專題26奇偶分析

閱讀與思考

整數可以分為奇數和偶數，一個整數要么是奇數，要么是偶數，因此奇偶性是一個整數的固有屬

性，即奇數≠偶數．

由于奇偶性是整數的固有屬性，因此可以說奇偶性是整數的一種不變性，通過分析整數的奇偶性

來解決問題的方法叫奇偶分析．

運用奇偶分析解題，常常要用到奇數和偶數的基本性質：

1.奇數≠偶數.

2.奇數±奇數=偶數，奇數±偶數=奇數，偶數±偶數=偶數，奇數個奇數的和是奇數，偶數個奇數

的和為偶數，若干個偶數的和是偶數.

3.若干個奇數之積是奇數，偶數與任意整數之積是偶數.

4.若a是整數，則a與a，a，an（n為自然數）有相同的奇偶性.

5.設a，b是整數，則ab，ab，ab，ab都有相同的奇偶數.

6.偶數的平方是4的倍數，奇數的平方是4的倍數加1.

例題與求解

【例1】數列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列規律是：前兩個數是1，從第三個數

開始，每一個數是它前面兩個數的和，這個數列叫做斐波那契數列，在斐波那契數列的前2004個數中

共有____個偶數．

(“希望杯”邀請賽試題)

解題思路：本例關鍵是發現斐波那契數列的各項奇偶性的規律.

【例2】如果a，b，c都是正整數，且a，b是奇數，則3a(b1)2c是().

A．只當c為奇數時，其值為奇數

B．只當c為偶數時，其值為奇數

C．只當c為3的倍數時，其值為奇數

D．無論c為任意正整數時，其值均為奇數

（五城市聯賽試題）

解題思路：直接運用奇數偶數的性質作出選擇．

【例3】能否找到自然數a和b，使a22002b2.

（“華羅庚金杯”邀請賽試題）

解題思路：假設存在自然數a和b，使等式成立，則(ab)(ab)2002，從ab，ab的奇偶

性展開推理．

【例4】在6張紙片的正面分別寫上整數1，2，3，4，5，6，打亂次序后，將紙片翻過來，在它

們的反面也隨意寫上1~6這6個整數，然后計算每張紙片正面與反面所寫數字之差的絕對值，得出6個

數，請你證明：所得的6個數中至少有兩個是相同的.

（北京市競賽試題）

解題思路：從反面入手，即設這6個數兩兩都不相等，利用aibi與aibici=1，2，3，4，5，6

的奇偶性相同，引入字母進行推理證明.

【例5】表甲是一個英文字母電子顯示盤，每一次操作可以使某一行4個字母同時改變，或者使某一列

4個字母同時改變，改變的規則是：按照英文字母表的順序，每個英文字母變成它下一個字母（即A變

成B，B變成C…最后字母Z變成A）.問：能否經過若干次操作，使表甲變成表乙？如果能，請寫出變

化過程，如不能，說明理由.

SOBRKBDS

TZEPHEXG

HOCNRTBS

ADVXCFYA

表甲表乙

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：表甲與表乙看上去沒有規律，似乎不太容易將表甲變為表乙（可以試一試），看是否能

成功？如果是不能，就應找出不能的理由，解題的關鍵是如何將問題“數字化”，挖掘操作變化過程中

的不變量或不變性.

【例6】設x1，x2，…xn為＋1或－1，并且x1x2x3x4x2x3x4x5x3x4x5x6xn3xn2xn1xn

xn2xn1xnx1xn1xnx1x2xnx1x2x30.證明n能被4整除.

解題思路：應用整數的奇偶性解題，常需變化角度去考察問題，從而化難為易．

能力訓練

1．若按奇偶分類，則11223320112011是______數.

2．已知a是質數，b是奇數，且a2b2001，則ab_______.

（江蘇省競賽試題）

3．若質數m，n滿足5m7n129，則mn的值為____________.

（河北省競賽試題）

4．在12，22，32，…，952這95個數中，十位數字為奇數的數共有____________個.

（全國初中數學聯賽試題）

5．將1，2，3，4，5這五個數字排成一排，最后一個數是奇數，且使得其中任意連續三個數之和

都能被這三個數中的第一個數整除，那么，滿足要求的排法有()種.

A.2B.3C.4D.5

6．設a，b為整數，給出下列四個結論

（1）若a5b是偶數，則a3b是偶數

（2）若a5b是偶數，則a3b是奇數

（3）若a5b是奇數，則a3b是偶數

（4）若a5b是奇數，則a3b是奇數

其中正確結論的個數是()．

A.0B.2C.4D.1或3

（“五羊杯”競賽試題）

abbcca

7．如果a，b，c是三個任意整數，那么，，()．

222

A.都不是整數B.至少有兩個是整數

C.至少有一個是整數D.都是正數

（“T1杯”全國競賽試題）

8．將1000到1997這998個自然數任意排成一行，然后依次地求出三個相鄰數的和，在這些和中，

奇數的個數至多有()．

A.499個B.496個C.996個D.995個

9．設a1，a2，…a1999是1，2，3，…，1999的一個排列，求證：(a11)(a22)(a19991999)

為偶數.

10．在黑板上記上數1，2，3，…，1974，允許擦去任意兩個數，且寫上它們的和或差.重復這樣

的操作手續，直至在黑板上留下一個數為止.求證：這個數不可能為零．

（數學奧林匹克競賽試題）

11．你能找到三個整數a，b，c，使得關系式(abc)(abc)(abc)(bca)3388成

立嗎？如果能找到，請舉一例；如果找不到，請說明理由.

（“希望杯”邀請賽