專題16不等式（組）

閱讀與思考

客觀世界與實際生活既存在許多相等關系，又包含大量的不等關系，方程（組）是研究相等關系

的重要手段，不等式（組）是探求不等關系的基本工具，方程與不等式既有相似點，又有不同之處，主

要體現在：

1.解一元一次不等式與解一元一次方程類似，但解題時要注意兩者之間的重要區別；等式兩邊都乘

（或除）以同一個數時，只要考慮這個數是否為零，而不等式兩邊都乘以（或除以）同一個數時，不但

要考慮這個數是否為零，而且還要考慮這個數的正負性.

2.解不等式組與解方程組的主要區別是：解方程組時，我們可以對幾個方程進行“代入”或“加減”

式的加工，但在解不等組時，我們只能對某個不等式進行變形，分別求出每個不等式的解集，然后再求

公共部分.通俗地說，解方程組時，可以“統一思想”，而解不等式組時只能“分而治之”.

例題與求解

2x5

x5

【例1】已知關于x的不等式組3恰好有5個整數解，則t的取值范圍是（）

x3

tx

2

11111111

A、6tB、6tC、6tD、6t

2222

(2013年全國初中數學競賽廣東省試題）

解題思路：把x的解集用含t的式子表示，根據題意，結合數軸分析t的取值范圍.

10

【例2】如果關于x的不等式(2mn)xm5n0的解集為x那么關于x的不等式

7

mxn(m0)的解集為.

（黑龍江省哈爾濱市競賽試題）

解題思路：從已知條件出發，解關于x的不等式，求出m，n的值或m，n的關系.

xy2

【例3】已知方程組若方程組有非負整數解，求正整數m的值.

mxy6

（天津市競賽試題）

解題思路：解關于x，y的方程組，建立關于m的不等式組，求出m的取值范圍.

【例4】已知三個非負數a，b，c滿足3a＋2b＋c＝5和2a＋b－3c＝1，若m＝3a＋b－7c，求m的最大

值和最小值.

（江蘇省競賽試題）

解題思路：本例綜合了方程組、不等式（組）的知識，解題的關鍵是用含一個字母的代數式表示m，通

過解不等式組，確定這個字母的取值范圍，在約束條件下，求m的最大值與最小值.

【例】設是自然數，，

6x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7x1x2x3x4x5x6x7

，

x1x2x3,x2x3x4,x3x4x5,x4x5x6

，求的最大值

x5x6x7,又x1x2x3x4x5x6x72010x1x2x3.

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：代入消元，利用不等式和取整的作用，尋找解題突破口.

【例6】已知實數a，b滿足1ab4,0ab1,且a－2b有最大值，求8a＋2003b的值.

解題思路：解法一：已知a－b的范圍，需知－b的范圍，即可知a－2b的最大值得情形.

解法二：設a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b)＝（m＋n)a＋（m－n)b

能力訓練

A級

2mx4mx13

1、已知關于x的不等式的解集是x那么m的值是

324

（“希望杯”邀請賽試題）

x2a4

2、不等式組的解集是0x2，那么a＋b的值為

2xb5

（湖北省武漢市競賽試題）

3、若a＋b＜0，ab＜0，a＜b，則a,a,b,b的大小關系用不等式表示為

（湖北省武漢市競賽試題）

xym2

4、若方程組的解x，y都是正數，則m的取值范圍是

4x5y6m3

（河南省中考試題）

5、關于x的不等式ax3a3x的解集為x3，則a應滿足（）

A、a＞1B、a＜1C、a1D、a1

(2013年全國初中數學競賽預賽試題）

6、適合不等式2x13x144x21的x的取值的范圍是（）

7、已知不等式(mx1)(x2)0的解集3x2那么m等于（）

11

A、B、C、3D、－3

33

11

8、已知a0，下面給出4個結論：①a210；②1a20；③11④11，其中，一

a2a2

定成立的結論有（）

A、1個B、2個C、3個D、4個

（江蘇省競賽試題）

x2y6

9、當k為何整數值時，方程組有正整數解？

xy93k

（天津市競賽試題）

x12

10、如果是關于x，y的方程(axby12)axby80的解，求不等式組

y2

13x14

xa

b的解集

ax3x3

3xa0

11、已知關于x的不等式組b的整數解有且僅有4個：－1，0，1，2那么，適合這個不等式

x

2

組的所有可能的整數對（a，b）共有多少個？

（江蘇省競賽試題）

B級

1、如果關于x的不等式ax30的正整數解為1，2，3那么a的取值范圍是

（北京市”迎春杯“競賽試題）

xa0

2、若不等式組有解，則a的取值范圍是___________.

12xx2

（海南省競賽試題）

3、已知不等式3xa0只有三個正整數解，那么這時正數a的取值范圍為.

（”希望杯“邀請賽試題）

2

4、已知12x11則1的取值范圍為.

x

(“新知杯”上海市競賽試題）

11

cab2c

6

35

5、若正數a，b，c滿足不等式組abca，則a，b，c的大小關系是（）

23

511

bacb

24

A、a＜b＜cB、b＜c＜aC、c＜a＜bD、不確定

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

6、一共（）個整數x適合不等式x2000x9999

A、10000B、20000C、9999D、80000

（五羊杯“競賽試題）

7、已知m，n是整數，3m＋2＝5n＋3，且3m＋2＞30，5n＋3＜40，則mn的值是（）

A、70B、72C、77D、84

8、不等式xx5的解集為（）

5555

A、xB、xC、xD、x

2222