平行線及三角形

一、單選題

1．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，AB∥CD，點E在線段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，則∠

D的度數為（）

A．85°B．75°C．65°D．30°

2．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，AB//CD,ACE為等邊三角形，DCE40，則EAB等于（）

A．40B．30C．20D．15

3．（2021·全國·九年級競賽）將長為15cm的木棒截成長度為整數的三段，使它們構成一個三角形的三邊，

則不同的截法有（）

A．5種B．6種C．7種D．8種

4．（2017秋·浙江杭州·八年級競賽）下列圖形中，正確畫出AC邊上的高的是（）

A．B．

C．D．

5．（2017秋·浙江杭州·八年級競賽）如圖，P為ABC邊BC上的一點，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠

APC=60°，那么∠ACB的度數是（）△

A．45°B．75°C．90°D．60°

6．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，直角△ACB中，ACB90，AC4，BC3，

AB5，點P是線段AB上一動點（可與點A、點B重合），連接CP，則線段CP長度的取值范圍是（）

A．3CP4B．3CP4C．2.4CP4D．2.4CP4

7．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別交直線AB，

CD于點E，F，EM平分∠AEF交CD于點M．G是射線MD上一動點（不與點M，F重合）．EH平分∠

FEG交CD于點H，設∠MEH=α，∠EGF=β．現有下列四個式子：①2α=β，②2α-β=180°，③α-β=30°，④

2α+β=180，在這四個式子中，正確的是（）

A．①②B．①④C．①③④D．②③④

8．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，在ABC中，∠A=70°，∠C=30°，BD平分∠ABC交AC于點D，

DE∥AB，交BC于點E，則∠BDE的度數是（△）

A．30°B．40°C．50°D．60°

二、填空題

9．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，ABC沿EF折疊使點A落在點A處，BP、

CP分別是ABD、ACD平分線，若P30，AEB20，則AFC_____．

10．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）在ABC中，ABC，ACB的平分線交于點O，

ACB的外角平分線所在直線與ABC的平分線相交于點D，與ABC的外角平分線相交于點E，則下

列結論一定正確的是_____．（填寫所有正確結論的序號）

11

①BOC90A；②DA；③EA；④EDCF90ABD．

22

11．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，把兩塊大小相同的含45°的三角板ACF和

三角板CFB如圖所示擺放，點D在邊AC上，點E在邊BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，則∠DEC

的度數為_______．

12．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）過等腰三角形頂角頂點的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個三角

形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數為____．

13．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，ABC中，ABAC2,P是BC上任意一點，PEAB于點

E,PFAC于點F，若S△ABC1，則PEPF________．

14．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖．在Rt△ABC中，C90，AFEF．若CFE72，則

B______．

15．（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，在ABC中，ABAC，B70，以點C為圓心，CA長為

半徑作弧，交直線BC于點P，連結AP，則BAP的度數是_______．

16．（2022春·湖南長沙·八年級校聯考競賽）如圖，已知在ABC，ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，

AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE△．以下四△個結論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠

ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中結論正確的是___________（填序號）

17．（2018春·四川自貢·八年級競賽）如上圖，已知ADAE,BECD,12110,BAC80,則CAE

的度數是________.

18．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖，AB∥CD，BF，DF分別平分ABE和CDE，

BF∥DE，F與ABE互補，則F的度數為______．

三、解答題

19．（2018春·四川自貢·八年級競賽）如圖，在ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊且

BE＝CF，AD+EC＝AB．△

（1）求證：DEF是等腰三角形；

（2）當∠A＝△40°時，求∠DEF的度數．

20．（2017·全國·八年級競賽）如圖，ABC中，D為BC的中點，DE平分ADB，DF平分ADC，BEDE，

CFDF，P為AD與EF的交點，證明：EF2PD．

21．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖1，AB∥CD，點E，F分別在直線CD，AB

上，BEC2BEF，過點A作AGBE的延長線交于點G，交CD于點N，AK平分BAG，交EF于

點H，交BE于點M．

(1)直接寫出AHE，FAH，KEH之間的關系：．

1

(2)若BEFBAK，求AHE．

2

(3)如圖2，在（2）的條件下，將KHE繞著點E以每秒5°的速度逆時針旋轉，旋轉時間為t，當KE邊與射

線ED重合時停止，則在旋轉過程中，當KHE的其中一邊與ENG的某一邊平行時，直接寫出此時t的值．

22．（2022秋·四川綿陽·八年級東辰國際學校校考競賽）如圖1，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，AC．

