專題09特殊與一般

——二次函數與二次方程

閱讀與思考

二次函數的一般形式是yax2bxca0，從這個式子中可以看出，二次函數的解析式實際

上是關于x的二次三項式，若令y=0，則得ax2bxc0

這是一個關于x的一元二次方程，因此，二次函數與一元二次方程有著密切的聯系，表現為：

1.當0時，方程有兩個不相等實數根，拋物線與x軸有兩個不同的交點，設為

b24ac

A(x，0)，B(x，0)，其中x，x是方程兩相異實根，AB;

1212a

2.當0時，方程有兩個相等實數根，拋物線與x軸只有一個交點；

3.當0時，方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點．

由于二次函數與二次方程有著深刻的內在聯系，所以，善于促成二次函數問題與二次方程問題相互

轉化，是解相關問題的常用技巧．

例題與求解

【例1】（1）拋物線yax2bxc與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若ABC是直角三

角形，則ac=.

（全國初中數學聯賽試題）

1

（2）為使方程x223x1b有四個不同的實數根，則實數b的取值范圍為.

3

解題思路：對于（1），ABC為直角三角形，則A，B兩點在原點的兩旁，運用根與系數關系及射

影定理解題，對于（2），作出函數圖象，借助圖象解題．

【例2】設一元二次方程x22kx6k0的根分別滿足下列條件：①兩根均大于1；②一根大

于1，另一根小于1；③兩根均大于1且小于4．試求實數k的取值范圍．

解題思路：因為根的表達式復雜，故應把原問題轉化為二次函數問題來解決，作出函數圖象，借助

圖象找制約條件．

【例3】如果拋物線yx22m1xm1與x軸交于A，B兩點，且A點在x軸的正半軸上，

B點在x軸的負半軸上，OA的長是a，OB的長是b，

（1）求m的取值范圍；

（2）若a:b3:1，求m的值，并寫出此時拋物線的解析式；

（3）設（2）的拋物線與y軸交于點C，拋物線的頂點是M，問：拋物線是否存在一點P，使得PAB

面積等于BCM的面積的8倍？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

（南京市中考試題）

解題思路：由題設條件得相應二次方程兩實根的符號特征，兩實根的關系，這是解本例的突破口．

【例】設是實數，二次函數2的圖像與軸有個不同的交點，．

4pyx2pxpx2Ax1,0Bx2,0

（）求證：2；

12px1x23p0

（2）若A，B兩點之間距離不超過2p3，求p的最大值．

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：根據題意，方程2有兩個不同的實數根，，于是，綜合運用

x2pxp0x1x20

判別式、根與系數關系、根的方程、不等式來解．

【例5】是否存在這樣的實數k，使得二次方程x22k1x3k20有兩個實數根，且兩根都

在2與4之間？如果有，試確定k的取值范圍；如果沒有，試述理由．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

解題思路：由于根的表示形式復雜，因此，應把原問題轉化為二次函數問題來討論，即討論相應二

次函數交點在2與4之間，k應滿足的條件，借助函數圖象解題．

【例6】設m，n為正整數，且m2.如果對一切實數t，二次函數yx23mtx3mt的圖

象與x軸的兩個交點間的距離不小于2tn，求m，n的值．

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：由2，得，由條件得，因此不

x3mtx3mt0x13,x2mtmt32tn

等式對任意實數t都成立，故將問題轉化為判別式結合正整數求解．

能力訓練

A級

1．已知二次函數y2x24mxm2的圖象與x軸有兩個交點A，B，頂點為C，若△ABC的面積

為42，則m=.

．把拋物線2向上平移個單位，所得拋物線與軸相交于點，和，，

2y3x1kxA(x10)B(x20)

26

已知x2x2，那么平移后的拋物線的解析式為.（杭州市中考試題）

129

3．拋物線yax2bxca0的圖象如圖所示．

（1）判斷abc及b24ac的符號：

abc0，b24ac0；.

（2）當OAOB時，a,b,c滿足的關系式為________________.

4．已知二次函數yax2bxc的圖象過（-1，0）和（0，-1）兩點，則a的取值范圍為.

