五年級奧數高等難度練習題

+數列+小數的巧算+平均數+試卷及答案+巧算和速算

五年級奧數高等難度練習題

平均數問題：（高等難度）

幼兒園有三個班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老師給小孩分棗，甲班每個小孩比

乙班每個小孩少分3個棗，乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，結果甲班比乙班共多分3個

棗，乙班比丙班總共多分5個棗。問：三個班總共分了多少個棗？

平均數問題答案：

設丙班有x個小孩，那么乙班就有（x+4）個小孩，甲班有（x+8）個小孩。

乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，那么x個小孩就少分5x個棗，而乙班比丙班總共多

分5個棗，所以多出來的那4個小孩分了（5x+5）個棗。

同理：甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，那么（x+4）個小孩就少分（3x+12）個棗。

而甲班比乙班共多分3個棗,所以多出來的那4個小孩分了（3X+12+3）即（3x+15）個棗。

甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，4個小孩就少3X4=12個棗，因此我們得到：

5x+5=3x+15+12,解得x=ll.

所以，丙班有11個小孩，乙班有15個小孩，甲班有19個小孩，甲班每人分12個棗，乙班每

人分15個棗，丙班每人分20個棗。一共分了12X19+15X15+20X11=673個棗。

【小結】通過方程解決問題是常用的方法。

最值問題：（高等難度）

N是一個各位數字互不相等的自然數，它能被它的每個數字整除。N的最大值是。

最值問題答案：

N不能含有0,因為不能被0除。N不能同時含有5和偶數，因為此時N的個位將是0.如果含

有5,則2,4,6,8都不能有，此時位數不會多。如果N只缺少5,則含有1,2,3,4,6,7,8,

9,但是數字和為40,不能被9整除。所以必須再去掉一位，為了最大，應該保留9放到最高位，

為了使數字和被9整除，還需要去掉4。此時由1,2,3,6,7,8,9組成，肯定被9整除，還需

要考慮被7和8整除。前四位最大為9876,剩下三個數字組成的被8整除的三位數為312,9876312

被7除余5：前四位如果取9873,剩下二個數字組成的被8型除的二位數為216,9873216被7除余

3；前四位如果取9872,剩下三個數字組成的被8整除的三位數為136,9872136被7除余1；前四

位如果取9871,剩下三個數字組成的被8整除的三位數為632,9871632被7除余1；前四位如果取

9867,剩下三個數字組成的被8整除的三位數為312,9867312被7整除。

行程問題：（高等難度）

（2010年DIC6年級復賽第22題，10分）〃有的母牛比一般人具有更健全的頭腦，”有一位農夫

就曾這樣認為，”瞧！有一天我的那頭老家伙，有著斑紋的母牛正站在距離橋梁中心點5英尺遠的地

方，平靜地注視著河水發呆，突然，他發現一列特別快車以每小時90英里的速度向它奔馳而來，此

時，，火車已經到達靠近母牛一端的橋頭附近，只有兩座橋長的距離了。母牛亳不猶豫，馬上不失時

機地迎著飛奔而來的火車作了一次猛烈沖刺，終于得救了。此時距離火車頭只剩1英尺了，如果母

牛按照人的本能，以同樣的速度離開火車逃跑，那么母牛的屁股將有3英寸要留在橋上！〃試問：橋

梁的長度是多少？這只母牛狂奔的速度是多少？（1英尺=12英寸）

圓柱體答案：

觀察可知，老母牛一開始在火車的中心的左端。在相遇過程中，火車走了：2個橋長T英尺；

母牛走了：0.5個橋長-5英尺；在追及過程中：火車走了：3個橋長-0.25英尺；母牛走了：0.5個

橋長+4.75英尺。則在相遇和追及過程中：火車共走了5個橋長T.25英尺；同樣的時間，母牛走了

1個橋長-0.25英尺。所以火車的速度是母牛狂奔時的5倍。母牛的速度為90+5=18英里/小時。又

根據2個橋長-1英尺=2.5個柝長-25英尺所以0.5個橋長=24英尺。1個橋長=48英尺。

圓柱體：（高等難度）

如圖，一個有底無蓋圓柱體容器，從里面量直徑為1（）厘米，高為15厘米在側面距離底面9座

米的地方有個洞.這個容器最多能裝亳升水（”取3.14）

圓柱體答案：

解答：942

現在要求這個容器盡可能的多裝一些水，則將圓柱適當的傾斜，可得新的圓柱的體積為：

.1.

7TX5*X94--XTTX5*X6=300^=942

2

亳開水.

約數倍數：（高等難度）

若a,b,c是三個互大相等的大于0的自然數，且a+b+c=1155,則它們的最大公約

數的最大值為，最小公倍數的最小值為，最小公倍數的最大值為

約數倍數答案：

解答：165、660、57065085

1)由于a+b+c=1155,而1155=3X5X7X11。令a=mp,b=mq,c=ms.m為a,b,c的最大

公約數，則p+q+s最小取7。此時m=165.

