4.1認識三角形

第4章

三角形第1課時北師大版（2024）

七年級

下冊學習目標1.了解三角形及相關概念，能正確識別和表示三角形;2.會按角的大小對三角形進行分類;3.掌握三角形的內角和等于180°，并會據此解決簡單的問題.（重點、難點）新課導入

三角形是生活中常見的基本幾何圖形，它常常出現在建筑物上或一些物體的結構框架中。留心觀察你所看到的各種事物，你發現各式各樣的三角形了嗎?

本章將進一步研究三角形的性質及三角形的全等關系。你將感受研究圖形性質的基本方法，在一個個結論的獲得過程中，慢慢體會如何有邏輯地說明它們的正確性;在用尺規作圖的過程中，感受如何通過對圖形的直觀分析作出想要的圖形。這些學習過程會幫助你積累更多研究圖形的經驗，發展幾何直觀和推理能力等。新課導入問題：觀察下列圖片，你能從中找出三角形嗎？生活中隨處可見三角形的身影.觀察下圖，回答下列問題：（1）你能從圖中找出幾個不同的三角形嗎？（2）這些三角形有什么共同的特點？新課講授

探究一：三角形及其有關概念ABCDEFG新課講授知識歸納三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.三角形的表示:

三角形可以用符號“△”表示，頂點是A，B，C的三角形，記作△ABC，讀作“三角形ABC”.除此△ABC還可記作△BCA,△CAB,△ACB等.ABC新課講授邊：△ABC的三邊BC，AC，AB，有時也用a，b，c來表示.如圖，頂點A所對的邊BC用a表示，

頂點B所對的邊AC用b表示，

頂點C所對的邊AB用c表示.三角形的構成要素：CAB內角:∠A,∠B,∠C是相鄰兩邊組成的角,叫做三角形的內角,簡稱三角形的角.頂點：如圖，點A，B，C是三角形的頂點；cba三角形有三條邊，三個內角和三個頂點.知識歸納新課講授1.如圖所示.(1)以D為頂點的三角形有

個,它們分別是

.

(2)∠C是△ABC中

邊的對角，又分別是△DFC，△DEC中

,

邊的對角.

(3)在△DEC中,∠E的對邊是

,在△EGB中,∠E的對邊是

,在△EDF中,∠E的對邊是

.

(4)DF是△

和△

的公共邊.

4△ADG,△DEF,△DFC,△CDEABDFDEDCGBDFDEFDFC

將一個三角形的三個角撕下來，拼在一起，可以發現三角形的三個內角有什么關系？觀察·交流新課講授

探究二：三角形的內角和

三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角，即三角形三個內角的和是180°.觀測的結果不一定可靠，還需要通過數學知識來說明.從上面的操作過程，你能發現證明的思路嗎？新課講授小明只撕下三角形的一個角，也得到了上面的結論，他的做法如下.①②(1)如圖①所示，剪一張三角形紙片，它的三個內角分別為∠1，∠2和∠3.利用圖②，小明說明了三角形三個內角的和為180°.你知道他是如何說明的嗎?說說你的想法，并與同伴進行交流。(2)將∠1撕下，按如圖②所示進行擺放，其中∠1的頂點與∠2的頂點重合，它的一條邊與∠2的一條邊重合.利用“兩直線平行，同旁內角互補”即可證明.還有其他的方法嗎？新課講授求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證明：延長BC到D，過點C作CE∥BA，12DECBA證明：三角形三個內角的和等于180°.∴∠A=∠1(兩直線平行，內錯角相等).∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.借助平行線的“移角”的功能,將三個角轉化成一個平角.新課講授知識歸納三角形的內角和:符號表述：在△ABC中，∠A，∠B

，∠C為△ABC的三個內角，則∠A+∠B+∠C=180°.ABC三角形三個內角的和等于180°.新課講授2.在△ABC中，已知∠A=40°，∠B=∠C，求∠B，∠C的度數.解:設∠B=∠C=x°.因為∠A+∠B+∠C=180°,所以40°+x°+x°=180°,解得x=70,所以∠B=∠C=70°.新課講授知識歸納求三角形內角度數的方法:(1)若已知兩個內角的度數,求第三個內角的度數,則直接利用三角形內角和定理求解;(2)若已知一個內角的度數及另兩個內角之間的等量關系；或不知道任何角度，只知道三個內角之間的關系，一般根據“三角形內角和為180°”這個隱含的等量關系列方程求解.新課講授