(1)猜想AB與CD之間的位置關系，并說明理由；

(2)如圖2，延長DE至F，連接BE，若13，AEF22，AED2C140，求∠C的度數．

參考答案：

1．B

【分析】根據AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性質，即可求解．

【詳解】解：∵AB∥CD，

∴∠C＝∠ABC＝30°，

又∵CD＝CE，

∴∠D＝∠CED，

∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，

∴∠D＝75°．

故選：B

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握等腰三角形中，等邊對等角是解題

的關鍵．

2．C

【分析】先根據等邊三角形的性質可得ECAEAC60，再根據平行線的性質可得

DCABAC180，然后根據角的和差即可得．

【詳解】解：QVACE為等邊三角形，

ECAEAC60，

QAB//CD，

DCABAC180，

DCEECAEACEAB180，

QDDCE=40°，

406060EAB180，

解得EAB20，

故選：C．

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、平行線的性質等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質是解題關鍵．

3．C

【詳解】試題分析：已知三角形的周長，分別假設三角形的最長邊，從而利用三角形三邊關系進行驗證即

可求得不同的截法．

解：∵長棒的長度為15cm，即三角形的周長為15cm

∴①當三角形的最長邊為7時，有4種截法，分別是：7，7，1；7，6，2；7，5，3；7，4，4；

②當三角形的最長邊為6時，有2種截法，分別是：6，6，3；6，5，4；

③當三角形的最長邊為5時，有1種截法，是：5，5，5；

④當三角形的最長邊為4時，有1種截法，是4，3，8，因為4+3＜8，所以此截法不可行；

∴不同的截法有：4+2+1=7種．

故選C．

考點：三角形三邊關系．

4．D

【分析】根據高的定義即可求解．

【詳解】解：根據銳角三角形和鈍角三角形的高線的畫法，可得D選項中，BE是ABC中AC邊長的高，

故選：D．△

【點晴】此題主要考查高的作法，解題的關鍵是熟知高的定義．

5．B

【詳解】試題解析：過C作AP的垂線CD，垂足為點D．連接BD；

∵△PCD中，∠APC=60°，

∴∠DCP=30°，PC=2PD，

∵PC=2PB，

∴BP=PD，

∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，

∵∠ABP=45°，

∴∠ABD=15°，

∵∠BAP=∠APC-∠ABC=60°-45°=15°，

∴∠ABD=∠BAD=15°，

∴BD=AD，

∵∠DBP=45°-15°=30°，∠DCP=30°，

∴BD=DC，

∴△BDC是等腰三角形，

∵BD=AD，

∴AD=DC，

∵∠CDA=90°，

∴∠ACD=45°，

∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，

故選B.

6．D

【分析】根據垂線段最短，找到點P的位置，利用面積法求出CP取值，再比較點P與點A重合，與點B

重合時的情況，得到CP最大值，即可得解．

【詳解】解：當點CPAB時，CP最短，

ACBC34

此時，CP2.4，

AB5

當點P與點A重合時，CPAC4，當點P與點B重合時，CPCB3，

∴CP最大值為4，

∴CP的取值范圍是2.4CP4，

故選D．

【點睛】本題考查了垂線段最短，面積法，解題的關鍵是找到取最值的情況．

7．B

【分析】分兩種情況討論，即當G在F左側時，當G在F的右側時，根據平行線的性質和角平分線的定義

分別求出2α=β或2α+β=180°，則可作出判斷.

【詳解】解：如圖，當G在F左側時，

11

∵∠MEH=∠MEF-∠HEF=∠AEF-∠GEF=α，

22

∠EGF=∠GEB=∠AEG=∠AEF-∠GEF=β，

∴2α=β，故①正確；

如圖，當G在F的右側時，

11

∵∠MEH=∠MEF+∠HEF=∠AEF+∠GEF=α，

22

∠EGF=∠GEB=180°-∠AEG=180°-∠AEF-∠GEF=β，

11

∴2α+β=2(∠AEF+∠GEF)+180°-∠AEF-∠GEF=180°，故④正確；

22

綜上所述，正確的是①④；

故選：B.