2)為了使最小公倍數盡量小，應使三個數的最大公約數m盡量大，并且使A,B,C的最小公倍

數盡量小,所以應使m=165,A=l,B=2,C=4,此時三個數分別為165,330,66(),它們的最小公倍

數為660,所以最小公倍數的最小值為660。

3)為了使最小公倍數盡量小，應使三個數兩兩互質且乘積盡量大。當三個數的和一定時，為了

使它們的乘積盡量大，應使它們盡量接近。由于相鄰的自然數是互質的，所以可以令

1155=384+385+386,但是在這種情況下384和386有公約數2,而當1155=383+385+387時,三個數

兩兩互質，它們的最小公倍數為383X385X387=57065085,即最小公倍數的最大值為57065085。

定義新運算：(高等難度)

規定：AOB表示A、B中較大的數，AZ\B表示A、B中較小的數.

若(AO5+BA3)X(BO5+AA3)=96,且A、B均為大于0的自然數

AXB的所有取值有個。

定義新運算答案：

共5種；

分類討論，由于題目中所要求的定義新運算的符號是較大的數與較大的數，則對?于A或者B有

3類不同的范圍，A小于3,A大于等于3,小于5,A大于等于5。對于B也有類似，兩者合起來共

有3X3=9種不同的組合，我們分別討論。

1)當AV3,B<3,則(5+B)X(5+A)=96=6X16=8X12,無解；

2)當3WAV5,BV3時，則有(5+B)X(5+3)=96,顯然無解；

3)當A25,BV3時,則有(A+B)X(5+3)=96,則A+B=12.

所以有A=10,B=2,此時乘積為20或者A=11,B=1,此時乘積為11。

4)當AV3,3WBV5,有(5+3)X(5+A)=96,無解；

5)當3WA<5,3WBV5,有(5+3)X(5+3)=96,無解；

6)當A25,3WBV5,有(A+3)X(5+3)=27,則A=9.此時B=3后者B=4。則他們的乘積有

27與36兩種:

平方差答案：

對于任意奇數2k+l=(k+l)2-k2,但1不符合要求，舍去2,對于所有能被4整除的數,

4k=(k+l)2-(kT)2,但4不符合要求，舍去3,對于被4除余2的數,假設4k+2=x2-y2=(x-y)(x+y),

當奇偶性相同時，(x-y)(x+y)可被4整除，與提設矛盾，舍去：當xy奇偶性不同時，(x-y)(x+y)

為奇數，與提設矛盾，舍去.顯然，從5開始每4個數中有3個是智慧數，而1到4中只有3只智

慧數,第1993個智慧數為(1993-1)+3X4+4=2660。

行程：(高等難度)

甲，乙兩站相距300千米,每30千米設一路標，早上8點開始,每5分鐘從甲站發一輛客車開往乙

站，車速為60千米每小時，早二9點30分從乙站開出一輛小汽車往甲站,車速每小時100千米，已知

小汽車第一次在某兩相鄰路標之間(不包括路標處)遇見迎面開來的10輛客車，問：從出發到現在為

止,小汽車遇見了多少輛客車？

行程答案：

小汽車出發遇到第一輛客車是在(300-60X1.5)4-(100+60)=21/16小時，小汽車每行一

段需要304-100=3/10小時,此時在(21/16)+(3/10)=4又3/8段的地方相遇。遇到第一輛客車后,

每隔5+(100+60)=5/16()小時遇到一輛客車，當在端點遇到客車時，每斷路只能再遇到9輛車

[(3/10)+(5/160)=9.6],因此過路標少于3/10-9X(5/16此=3/160小時遇到客車時,才能滿

足條件。當小汽車行完5段，就剛好在路標處遇到第7輛，因此這段只能遇到9輛，下一次剛好能

遇到10輛,所以共遇到了7+9+10=26輛。

正方形：(高等難度)

右圖是由16個同樣大小的正方形組成的，如果這個圖形的面積是400平方厘米，那么它的周長

是多少厘米？

正方形答案：

每個正方形的面枳為400+16=25(平方厘米)，所以每個正方形的邊長是5厘米。觀察右圖，這

個圖形的周長從上下方向來看是由7X2=14條正方形的邊組成，從左右方向來看是由4X2+3X4=20

條正方形的邊組成，所以其周長為5X14+5X20=170厘米。

答題：(高等難度)

100個人回答五道題，有81人答對第一題，91人答對第二題，85人答對第三題，79人答對第

四題，74人答對第五題，答對三道題或三道題以上的人算及格，那么，在這100人中，至少有多少

人及格。

答題答案：

答對三道題或三道題以上的人算及格，要使100人中，及格人數盡可能少則需使每人首先都答

對其中的兩題，余下（81+91+85+79+74）-2X100=410-200=210道盡量分配給少數人,這少數人

中每人最多再對3道所以210+（5-2）=70（人）即在這1（）0人中，至少有70人及格。

最大值：（高等難度）

把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中，使得數最大。□□□□一□□X□□這個最大得

數是多少？

最大值答案：

要使得數最大，被減數（四位數）應當盡可能大，減數（口□又口□）應當盡可能小。由例[1]

的原則，可知被減數為8765。下面要做的是把1、2、3、4分別填入口口又口□的4個〃口〃中，使

乘積最小。要使乘積最小，乘數和被乘數都應當盡可能小。也就是說，它們的十位數都要盡可能小。

因為：12X34=408而14X23=322,13X24=312（最小）8765-13X24=8453。

數字：（高等難度）

2008年第29屆奧運會將在北京舉辦.則20082008的個位數字是多少？

數字答案：

算式中每個乘數的個位數字都是，8X8X8XL的個位數字周期性出現：8、4、2、6、8、4、2、

6……,周期為4,20084-4=502,所以的個位數字是6.

自然數：（高等難度）

對任意兩個不同的自然數，將其中較大的數換成這兩數之差，稱為一次變換。如對18和42可

進行這樣的連續變換：18,42-18,24-18,6-12,6-6,6。.直到兩數相同為止。問：對12345

和54321進行這樣的連續變換，最后得到的兩個相同的數是幾？為什么？

自然數答案：

如果兩個數的最大公約數是a,那么這兩個數之差與這兩個數中的任何一個數的最大公約數也

是a。因此在每次變換的過程中，所得兩數的最大公約數始終不變，所以最后得到的兩個相同的數

就是它們的最大公約數。因為12345和54321的最大約數是3,所以最后得到的兩個相同的數是3。

約數：（高等難度）

100以內約數個數最多的自然數有五個?它們分別是幾？

約數答案：

如果恰有一個質因數，那么約數最多的是=64,有7個約數；

如果恰有兩個不同質因數，那么約數最多的是義=72和X3=96,各有12個約數：

如果恰有三個不同質因數，那么約數最多的是X3X5=60,X3X7=84和2XX5=90,各

有12個約數。

所以100以內約數最多的自然數是60,72,84,90和96。

座位：（高等難度）

一排椅子只有15個座位，部分座位已有人就座，樂樂來后一看，他無論坐在哪個座位，都將與

已就座的人相鄰。問：在樂樂之前已就座的最少有幾人？

座位答案：

將15個座位順次編為1:15號。如果2號位、5號位已有人就座，那么就座1號位、3號位、4

號位、6號位的人就必然與2號位或5號位的人相鄰。根據這一想法，讓2號位、5號位、8號位、

11號位、14號位都有人就座，也就是說，預先讓這5個座位有人就座，那么樂樂無論坐在哪個座位,

必將與已就座的人相鄰。因此所求的答案為5人。

奧數

五年級上

一、數列規律的應用一找規律（四）...........1

二、等差數列求和的應用一數列（二）.........7

三、包含與排除（二）.......................14

四、小數的巧算一巧算（四）................19

五、行程問題（三）........................25

六、行程問題（四）.........................31

七、牛吃草問題...........................36

八、平面圖形的面積（二）..................39

九、計數問題.............................45

十、數的進位制（二）......................50

十一、簡單抽屜原理（一）..................54

十二、簡單的統籌規劃問題................60

部分答案...........................68

二、等差數列求和的應用一數列(二)

對等差數列ai,a2,a3,…，an,…，如果公差是d,第n項是

an,前n項的和是sn(n=l,2,3,...)那么：

an=a1+(n-l)d

即：第n項二首項+公差的(n-1)倍

n=(an-ai)4-d+l

即：項數二(末項-首項)+公差+1

Sn=(ai+a)Xn=2

即：前n項和二(首項+末項)X項數+2

前n個奇數的和：1+3+5+…+(2nT)二n”

前n個偶數的和：2+4+6+…+2n=r?+n

例18、有一列數：5,8,11,14,...o

①求它的第100項；②求前100項的和。

例19、有一串數：1,4,7,10,……,298c求這串數的和0

例20

1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+

198+197-196-195

例21、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183

例22、寫出數列：123,4,5,6,……中,第n個倡數

和第n個奇數。

例23、分別求自然數列中前n個奇數之和，以及前n個

偶數（不包括0）的和。

例24、1+3+5+7+…+99

例25、2+4+6+8+???+100

例26、例+23+25+27+???+99

例27、已知一串數1,5,9,13,17,…，問這串數中第100

個數是多少？

例28、1971,1981,1991,2001,2011,…，2091,這幾個數

的和是多少？

例29、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1

例30、1+2-3+4+5-6+7+8-9+,?,+97+98-99

例31、在小于100的自然數中，被7除余3的數的和是

多少？

例32、從一點。引出20條不重復的射線共形成多少個

例33、求所有比11的倍少5的三位數的和?