（黑龍江省中考試題）

5．若關于x的方程2x23xm0的一個根大于-2，且小于-1，另一個根大于2且小于3，則m

的取值范圍是（）

99

A.mB.14mC.9m5D.14m2

88

（天津市競賽試題）

2

6．設函數yxm1x4m5的圖象如圖所示，它與x軸交于A，B兩點，且線段OA與

OB的長的比為1:4，則m的值為（）

A.8B.-4C.11D.-4或11

．已知二次函數2與軸相交于兩點，，，，其頂點坐標為

7yaxbxcxA(x10)B(x20)

b4cb2

，，若，則與的關系是（）

P,AB=x1x2SAPB1bc

24

A.b24c10B.b24c10

C.b24c40D.b24c40

（福州市中考試題）

．設關于的方程2有兩個不等的實數根，，且＜1＜，那么

8xaxa2x9a0x1x2x1x2a

的取值范圍是（）

22222

A.aB.aC.aD.a0

755711

（全國初中數學競賽試題）

9．已知二次函數yx2m28x2m26．

（1）求證：不論m取任何實數，此函數的圖象都與x軸有兩個交點，且兩個交點都在x軸的正半

軸上；

（2）設這個函數的圖象與x軸交于B，C兩點，與y軸交于A點，若△ABC的面積為48，求m的

值．（徐州市中考試題）

13

10．已知拋物線yx2mx2m交x軸于A(x，0)，B(x，0)，交軸于C點，且x＜0＜x，

221212

AOBO212CO1

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P，使∠APB為銳角？若存在，求出P點的橫坐標的

范圍；若不存在，請說明理由．

（武漢市中考試題）

1

11．已知拋物線yx23mx18m2m與x軸交于A(x，0)，B(x，0)(x＜x)兩點，與y

81212

軸交于點C(0，b)，O為原點．

（1）求m的取值范圍．

1

（2）若m，且OAOB3OC，求拋物線的解析式及A，B，C的坐標；

8

（3）在（2）情形下，點P，Q分別從A，O兩點同時出發（如圖）以相同的速度沿AB，OC向B，

C運動，連接PQ與BC交于M，設AP=k，問：是否存在k值，使以P，B，M為頂點的三角形與△ABC

相似？若存在，求所有k值；若不存在，請說明理由．

（黃岡市中考試題）

12．某商品的進價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每

上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元），設每件商品的售價上漲x元（x為正整數），

每個月的銷售利潤為y元．

（1）求y與x的函數關系式并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？

（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據以上的結論，請你直接寫出

售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？

（武漢市中考試題）

B級

1．已知拋物線yx22mxm7與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，則m的取值范圍為

____________.

5

2．設拋物線yx22a1x2a的圖象與x軸只有一個交點，則a18323a6的值為

4

____________.

（全國初中數學聯賽試題）

93

3．設m是整數，且方程3x2mx20的兩根都大于而小于，則m=.

57

（全國初中數學聯賽試題）

4．已知拋物線yx2kx1與x軸的正方向相交于A，B兩點，頂點為C，△ABC為等腰直角三

角形，則k=.

5．如圖，已知拋物線yx2pxq與x軸交于A，B兩點，交y軸負半軸于C點，∠ACB=90°，

112

且，則△ABC的外接圓的面積為.

OAOBOC

6．已知拋物線yx2kxk1，

（1）求證：無論k為何實數，拋物線經過x軸上的一定點；

（）設拋物線與軸交于點，與軸交于，，，，兩點，且滿足：＜，，

2yCxA(x10)B(x20)x1x2x1x2

問：過，，三點的圓與該拋物線是否有第四個交點？試說明理由，如果有，求出其坐標．

SABC6.ABC

（武漢市中考試題）

．已知拋物線2上有一點位于軸下方

7yxpxqMx0,y0x.

（）求證：已知拋物線必與軸有兩個交點，，，，其中＜；

1xA(x10)B(x20)x1x2

（）求證：＜＜

2x1x0x2;

（）當點為（，）時，求整數，

3M1-2x1x2.（《學習報》公開賽試題）

8．隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高，某園林專業戶計劃投資

種植花卉及樹木，根據市場調查與預測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例的關系，如圖1所示；

種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數關系，如圖2所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）

（1）分別求出利潤y1與y2關于投資量x的函數關系式；

（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大

利潤是多少？

（南寧市中考試題）

9．已知以x為自變量的二次函數y4x28nx3n2，該二次函數圖象與x軸兩個交點的橫坐

標的差的平方等于關于x的方程x27n6x2(n1)(5n4)0的一整數根，求n的值．

（紹興市競賽試題）

10．如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），連結OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉

120°，得到線段OB．

（1）求點B的坐標；

（2）求經過A，O，B三點的拋物線的解析式；

（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC