ABCD對角線BD上截取BE=BC,連接CE并延長交AD于點F,連接AE,過B作BG_LAE于點G,

交AD于點H,則下列結論錯誤的是（）

A.AH=DF

B.S四邊形EHIG=SADCF+S&AGH

C.ZAEF=45°

D.AABH^ADCF

2.已知關于x的二次函數y=ax2-4ax+aJ+2a-3在-1WXW3的范圍內有最小值5,則a的值為

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.如圖，拋物線y=?2x2+bx+2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點，且點A的坐標為（1,Q）.

2

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷aABC的形狀，并證明你的結論；

（3）點M是拋物線對稱軸上的一人動點，當的周長最小時，求點M的坐標.

4.如圖1,在矩形ABCD中，AB=9,BC=12,點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向在AB上運動,

以點M為圓心，MA長為半徑畫畫，如圖2,過點M作NM_LAB，交。M于點N,設運動時間為1秒?

(1)填空：BD=,BM=；(請用準確數值或含t的代數式表示)

(2)當0M與BD相切時,

①求t的值；

②求ACDN的面積.

(3)當4CND為直角三角形時，求出t的值.

參考答案

一、選擇、填空題（共2小題，每小題3分，共6分）

1.如圖，在正方形ABCD對角線BD上載取BE=BC,連接CE并延長交AD于點F,連接AE,過B作BG_LAE于點G,

交AD于點H,則下列結論錯誤的是（）

A.AH=DF

B.S四邊形EFHG=SaDCF+SaAGH

C.ZAEF=45°

【).AABH^ADCF

【分析】先判斷出NDAE=NABH,再判斷△ADEW^CDE得出/DAE=NDCE=22.5°,ZABH=Z1)CF,再判斷出

RtAABH也RtZ\DCF從而得到A、D正確，根據三角形的外角求出/AEF=45°,得出C正確；連接HE,判斷出S

△eHiWSaEFo得出B錯誤.

【解答】解：〈BD是正方形ABCD的對角線，

AZABE=ZADE=ZCDE=45°,AB=BC,

VBE=BC,

AAB=BE,

VBG1AE,

，BH是線段AE的垂直平分線，NABH=NDBH=22.5°,

在Rt^ABH中，ZAHB=90°?NABH=67.5°,

VZAGH=90°,

AZDAE=ZABH=22.5°,

'DE=DE

在AADE和ACDE中、ZADE=ZCDE=45°，

AD=CD

AAADE^ACDE,

???NDAE=NDCE=22.5°,

AZABH=ZDCF,

rZBAH=ZCDF

在RtAABH和RtADCF中＜AB=CD，

NABH二NDCF

ARtAABH^RtADCF,

AAH=DF,ZCFD=ZAHB=67.5°,

VZCFD=ZEAF+ZAEF,

A67.50=22.5°+ZAEF,

AZAEF=45°,故ACD正確;

如圖，連接HE,

BC.

???BH是AE垂直平分線,

AAG=EG,

???SAAGH=SAHEG?

VAH=HE,

AZAHG=ZEHG=67.5°,

AZDHE=45°,

VZADE=45°,

.-.ZDEH=90°,ZDI1E=ZHDE=45°,

AEll=ED,

???△DEH是等腰直角三角形，

???EF不垂直DH,

.??FHWFD,

SZkEFIlWSaEH），

啦l形田IGuS.iEG+SAEmuS&viG+SaEFH^SziDEF+SzXAGH，故B錯誤,

故選：B.

【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和和三角形

外角的性質，解本題的關鍵是判斷出△AI)Eg/\Q)E,難點是作出輔助線.

2.已知關于x的二次函數y=ax2-4ax+a+2a?3在?1WXW3的范圍內有最小值5,則a的值為4或-8.

【分析】由y=ax2-4ax+a2+2a-3=a(x-2)2+(a2-2a-3)可知當a>0時,最小值是a2-2a-3=5,當aV

0時，x=-l時，y有最小值5,則a+4a+a、2a-3=5,解關于a的方程即可求得.

【解答】解：y=ax2-4ax+az+2a-3=a(x-2)/+(a2-2a-3),

其對稱軸為x=2,

當a>0時，最小值是a2?2a-3=5,解得a=4,a2=-2（舍去）；

當a<0時，x=?1時，y有最小值5,貝ija+4a+a'+2a-3=5,整理得a'+7a-8=0,解得a1=l（舍去），a2=-

8,

所以a的值為4或-8,

故答案為：4或-8

【點評】本題考查了二次函數的最值，注意，只有當自變量x在整個取值范圍內，函數值y才在頂點處取最值.而

當自變量取值范圍只有一部分時，必須結合二次函數的增減性及對稱軸判斷何處取最大值，何處取最小值.