例34、下圖有中的30個方格中各有一個數，每個格子中

的數等于同一橫行最左邊一格和同一豎列最上面一格的數

之和（如a=14+17=31）o問這30個數的總和等于多少？

101113151719

12

14a

16

18

例35、已知一列數:1,3,6,10,15,21,…，問第59個數

是多少？

例36、在一個八層的寶塔上安裝節日彩燈共888盞。已

知從第二層開始，每一層比下邊一層少安裝6盞。問最上邊

一層安裝多少盞？

例37、若干個同樣的盒子排成一排，小明把50多個同

樣的棋子分裝在盒子中。其中只有一個盒子是空的，然后他

外出了，小光從每個有棋子的盒子里各拿了一個棋子放在空

盒子內，再把盒子重新排了一下，小明回來沒有發現有人動

過棋子，問共有多少個盒子？多少棋子？

例38、能不能把44顆花生分給10只猴子，使每只猴子

分的花生顆數都不同？

例39、一堆相同的立方體堆積如圖，第1層1個，第2

層3個，第3層6個，…第10層有多少個？

例40、每相鄰的3個圓點組成一個小三角形，如圖，問

圖中這樣的小三角形個數多還是圓點個數多？

例41、紅光電影院有22排座位，后一排都比前一排多

2個座位，最后一排42個座位。那么這個電影院一共有多少

個座位？

例42、小明和小強比賽口算,計算：1+2+3+4+.......,當

計算到規定的那個加數時，小明的得數是60,小強的得數是

66,老師說他們兩人的得數有一個錯了。問：他們誰算錯了，

錯在哪里？

例43、100這個自然數最多能寫成多少個不同的自然數

的和？

例44、如果十個互不相同的兩位奇數之和等于898,那

么這十個數中最小的一個是多少？

五年級奧數第二講

------小數的巧算

小數“巧”算的基本途徑還是靈活應用小數四則運算的法則、運算定律,

使題目中的數盡可能轉化為整數。在某種意義上講，“化整”是小數運算技

巧的靈魂。

當然，根據小數的特點，在乘除運算中靈活運用小數點的移位：兩數相

乘，兩數中的小數點反向移動相同的位數，其積不變（如0.8X1.25=8X

0.125）；兩數相除，兩數中的小數點同向移動相同的位數，其商不變（如0.16

4-0.04=164-4）,也是常見的簡化運算方法。

另外，某些特殊小數相乘化整，應熟記于心，如上面的8X0.125=1；0.5

X2=0.25X4=1；0.75X4=3；0.625X16=10等等。同學們在平時做題時留心

積累這些“竅門”會大大提高自己的運算能力。

一、例題講解

例1：計算2005X18-200.5X80+20050X0.1

例2：計算75X4.7+15.9X25

練習(1)iT?1.25X3.14+125X0.0257+1250X0.00229

(2)計算22.8X98+45.6

例3：計算0.27+0.25

例4：計算7.816X1.45+3.14X2.184+1.69X7.815

練習(1)計算320+1.25+8

(2)計算41.2X8.1+11X1.25+53.7X1.9

例5：計算999.9X0.28-0.6666X370

例6：計算(1+0.12+0.23)X(0.12+0.23+0.34)一(1+0.12+0.23+0.34)X

(0.12+0.23)

練習(1)：i+M5.2X1111+6666X0.8

(2)：計算(2+1.23+2.34)X(1.23+2.34+3.45)一(1.23+2.34)X

(2+1.23+2.34+3.45)

二、課堂練習

1、HW37.5-1.53-0.25-1.22

2、計算2.5X1.25X3.2

3、計算3.74X2.85+8.15X3.74—3.74

4、計算3.6X31.4+43.9X6.4(提示:43,9=31.4+12.5)

5、計算2.4X7.6+7.6X6.5+7.6X0.76

6、計算8+(31.25X0.4)+99.36

7、計算20.05X39+200.5X4.1+40X10.025(提示：40X10.025=2

X20X10.025=20X20.05)

8、i+M18.3X0.25+5.34-0.4-3.13X2.5

9、計算2005X0.375-0.375X1949+3.75X2.4

10、已知9.4X[O-(1.54-0.31)]=0.47,求()