探究三：三角形按角分類

小明、小穎露出的角分別是直角和鈍角，由于“三角形內角和是180°”，可以得到兩人拿的三角形中，其余兩個內角都是銳角.（1）下圖中小明所拿三角形被遮住的兩個內角是什么角？小穎的呢？試著說明理由.思考·交流（2）下圖中小亮所拿三角形被遮住的兩個內角可能是什么角？將所得結果與（1）的結果進行比較，并與同伴進行交流.新課講授

露出的角是銳角，其余兩個角的情況有三種情況：①兩個銳角；②一個直角一個銳角；③一個鈍角一個銳角.新課講授知識歸納三角形按角分類：我們可以按三角形內角的大小把三角形分為三類：銳角三角形三個內角都是銳角直角三角形有一個內角是直角鈍角三角形有一個內角是鈍角新課講授解:③⑤是銳角三角形，①④⑥是直角三角形，②⑦是鈍角三角形.3.觀察圖中的三角形，其中哪些是銳角三角形，哪些是直角三角形，哪些是鈍角三角形？新課講授ABC

通常，我們用符號

“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC

”

.

如圖，直角所對的邊稱為直角三角形的斜邊，夾直角的兩條邊稱為直角三角形的直角邊．斜邊直角邊直角邊知識歸納直角三角形的表示與構成：新課講授直角三角形的兩個銳角互余.ABC幾何語言表示：在Rt△ABC中，若∠ABC=90°則∠A＋∠C=90°根據“三角形的內角和為180°”易得:直角三角形的兩個銳角之間有什么關系呢？嘗試·思考新課講授4.在下面的空白處,分別填入“銳角”，“鈍角”或“直角”：（1）如果三角形的三個內角都相等，那么這個三角形是

三角形；（2）如果三角形的一個內角等于另外兩個內角之和，那么這個三角形是

三角形；（3）如果三角形的兩個內角都小于40°，那么這個三角形是

三角形.

鈍角銳角直角新課講授

根據三角形的內角大小判斷三角形的形狀時,要先求出各角的大小，然后看三個角中最大的角是什么角.

若最大的角為鈍角,則三角形為鈍角三角形;

若最大的角是直角,則三角形為直角三角形;

若最大的角為銳角,則三角形為銳角三角形.知識歸納三角形形狀的判斷：典例分析例1：如圖，CE⊥AF，垂足為E，CE與BF相交于點D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度數．解：∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°（垂直的定義），∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.

∴∠BDC＝∠EDF＝50°（對頂角相等）在△BDC中，∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∴∠DBC＝180°-（∠C+∠BDC）

=180°-（30°+50°）

=100°.典例分析例2：在△ABC中，∠B比∠A大36°，∠C比∠A小36°，求△ABC的各內角的度數，并判斷△ABC的形狀.解:設∠A=x°,則∠B=x°+36°,∠C=x°-36°.根據題意,得x+x+36+x-36=180,解得x=60.所以x°+36°=96°,x°-36°=24°.所以∠A=60°,∠B=96°,∠C=24°.所以△ABC是鈍角三角形.學以致用3.如圖所示，在△ABC中，點D在AB上,點E在AC上，DE∥BC.若∠A=62°，∠AED=54°，則∠B的大小為(

)A.54° B.62° C.64° D.74°1.圖中共有

個三角形(

)

A.1 B.2C.3 D.4C2.如果直角三角形的一個銳角是另一個銳角的4倍,那么這個銳角的度數是(

)A.18° B.36° C.54° D.72°DC學以致用5.一副三角尺按如圖所示的方式擺放(直角頂點C重合),邊AB與CE交于點F,DE∥CB,則∠BFC等于(

)A.105° B.100° C.75° D.60°4.如圖所示，在△ABC中，∠ACB=70°，∠1=∠2，則∠BPC的度數為(

)A.70° B.108° C.110° D.125°CA學以致用9.如圖所示，已知∠AON=40°，P是射線ON上一動點，當△AOP為直角三角形時，∠A的度數為

.

8.如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D,若∠ABC=25°，則∠ACD=

°.

6.一個三角形中最多有

個內角是鈍角,最多有

個內角是銳角.

7.如果一個三角形的三個內角的度數之比為1∶2∶3,那么這個三角形中最大的一個內角等于

度.

13902550°或90°學以致用10.如圖所示,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B.(1)試說明:CD⊥AB；(2)如果∠A=28°,求∠B和∠BCD的度數.解:(1)因為∠ACB=90°,所以∠1+∠BCD=90°.又因為∠1=∠B,所以∠B+∠BCD=90°,所以∠BDC=90°,所以CD⊥AB.(2)因為∠A=28°,∠ACB=90°,所以∠B=90°-28°=62°.因為∠BCD+∠B=90°,所以∠BCD=90°-∠B=28°.學以致用

課堂小結認識三角形1三角形的內角和三角