二、解答題（共2小題，每小題12分，共24分）

3.如圖，拋物線y=-2x?+bx+2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點，且點A的坐標為（1,Q）.

2

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷AABC的形狀，并證明你的結論；

（3）點M是拋物線對稱軸上的一人動點，當AACM的周長最小時，求點M的坐標.

【分析】（1）把點A的坐標代入解析式，求出b,利用配方法求出拋物線的頂點坐標;

（2）解一元二次方程求出0B,根泥勾股定理求出AC、BC,根據勾股定理的逆定理判斷即可；

（3〕連接BC交對稱軸于M,由軸對稱的性質得到此時△ACM的周長最小，利用待定系數法求出直線BC的解析式,

求出點M的坐標.

【解答】解：（1）丁點A（1,0）在拋物線丫=?1x2+bx+2上，

2

:.-A+b+2=0,

2

解得，b=-3,

2

拋物線的解析式為y=--lx2-Wx+2,

22

y=--lx2-3X+2=-—（x+—）2+-55.,

22228

則頂點D的坐標為（-1,空）；

28

（2）AABC是直角三角形，

證明：點C的坐標為（0,2）,即0C=2,

-Ax2-—x+2=0,

22

解得，X1=-4,x2=l,

則點B的坐標為（-4,0）,即0B=4,

0A=l,0B=4,

/.AB=5,

由勾股定理得，AC=加，BC=2加，

AC2+BC2=25=AB\

???△ABC是直角三角形；

（3）由拋物線的性質可知，點A與點B關于對稱軸對稱，

連接BC交對稱軸于M,此時△ACM的周長最小，

設直線BC的解析式為：y=kx+b,

由題意得，（-4k+b=°,

lb=2

解得，/2,

b=2

則直線BC的解析式為：y=lx+2,

2

當x=-3時，y=。，

24

???當M的坐標為（-3,?）.

24

【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，掌握二次函數與一元二次方程的關系、待定系數法求二次函數

解析式的一股步驟、軸對稱-最短路徑問題是解題的關鍵.

4.如圖1,在矩形ABCD中，AB=9,BC=12,點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向在AB上運動,

以點M為圓心，MA氏為半徑畫圓，如圖2,過點M作NM_LAB,交0M十點N,設運動時間為t杪.

（1）填空：BD=15,BM=9-t；（請用準確數值或含t的代數式表示）

（2）當。M與BD相切時，

①求t的值；

②求的面積.

（3）當△（?!□為直角三角形時，求出I的值.

【分析】(1)先判斷出NBAD=90°,利用勾股定理求出Bl)=15,再由運動即可得出結論；

(2)①先判斷出NBEM=NBAD=90°,進而得出△BMEs/\BDA,得出比例式建立方程士生上匕即可得出結

1512

論；

②先求出UN=4,Q)邊上的高為AD-MN=12-4=8,最后用面積公式即可得出結論；

(3)先得出FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12?2t,分兩種情況，建立方程即可得出結論.

【解答】解：(1)???四邊形ABCD是矩形,

AAD=BC=12,ZBAD=90°,

BD=2

在RlZV'BD中，AB=9,BC=12,根據勾股定理得，7AB+AD2=15,

由運動知,AM—t.

ABM=AB-AM=9-t,

故答案為：15,9-t；

(2)①如圖1,0M且BD于E,

AME1BD,

/.ZBEM=ZBAD=90°,

VZEBM=ZABD,

AABME^ABDA,

.BHME

???'—"9

BDDA

?9-2t2t

1512

At=2,

②?1祖=人吊=21=4,

ACD邊上的高為AD-MN=12-4=8,

:.S/xCD7=2X9X8=36；

2

(3)如圖2,過點N作直線FGJ_MN,分別交AD,BC于點F,G,

.\FN=2t,GN=9-2t,DF=CG=12-2t,

.,.DN2=I)F2+FN2=(12-2t)2+(2t))

.\CN2=CG2+GN2=(12-2t)之+(9-2t)2,

①當NDNC=90。時，DN2+CN2=CD)

(12-2t)%(2t)'+(12-2t)+(9-2t)'=81，

化簡，得4t2-33t+72=0,

：△=(-33)2-4X4X72V0,

，此方程無實數根；

②=NDCN=90°時，點N在BC上，BN=BA=2t=9,

At=4.5,

綜上所述，t=4.5秒.

圖1

【點評】此題是圓的綜合題，主要考查了矩形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，解一元二次方程,

利用方程的思想解決問題是解本題的關鍵.

楮品基礎教克教學資料，僅供參考，宥要可下我便見！

中考壓軸題?題型組合卷史

(滿分：30分)

一、選擇、填空題(共2小題，每小題3分，共6分)

1.在平面直角坐標系中，將拋物線y=，+2r+3繞著它與)，