11、計算2006+200.6+20.06+2.006

12、比較下面兩個乘積A、B的大小

A=9.8732X7.2345

8=9.8733X7.2344

13、計算1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.19

小數的巧算作業

(一)填空題

1、計算:2.89X6.37+3.63X2.89=

2、計算；2010X(2.3X47+2.4)+(2.4X47-2.3)=

3、計算：15.48X35-154.8X1.9+15.48X84=

4、計算：(8.4X2.5+9.7)+(1.054-1.5+8.44-0.28)=

5、計算：8X(3.1-2.85)X12.5X(1.62+2.38)=

6、計算：0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9+99999.9+999999.9=

7、計算：(4.8X7.5X8.1)+(2.4X2,5X2.7)=

8、一個小數，如果把它的小數部分擴大到4倍，就得到5.4；如

果把它的小數部分擴大到9倍，就得到8.4,那么這個小數是

9、小明在計算某數除以3.75時，把除號看成了乘號，得結果是

225o那么，這道題正確的答案應該是一

(二)解答題

10、用1、0、7、9這四個數字和小數點一共可以組成多少個小于

10但末尾不是“0”的三位小數？請把它們從小到大的順序寫下來。

11、計算(2+3.15+5.87)X(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32)

X(3.15+5.87)的值。

12、五個一位小數（十分位都不為0）,將各個小數四舍五入到個位

相加其和為98.如果將原來五個小數相加，那么其和最大是多少？最小是多

少？

五年級奧數測試卷

一、填空

1、在不大于100的自然數中，被13除后商和余數相同的數有多少個，分別是（）。

答：14的倍數都可以。有8個。0,14,28,42,56,70,84,98

2、a、b是兩個不相等的自然數，如果它們的最小公倍數是72,那么a與b的和可以

有（）種不同的值。

答：不妨設A>B

72的約數有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。共12個

72=2*2*2*3*3

當A=72時，有11種B：

當A=36時，有2種B；8、24

當A=24時，有2種B；9、18

當A=18時,有1種B；8

當A=12時，無;

當A=9時,有1種B；8

共計11+2+2+1+1=17種，所以有17種A+B的值。

這類題的解法是：

1.找出這個最小公倍數的所有因數，用這個最小公倍數與這些因數組合（除它本身外）。

2.在這些因數中找出不是倍數關系且積不小于這個最小公倍數的兩個數的所有組合，去除最

小公倍數不是72的組合。

3.把1和2找出的組數個數相加即可。

如本題的個數即為11+7=18個

3、有一個七層塔，每一層所點燈的盞數都等于上一層的2倍，一共點了381盞燈。

求頂層點了（）盞燈。

答：因為381是一個奇數，而每一層都是上一層的2倍，所以頂層一定是一個奇數，如果頂

層是1盞燈,那么1+2+4+8+16+32+64不夠,頂層是3盞的話,3+6+12+24+48+96+192=381.

4、有這樣一個百層球垛，這個球垛第一層有1個小球，第二層有3個小球，第三層有

6個小球，第四層有10個小球，第五層有15個小球，……第一百層有()個小球。

這一百層共有()個小球。

答：第一層：1;第二層：3；第三層：6；第四層：10；第五層：15

規律:第一層：1;第二層:1+2=3：第三層：1+2+3=6；第四層：1+2+3+4=10：第五層：1+2+3+4+5=15

根據等差數列公式：Sn=(al+an)Xn/2

第100層小球個數：1+2+3+.......+100=(1+100)X100/2=5050

100層共有小球個數:1+U+2共(1小球)+數+2+3+4)+……+(1+2+3+……+100)

=1X(l+l)/2+2X(2+D/2+3X(3+1)/2+.......+100X(100+1)/2

=1/2X[(1+12)+(2+2?)+(3+32)+........+(100+1002)]

=1/2X[(1+2+3+……+100)+(12+22+32+……+1002)]

=100X(100+1)X(100+2)/6=171700

證明過程：根據(n+l)3=r?+3n2+3n+l,得(n+l)3-n3=3n2+3n+l,

n3一(nT)3=3(n-l)2+3(n-l)+l

33-23=3X22+3X2+1

23-P=3Xl2+3Xl+l.

把這n個等式兩端分別相加，得：

(n+l)3-l=3(l2+22+32+....+n2)+3(l+2+3+...+n)+nX1

n3+3n2+3n+l-l-n=3(l2+22+32+....+n2)+3(1+2+3+...+n)

(n3+3n2+2n)/3=(l2+22+3:+....+n2)+(1+2+3+...+n)