【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解題的關鍵是掌握平行線的性質．

8．B

【分析】由三角形的內角和可求∠ABC，根據角平分線可以求得∠ABD，由DE//AB，可得∠BDE=∠ABD即

可．

【詳解】解：∵∠A+∠C=100°

∴∠ABC=80°，

∵BD平分∠BAC，

∴∠ABD=40°，

∵DE∥AB，

∴∠BDE=∠ABD=40°，

故答案為B．

【點睛】本題考查三角形的內角和定理、角平分線的意義、平行線的性質，靈活應用所學知識是解答本題

的關鍵．

9．140

【分析】欲求AFC，因為AFCA1AAAEB，所以僅需求A．根據三角形外角的性質，

得AABDACB．因為BP、CP分別是ABD、ACD平分線，所以

A2PBD2PCB2(PBDPCB)2P60，進而可求出AFC．

【詳解】解：如圖，

BP、CP分別是ABD、ACD平分線，

11

PBDABD，BCPBCA．

22

又PBDPPCB，

111

PPBDPCBABDBCA(ABDACB)，

222

又ABDAACB，

ABDACBA，

1

PA，

2

A2P23060，

由題意得：AA60，

1AAEB602080，

AFCA16080140，

故答案為：140．

【點睛】本題主要考查三角形外角的性質以及角平分線的定義，熟練掌握三角形外角的性質以及角平分線

的定義是解決本題的關鍵．

10．①②④

1

【分析】由角平分線的定義可得OBCOCB(ABCACB)，再由三角形的內角和定理可求解

2

11

BOC90A，即可判定①；由角平分線的定義可得DCFACF，結合三角形外角的性質可判

22

定②；由三角形外角的性質可得MBCBCN180A，再利用角平分線的定義及三角形的內角和定理可

判定③；利用三角形外角的性質可得EDCF90DBC，結合ABDDBC可判定④．

【詳解】解：ABC，ACB的平分線交于點O，

11

ABDOBCABC，OCBACOACB，

22

1

OBCOCB(ABCACB)，

2

AABCACB180，

ABCACB180A，

BOCOBCOCB180，

11

BOC180(OBCOCB)180(180A)90A，故①正確，

22

CD平分ACF，

1

DCFACF，

2

ACFABCA，DCFOBCD，

1

DA，故②正確；

2

MBCAACB，BCNAABC，ACBAABC180，

MBCBCNAACBAABC180A，

BE平分MBC，CE平分BCN，

MBC2EBC，BCN2BCE，

1

EBCBCE90A，

2

EEBCBCE180，

11

E180(EBCBCE)180(90A)90A，故③錯誤；

22

DCFDBCD，

11

EDCF90ADBCA90DBC，

22

ABDDBC，

EDCF90ABD．故④正確，

綜上正確的有：①②④，

故答案為：①②④．

【點睛】本題主要考查三角形的內角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質，熟練掌握角平分線的

定義和三角形的外角性質，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．

11．64

【分析】作FH垂直于FE，交AC于點H，可證得△FAH△FCE(ASA)，由對應邊、對應角相等可得出

△HDF△EDF(SAS)，進而可求出DEF58，則DECCEFDEF64．

【詳解】作FH垂直于FE，交AC于點H，

∵AFCEFH90

又∵AFCAFHCFH，HFECFECFH

∴AFHCFE13

∵AFCE45，FA=CF

∴△FAH△FCE(ASA)

∴FH=FE

∵DFEDFCEFC321345

∵DFHHFEDFE904545

∴DFEDFH

又∵DF=DF

∴△HDF△EDF(SAS)

∴DHFDEF

∵DHFAHFA451358

∴DEF58

∵CFECEFFCE180

∴CEF180CFEFCE1801345122

∴DECCEFDEF1225864

故答案為：64．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定及其性質，作輔助線HF垂直于FE是解題的關

鍵．

12．45°或36°

【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出答案．

【詳解】解：①如圖1，

當過頂角的頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，

設∠A=x°，

則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，

∴∠BCD=∠B=x°，

∵∠A+∠ACB+∠B=180°，

∴x+x+x+x=180，

解得x=45，

∴原等腰三角形的底角是45°；

②如圖2，

ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，

△∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，

∵∠CDA=2∠B，

∴∠CAB=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴原等腰三角形的底角為36°；

故答案為45°或36°

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質及其判定．作此題的時候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根

據等腰三角形的性質、三角形的內角和定理及其推論找到角之間的關系，列方程求解．

13．1

【分析】將ABC的面積拆成兩個三角形面積之和，即可間接求出PEPF的值．

【詳解】解：連接AP，如下圖：

PEAB于點E,PFAC于點F，

SABCSAPCSAPB1

11

SSACPFABPE

APCAPB22

ABAC2，

SAPCSAPBPFPE1，

PEPF1，

故答案是：1．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，利用面積法解決兩邊之和問題，解題的關鍵是：將ABC的面積拆

成兩個三角形面積之和來解答．

14．54°

【分析】首先根據等腰三角形的性質得出∠A=∠AEF，再根據三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，

求出∠A的度數，最后根據三角形的內角和定理求出∠B的度數即可．

【詳解】∵AF=EF，

∴∠A=∠AEF，

∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，

∴∠A=36°，

∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．

故答案為：54°．

【點睛】本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質，掌握相關定理和性質是解題的關鍵．

15．15或75

【分析】分①點P在BC的延長線上，②點P在CB的延長線上兩種情況，再利用等腰三角形的性質即可得

出答案．

【詳解】解：①當點P在BC的延長線上時，如圖

∵ABAC，B70，

∴BACB70

∴CAB40

∵以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線BC于點P，

∴AC=PC

∴PCAP

∵ACBBCAP70

∴PCAP35

∴BAPBACCAP403575

②當點P在CB的延長線上時，如圖

由①得C70，CAB40

∵AC=PC

∴PCAP=55

∴BAPCAP-BAC55-4015

故答案為：15或75

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，分類討論不重不漏是解題的關鍵．

16．①②③

【分析】根據全等、等腰三角形以及三角形邊的性質即可得出答案.

