專題09含絕對值符號的一次方程

閱讀與思考

絕對值符號中含有未知數的一次方程叫含絕對值符號的一次方程，簡稱絕對值方程．解這類方程的

基本思路是：脫去絕對值符號，將原方程轉化為一元一次方程求解，其基本類型與解法是：

1．形如|axb|c(c0)的最簡絕對值方程

這類絕對值方程可轉化為兩個普通一元一次方程：axbc或axbc．

2．含多重或多個絕對值符號的復雜絕對值方程

這類絕對值方程可通過分類討論轉化為最簡絕對值方程求解．

解絕對值方程時，常常要用到絕對值的幾何意義、去絕對值符號法則、常用的絕對值基本性質等與

絕對值相關的知識、技能與方法．

例題與求解

【例1】方程|x5|2x5的解是__________．

（四川省競賽試題）

解題思路：設法脫去絕對值符號，將原方程轉化為一般的一無一次方程求解．

【例2】方程|x1||x3|4的整數解有（）．

A．2個B．3個C．5個D．無窮多個

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：借助數軸，從絕對值的幾何意義入手能獲得簡解．

【例3】已知：有理數x、y、z滿足xy0，yz0．并且|x|3，|y|2，|z1|2．求xyz

的值．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

解題思路：本題關鍵在于確定x、y、z的符號．三者的符號有聯系，可圍繞其中一個數分類討論．

【例4】解下列方程：

（1）|x|3x1||4；

（天津市競賽試題）

（2）|x3||x1|x1；

（北京市“迎春杯”競賽試題）

（3）|x1||x5|4．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：解多重絕對值方程的基本方法是：根據絕對值定義，從內向外化簡原方程；零點分段討

論法是解多個絕對值方程的有效手段．

【例5】已知|x2||1x|9|y5||1y|，求xy的最大值與最小值．

（江蘇省競賽試題）

解題思路：已知等式可化為：|x2||x1||y1||y5|9，再根據絕對值的幾何意義來

探求x、y的取值范圍，進而可得xy的最大值與最小值．

【例6】當1m0時，試判定關于x的方程|1x|mx的解的情況．

（上海市競賽試題）

解題思路：由于1m0，且|1x|0，就有x0，進而計算．

能力訓練

A級

1．方程|5x6|6x5的解是_______________．

（重慶市競賽試題）

13|x|

2．方程|y2||2y|0的解是_______________，方程3(|x|1)1的解是

355

_______________．

3．已知|3990x1995|1995，那么x__________．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

4．巳知|x|x2，那么19x993x27的值為__________．

（“希望杯”邀請賽試題）

．若方程23的解分別是、，則．

5|1002x1002|1002x1x2x1x2__________

（“希望杯”邀請賽試題）

6．滿足(ab)2(ba)|ab|ab（ab0）的有理數a和b，一定不滿足的關系是（）．

A．ab0B．ab0C．ab0D．ab0

7．有理數a、b滿足|ab||ab|，則（）．

A．ab0B．ab0C．ab0D．ab0

8．若關于x的方程|2x3|m0無解，|3x4|n0只有一個解，|4x5|k0有兩個解，

則m，n，k的大小關系是（）．

A．mnkB．nkmC．kmnD．mkn

（“希望杯”邀請賽試題）

9．方程|x5|x50的解的個數為（）．

A．不確定B．無數個C．2個D．3個

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

10．若關于x的方程||x2|1|a有三個整數解，則a的值是（）．

A．0B．2C．1D．3

（全國初中數學聯賽試題）

11．解下列方程：

11

（1）42|x1|3；（2）|x1|x3；（3）|x|2x1||3；

22

（五城市聯賽試題）

（4）|2x1||x2||x1|．

（全國通訊賽試題）

12．求關于x的方程||x2|1|a0（0a1）的所有解的和．

（陜西省競賽試題）

B級

1．關于x的方程|a|x|a1|x的解是x0，則a的值是__________；關于x的方程

|a|x|a1|x的解是x1，則有理數a的取值范圍是__________．

2．若0x10，則滿足條件|x3|a的整數a的值共有__________個，它們的和是__________．

（“希望杯”邀請賽試題）

3．若a0，b0，則使|xa||xb|ab成立的x的取值范圍是__________．

（武漢市選拔賽試題）

|a|1

4．已知|a|a0且a1，那么__________．

|a1|

5．若有理數x滿足方程|1x|1|x|，那么化簡|x1|的結果是（）．

A．1B．xC．x1D．1x

6．適合關系式|3x4||3x2|6的整數x的值有（）．

A．0B．1C．2D．大于2的自然數

7．如果關于x的方程|x1||x1|a有實根．那么實數a的取值范圍是（）．

A．a0B．a0C．a1D．a2

（武漢市競賽試題）

8．巳知方程|x|ax1有一個負根，而沒有正根，那么a的取值范圍是（）．

A．a1B．a1C．a1D．a1

（全國初中數學聯賽試題）

9．設a、b為有理數，且方程||xa|b|3有三個不相等的解，求b的值．

（“華羅庚金杯”邀請賽試題）

10．當a滿足什么條件時，關于x的方程|x2||x5|a有一解？有無數多解？無解？

（江蘇省競賽試題）

2003a2004|b|

11．用符號“十”定義一種新運算：對于有理數a、b（a0，a1），有ab，

a2a

已知2004x2，求x的值．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

專題09含絕對值符號的一次方程

例1x＝－10提示：x－5＝±（－5－2x），解得x＝－10或x＝0（舍去）．

例2C提示：用數軸表示，方程中未知數x表示到－1與3的距離之和等于4的整數值，分別是－1，

0，1，2，3．

例由得，∴，．

3z12z12z11z23

又x，y異號，y，z同號，

故當y＝2，x＝－3時，z＝1，即x＋y＋z＝0；

當y＝－2，x＝3時，z＝－3，即x＋y＋z＝－2．

綜上可知x＋y＋z的值為0或－2．

53

例4（1）x或x

42

（2）提示：當x＜－3時，原方程化為x3x1x1，解得x＝－5；

當－3≤x＜1時，原方程化為x3x1x1，解得x＝－1；

當x≥1時，原方程化為x3x1x1，解得x＝3；

故原方程的解是x＝－5，－1，3．

例5提示：由絕對值的幾何意義知，當－2≤x≤1且－1≤y≤5時，

有x2x1y1y59，

故當x=－2,y=－1時,x+y有最小值為－3;當X=1時,y=5時,x+y有最大值為6.

例6分2種情況考慮:

x10x1

①②

x1mx1xmx

11

當且僅當m≠1時,其解為x，這是m滿足的條件為1，即0≤m<1,不符合-1≤m<0的條件,

1m1m

故應舍去.

同理,有②得m>0時,方程有唯一的解.但不符合-1≤m<0.故方程無解.

A級

1．x=11提示:原方程可化為5x+6=6x-5或5x+6=5-6x.分兩種情況討論.

39310

2．y或x

2557

3．0或-1

4．5

5．2004提示:x=1002+10022x=1002-10022

6．A提示:a<b

??

7．C

8．A

9．B

10．C提示:用篩選法

11．⑴ｘ=-1或ｘ=-3

⑵ｘ=4

4

⑶x或ｘ=2

3

11

⑷提示:X<-1;-1x，x2,X≥2四種情況分別去掉絕對值符號解方程,當考慮到

22

1

x2時,原方程化為(2x1)(x2)x1,即1=1,這是一個恒等式,說明凡是滿足

2

1