所以：(I2+22+32+....+n2)+(1+2+3+...+n)=n(n+1)(n+2)/3

5、一本書的頁碼由7641個數碼組成，這本書共有()頁。

答：這本書的頁數是四位數，1?999共用2889個數碼，(7641—2889)+4=1188,因四位

數是從1000開始的,所以頁數為999+1188=2187

6、某校舉行體育達標測評，分兩試進行，初試達標人數比未達標人數的3倍多14人,

復試達標人數增加33人，正好是未達標人數的5倍，問有()人參加了達標測評。

答：設初試未達標人數為X則3x+14+33=5*(x-33)解得x=106

總人數3x+14+x=438

7、10塊的巧克力，小明每天至少吃一塊，直至吃完，問共有()種不同的吃巧

克力的方案。

答：這個問題屬于排列組合問題，用插板法，把十塊巧克力排成一排，中間有9各空當。如

果10天吃完，就用9個板插入9個空檔，即C9/9,如果9天吃完，就用8個板插入9個空

檔，即C8/9,依此類推，如果2天吃完，就用1個板插入9個空檔，即C1/9,如果1天吃完,

就用0個板插入9個空檔，即C0/9,結果為(C9/9+C8/9+C7/9...+€0/9)=2*9=512種方案。

另答：設X為幾塊巧克力，則就是2的（XT）次方。

8、小明要登上15級臺階，每步登上2級或3級臺階，共有（）種不同登法。

答：因為每次登2級或3級，所以登1級的方法數是0,登2級和3級的方法數都是1,登

4級的方法數是登1級與登2級的方法數之和，即0+1=1.依此類推，登n級的方法數是登（n-3）

級與登（n-2）級的方法數之和。所以這串數（取法數）中，從第4個數起，每個數都是它

前面第3個數與前面第2個數之和。登完15級臺階共有28種不同取法。具體表格如下：

已登級數12345678

取法數01112234

已登級數9101112131415

取法數57912162128

二、解答題：

1、某校五年級有兩個班，每班的人數都是小于50的整十數。期末數學考試兩個班的

總平均分為78分，其中一班平均82分，二班平均75分。一班和二班各有多少人？

解答：解設一班有X人，二班有Y人。

則82X+75Y=78（X+Y）,解得4X=3Y。

而每班的人數都是小于50的整十數，所以X=30,Y=400

2、數1447、1005、1231有一些共同特征,每個數都是以1開頭的四位數，且每個數中

恰好有兩個數字相同,這樣的數共有多少個？

答：①恰是數字1出現了2次。那么末3位數字1的位置有3種。剩余的兩位中9選2

的排列有9*8=72種,共2*8*3=216種;

②不是數字1出現了2次。那么再選一重復出現的數字A、一不重復出現的數字B的種類=

9*8=72,三個數A、A、B的排序種數=3[AAB>ABA>BAA],共有72*3=216種

綜上，共有216+216=432種

3、甲在南北路上，由南向北行進；己在東西路上，由西向東行進。甲出發的地點在兩

條路交叉點南1120米，乙從交叉點出發，兩人同時開始行進，4分鐘后，甲乙兩人所在的

位置與交叉點等遠（這時甲仍在交叉點南），在經過52分鐘后，兩人所在的位置又距交叉

點等遠（這時甲在交叉點北）。求甲、乙二人的速度。

解：設甲速為X,乙速為丫。則1120-4X=4Y；56X-1120=56Y

解得：X=150米/分鐘,Y=130米/分鐘

所以.甲1分鐘走150米,乙1分鐘走130米.

奧數網五年級暑期班招生測試卷

一、填空：(每小題6分，共84分)

1.333X332332333-332X333333332=。

333X332332333-332X333333332

=333X(332332332+1)-332X(333333333—1)

=333X332332332+333XI—(332X33333333—332X1)

-333X332332332+333—332X333333333+332

=333X332X1001001+333—332X333X1001001+332=665

2.小明帶20元去文具店買作業本，他買了5個小練習本和2個大練習本后，剩下的

錢若買3個小練習本還多8角，若買3個大練習本還差1元。每個大練習本元。

答：大的2.4元，小的1.8元

解：設大的x元，小的y元則有2x+8y=19.2；5x+5y=21

聯立解方程組x=2.4,y=1.8

3.甲、乙、丙三人外出參觀。午餐時，甲帶有4包點心，乙帶有3包點心，丙帶有7

元錢卻沒有買到食物，他們決定把甲、乙二人的點心平均分成三份食用，由丙把7元錢還

給甲和乙，那么甲應分得元。

答：每包7+[(4+3)+3]=3元；甲分3X4-7=5元；乙分3義3-7=2元。

4.3042乘以一個自然數A,乘積是一個整數的平方，那么A最小是()。

答：A=2了因為3024=132x32x2所以3024只須乘以2就可變成78的平方。

練習：3465乘以一個自然數a,乘積是一個整數的平方，那么a最小是多少

答：346b=32x5x7xl1,所以如果3465a是平方數，則a最小是5*7*11=385

4.6枚壹分硬幣疊在一起與5枚貳;分硬幣一樣高，4枚壹分硬幣與3枚伍分硬幣一樣

高。如果用壹分、貳分、伍分硬幣疊成一個圓柱體，并且三個圓柱體一樣高，共用了155

枚硬幣，這些硬幣的幣值為一元。

答：解：設壹分硬幣X枚。155=X+(5X/6)+(3X/4)解得X=60所以貳分硬幣有

60*(5/6)=50枚伍分硬幣有60*(3/4)=45枚60+2*50+45*5=385(分)=3.85(元)

另答：解，設每個一分高為A、二分的高B、為五分的為C。得6A=5B4A=3C則連接兩

式,很12A=10B=9C,三堆硬幣一樣高的話,個數比為12:10:9,所以(12+10+9)N=155,N=5.