【詳解】∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE

又∠BAD=∠BAC+∠CAD

∠CAE=∠EAD+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

∴△BAD≌△CAE(SAS)

∴BD=CE，故選項①正確；

∴∠BDA=∠CEA=45°

又∠ADE=45°

∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°

∴BD⊥CE，故選項②正確；

∵△BAD≌△CAE

∴∠ACE=∠ABD

又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故選項③正確；

在BAE中

AB△+AE>BE

又AB=AC，AE=AD

∴AC+AD>BE，故選項④錯誤；

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查的是等腰三角形，難度適中，需要熟練掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性質.

17．20°/20度

【分析】先證明ABD≌△ACE，再利用三角形內角和定理求解即可．

【詳解】解：∵B△E=CD，

∴BD=CE．

在ABD和ACE中，

△BDCE△

∵12，

ADAE

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B=∠C．

∵∠BAC=80°，

∴∠C=（180°﹣80°）÷2=50°，

∴∠CAE=180°﹣110°﹣50°=20°．

故答案為20°．

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，三角形內角和定理，掌握SAS證明三角形全等是關鍵．

18．36/36度

【分析】延長FB交CD于G,然后運用平行的性質和角平分線的定義，進行解答即可.

【詳解】解：如圖延長FB交CD于G

∵BF∥ED

∴∠F=∠EDF

又∵DF平分∠CDE，

∴∠CDE=2∠F，

∵BF∥ED

∴∠CGF=∠EDF=2∠F，

∵AB∥CD

∴∠ABF=∠CGF=2∠F，

∵BF平分∠ABE

∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，

又∵∠F與∠ABE互補

∴∠F+∠ABE=180°即5∠F=180°，

解得∠F=36°

故答案為36°.

【點睛】本題考查了平行的性質和角平分線的定義，做出輔助線是解答本題的關鍵.

19．（1）見解析；（2）∠DEF＝70°．

【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根據SAS推出BED≌△CFE，根據全等三角形的性質得出DE=EF

即可；（2）根據三角形內角和定理求出∠B=∠C=70°，根據△全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，

即可得出答案；

【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，

∴BD＝EC，

BECF

在DBE和ECF中，BC，

BDEC

△△

∴△DBE≌△ECF（SAS）

∴DE＝EF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵∠A＝40°，

1

∴∠B＝∠C＝(18040)＝70°，

2

∴∠BDE+∠DEB＝110°，

又∵△DBE≌△ECF，

∴∠BDE＝∠FEC，

∴∠FEC+∠DEB＝110°，

∴∠DEF＝70°．

【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，三角形內角和定理的應用，能靈活運

用性質進行推理是解此題的關鍵．

20．見解析

【分析】想辦法證明四邊形DEFC是平行四邊形，再證明PDPEPF即可解決問題．

【詳解】證明：DE平分ADB，DF平分ADC，

111

EDFPDEPDFADBADCADBADC90，

222

BEDE，DFCF，

BEDDFC90，

BDECDF90，CDFDCF90，

BDEDCF，

DE//CF，

D是BC中點，

BDDC，

BDE≌DCF，

DECF，

四邊形DEFC是平行四邊形，

EF//BC，

FEDBDEEDP，

PEPD，同法可證：PFPD，

EF2PD．

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，

屬于中考常考題型．

21．(1)AHEFAHKEH

(2)75

(3)6,12,21,24,30

【分析】（1）根據平行線的性質和三角形的外角性質可得答案；

1

（2）根據BEFBAK，分別表示出BAK、BEC、BAK、KAG、AME和AHE，再由AGBE，

2

可得BEF的度數；

（3）結合（2），分以下幾種情況求解：①當KHNG時，延長KE交GN邊于P，②當KHEG時，③當

KHEN時，即EK與EG在同一直線上時，④當KENG時，⑤當HENG時．

【詳解】（1）ABCD，

KEHAFH，

AHE是△AHF的外角，

AHEAFHFAH，

AHEFAHKEH，

故答案為：AHEFAHKEH；

（2）ABCD，

BAKMKE,ABEBEC，

1

BEFBAK，

2

BAK2BEF，

BEC2BEF，

BAKB