所以一分的有6()個，二分的有50個，五分的有45個，得，錢數=60*1+50*2+45*3=385分

=3.85元。

5.如圖，一個長方形由4個小長方形A、B、C、D組成，其中A、B、C面積分別為,----「一

16、12、24,D的面積是(32)。AB

答：有規律，交叉相乘，AXC=BXD,所以16X24=12X(),()里填32.Dc

6.某人在公共汽車上發現一個小偷向反方向步行，10秒鐘后他下去追小偷，如其速

度比小偷快一倍，比汽車慢4/5,則追上小偷要一秒。

答：s是距離，小偷速度二x米/秒，人速度=2x米/秒；車速度=10x米/秒

人在車上和小偷反向走，他下車時與小偷相距10*(x+10x)=1在x米

他追小偷，速度差是x,所用時間=U0x/x=110秒。

7.在1,2,3,…，1999,2000,2001,2002這2002個數中，至多能選出____個數,

使得所選出的數中，任意3個數的和都是3的倍數。

解：在2002個數字中，可分為3種類型：a、被3整數；b、被3除余1；c、被3除余

2：很顯然，任意3個a、任意3個b或者任意3個c類的數字之和都可以被3整除

題目轉換為求2002個數字中，a、b、c三類數字是哪種類型最多。由于2002被3除余1,

所以是b類最多，個數二2001/3+1=668；最多能選出668個這樣的數字(選出的數字是

1,4,7,10,13,...,1999,2002)

8.六位同學數學考試平均成績是92.5分，他們的成績是互不相同的整數，最高分99

分，最低分76分，那么，按分數從高到低的順序，第三位同學至少得______分。

答：6人總分92.5X6=555分，讓頭兩人和76分者分數盡量高，這三人就是99分，98

分，76分，555減(99+98+76)=282分，282分平分為3份，一份282除以3=94,三人分

數不同，第五名最多93分，因此第三名最少95分。

算式：92.5X6=555(分)；555-(99+98+76)=282(分)；282+3=94(分)；

94-1=93(分)；282-94-93=95(分)

另答：設第3名得x分，第2名至多的98分，第4名至多得xT分，第5名至多得x-2分，

76i(x2)?(xl)ixi98i99O92.5*6=555,

3x2285,即x295.所以第三名至少得95分.

9.一個自然數被7,8,9除的余數分別為1,2,3,并且三個商數的和是570,這個

自然數是—o

答：設這個數是X,則有①X+設A...1===>X=7A-1；

②X+8=B...2===>X=8B+2③X+9=C...3===>X=9C+3

A7A+l=8B+2=9C+3；A+B+C=570；A=(8B+1)/7；C=(8B-1)/9

AA+B+C-B+(8B+1)/7+(8B-1)/9-570解得B-188,AX-8X188+2=1506

另答：設三個商數為x、y、z,則7x+l=8y+2=9z+30所以x=(8y+l)/7,z=(8y-l)/9

所以((8y+l)/7)+((8y-l)/9)+y=570；化簡求出y=188；則x=215,z=167

這個自然數為188*8+2=1506

另答：”被7.8.9除,除得的余數分別為1.2.3,”也就是都差6,就是說這個數傷后

就能整除7,8,9。所以這個數可以寫成504k-6(504是7,8,9的最小公倍數，k是大于

0的自然數)，這個數除以7,8,9的商分別是72k-L63k-1,561。他們的和191k-3=

570,所以k=3,那么這個數是504*3-6=1506。

另答：7-1=6；8-2=6；9-3=6；「7,8,9J=504；504-6=498；498+504+504=1506

練習：一具自然數被3、4、5除，余數分別是2、3、4,并且三個商數的和是138,這個自

然數是多少？

答：把這個自然數加1,得到a,那么a被3、4、5除,余數是0,且三個商數的和是138+3=141；

三個商數的和是141,即a/3+a/4+a/5=141,解得a=180；所以這個數是180-1=179。

10.如右圖，M,N分別是ABCD兩邊上的中點，△DMN的面積是9平方厘米，那么

ABCD的面積是。A_____M

N

DC

答：把平行四邊形平均分成8份，則ADMA的面積占2份，ADNC占2份，△BMN占1份，

剩下的里面的占3份，因此9+3=3(平方厘米)，3X8=24平方厘米。

11.有一群小孩，他們中任意5個孩子的年齡之和比50少，所有孩子的年齡之和是202o

這群孩子至少有人。

解：1、每個孩子歲數越大則總人數最少

2、任意5個之和小于5(),說明頂多有4人年齡為1()歲

3、總和202-4*10:162歲

4、余下的162歲中每個人都小于10歲，最大為9歲時總人數最少，整好162能被9整除，

162/9=18

5、所以至少有18+4=22人

12.某同學把他喜愛的書按次序編號為1、2、3、…，所有編號之和是100的倍數且小

于1000,則他編號的最大數是o

答：如果是所有編號之和是100的倍數且小于1000那設編號為n,編號和

1+2+3+4+....+n=n*(n+l)/2;要和為100的倍數,則n*(n+l)/200要為整數,而且通過和小

于1000這個條件,n*(n+l)/2<1000,可以求出n<44;;;根據n*(n+1)/200可以被整

除,n*(n+l)應含有2*2*2*5*5,n和n+1不可能同時被5整除、所以n或者n+1必定有一個是

5*5即25的倍數，而n<44:所以~得n=24,n+1=25;所以最大編號為24.

另答:求和公式二(苜項+末項)*項數另即(1+24)*24/2=300,

小于1000的100的倍數有9個，又因為末項二項數首項=1

所以末項的個位數必須是4.5.6這樣所得到的積才有可能被100整除

另答:l+2+....+n=n*(n+D/2=k*100因為k取9,8,7,6,5,4無解；而k=3,n=24

13.某校2001年的學生人數是一個完全平方數,2002年的學生人數比上一年多101人,

這個數字也是一個完全平方數。該校2002年的學生人數是。

解：某校2001年的學生人數是個完全平方數，設為2002年的學生人數設為b?

r.b2=a2+101即b2-a2=101即(b+a)(b-a)=101=1X101

A(a+b=101且b-a=l解得a=50,b=51所以b2=512=2601

該校2002年的學生人數是260lo

二、解答題(寫清解答過程，每題8分，共16分)

1.學校舉行計算機漢字輸入技能競賽，原計劃評選出一等獎15人，二等獎20人。

現將一等獎中的后5人調整為二等獎，這樣一等獎獲得者的平均速度每分鐘提高了8個字,

二等獎獲得者的平均速度每分鐘提高了6個字。問：原來一等獎的平均速度比原來二等獎

的平均速度每分鐘多多少個字？

答：設一等獎原來每人打X個字，二等獎原來每人打Y個字，那么根據題意

X*15+Y*20=(X+8)*10+(Y+6)*25

括號展開，左右移項得5*X-5*Y=230解得X-Y=46

所以答案是46個。

2.甲、乙二人從相足60千米的兩地同時相向而行，6時后相遇。如果二人的速度各

增加1千米/時，那么相遇地點距前一次相遇地點1千米。問：甲、乙二人的速度各是多少？

本題考點：簡單的行程問題.

分析：甲、乙二人從相距60千米的兩地同時相向而行，6時后相遇，那么兩人的速度和為:

60彳6二10（千米），速度各增加1千米后的速度和為10+2=12（千米），則增速后相遇的時間

為：60+12=5（小時）.由比可設甲速度為每小時x千米,那么增速前相遇地距甲為6x千米,

增速后相遇地距甲是5G+1）千米，據題可行方程：6x-5（x+1）=1.（因為本題沒有說明

誰的速度快，同理也可設乙的速度為x）.

解答：解：甲、乙增速后相遇時間為：604-（60+6+2）=604-12=5（小時）；

設甲速度為每小時x千米，據題得：6x-5（x+1）=1即x-5=l解得x=6；

則乙的速度為:604-6-6=4（千米）；

（因為木題沒有說明誰的速度快，同理也可設乙的速度為x,則乙的速度為6千米，甲的速

度為4千米），故答案為：6千米、4千米，或4千米、6千米.

點評：本題關健是通過所給條件找出等量關系列方程解決比較簡單.

另答：速度和：60/6=10；60/12=5小時

6：4=36：24且7：5=35：25；或4：6=24：36且5：7=25：35；

所以V甲=6千米/小時或4千米/小時

五年級奧數小數的速算與巧算

例1計算

8.376+0.8+1.257.68：2.5：0.4

例2計算

(4.8X7.5X8.1)4-(2.4X2.5X2.7)1.14-(1.14-1.2)+(1.24-1.3)

-T-(1.3^-1.4)

例3計算：0.3+0.7+1.1+-+9.90.2+0.4+0.6+0.8+???+8.8

(1)計算：0.1+0.2+0.3+…+7.7+7.8(2)計算：200-0.3-0.6-

0.9一…一5.1—5.4

例4計算4.25-1.64+8.75-9.360.9+9.9+99.9+999.9

例5計算

11.8X43-860X0.0914X11.2-0.06