PAGE1.以下哪個選項是群的四個基本性質之一？

-A.結合律

-B.分配律

-C.交換律

-D.冪等律

**參考答案**:A

**解析**:群的四個基本性質包括封閉性、結合律、單位元和逆元。分配律、交換律和冪等律不是群的基本性質。

2.設\(G\)是一個群，\(e\)是單位元，\(a\)是\(G\)中的一個元素，以下哪個選項正確描述了逆元的性質？

-A.\(a\cdota^{-1}=a\)

-B.\(a\cdota^{-1}=e\)

-C.\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\)

-D.\(a\cdota^{-1}=a^2\)

**參考答案**:B

**解析**:在群中，元素\(a\)的逆元\(a^{-1}\)滿足\(a\cdota^{-1}=e\)，其中\(e\)是單位元。

3.以下哪個集合在加法運算下構成一個群？

-A.所有正整數

-B.所有整數

-C.所有非負整數

-D.所有有理數

**參考答案**:B

**解析**:所有整數在加法運算下構成一個群，因為整數加法滿足封閉性、結合律，存在單位元0，并且每個整數都有逆元（即相反數）。

4.設\(G\)是一個群，\(a,b\inG\)，以下哪個選項正確描述了群的封閉性？

-A.\(a\cdotb\inG\)

-B.\(a\cdotb\notinG\)

-C.\(a\cdotb=e\)

-D.\(a\cdotb=b\cdota\)

**參考答案**:A

**解析**:群的封閉性指的是對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)。

5.以下哪個選項是群的單位元的性質？

-A.\(e\cdota=a\cdote=a\)

-B.\(e\cdota=a\cdote=e\)

-C.\(e\cdota=a\cdote=a^{-1}\)

-D.\(e\cdota=a\cdote=a^2\)

**參考答案**:A

**解析**:群的單位元\(e\)滿足對于任意\(a\inG\)，有\(e\cdota=a\cdote=a\)。

6.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，以下哪個選項正確描述了群的結合律？

-A.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)

-B.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotb\cdotc\)

-C.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotc\cdotb\)

-D.\((a\cdotb)\cdotc=c\cdotb\cdota\)

**參考答案**:A

**解析**:群的結合律指的是對于任意\(a,b,c\inG\)，有\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)。

7.以下哪個集合在乘法運算下構成一個群？

-A.所有非零實數

-B.所有實數

-C.所有整數

-D.所有有理數

**參考答案**:A

**解析**:所有非零實數在乘法運算下構成一個群，因為非零實數乘法滿足封閉性、結合律，存在單位元1，并且每個非零實數都有逆元（即倒數）。

8.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，以下哪個選項正確描述了群的逆元？

-A.\(a\cdota^{-1}=e\)

-B.\(a\cdota^{-1}=a\)

-C.\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\)

-D.\(a\cdota^{-1}=a^2\)

**參考答案**:A

**解析**:在群中，元素\(a\)的逆元\(a^{-1}\)滿足\(a\cdota^{-1}=e\)，其中\(e\)是單位元。

9.以下哪個選項是群的封閉性的性質？

-A.對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)

-B.對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\notinG\)

-C.對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb=e\)

-D.對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb=b\cdota\)

**參考答案**:A

**解析**:群的封閉性指的是對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)。

10.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，以下哪個選項正確描述了群的單位元？

-A.\(e\cdota=a\cdote=a\)

-B.\(e\cdota=a\cdote=e\)

-C.\(e\cdota=a\cdote=a^{-1}\)

-D.\(e\cdota=a\cdote=a^2\)

**參考答案**:A

**解析**:群的單位元\(e\)滿足對于任意\(a\inG\)，有\(e\cdota=a\cdote=a\)。

11.以下哪個集合在加法運算下不構成一個群？

-A.所有整數

-B.所有有理數

-C.所有實數

-D.所有自然數

**參考答案**:D

**解析**:所有自然數在加法運算下不構成一個群，因為自然數集合中沒有逆元（即負數）。

12.設\(G\)是一個群，\(a,b\inG\)，以下哪個選項正確描述了群的結合律？

-A.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)

-B.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotb\cdotc\)

-C.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotc\cdotb\)

-D.\((a\cdotb)\cdotc=c\cdotb\cdota\)

**參考答案**:A

**解析**:群的結合律指的是對于任意\(a,b,c\inG\)，有\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)。

13.以下哪個集合在乘法運算下不構成一個群？

-A.所有非零實數

-B.所有非零有理數

-C.所有非零整數

-D.所有非零復數

**參考答案**:C

**解析**:所有非零整數在乘法運算下不構成一個群，因為非零整數集合中沒有逆元（即倒數）。

14.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，以下哪個選項正確描述了群的逆元？

-A.\(a\cdota^{-1}=e\)

-B.\(a\cdota^{-1}=a\)

-C.\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\)

-D.\(a\cdota^{-1}=a^2\)

**參考答案**:A

**解析**:在群中，元素\(a\)的逆元\(a^{-1}\)滿足\(a\cdota^{-1}=e\)，其中\(e\)是單位元。

15.以下哪個選項是群的封閉性的性質？

-A.對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)

-B.對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\notinG\)

-C.對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb=e\)

-D.對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb=b\cdota\)

**參考答案**:A

**解析**:群的封閉性指的是對于任意\(a,b\inG\)，有\(a\cdotb\inG\)。

16.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，以下哪個選項正確描述了群的單位元？

-A.\(e\cdota=a\cdote=a\)

-B.\(e\cdota=a\cdote=e\)

-C.\(e\cdota=a\cdote=a^{-1}\)

-D.\(e\cdota=a\cdote=a^2\)

**參考答案**:A

**解析**:群的單位元\(e\)滿足對于任意\(a\inG\)，有\(e\cdota=a\cdote=a\)。

17.以下哪個集合在加法運算下構成一個群？

-A.所有整數

-B.所有自然數

-C.所有非負整數

-D.所有有理數

**參考答案**:A

**解析**:所有整數在加法運算下構成一個群，因為整數加法滿足封閉性、結合律，存在單位元0，并且每個整數都有逆元（即相反數）。

18.設\(G\)是一個群，\(a,b\inG\)，以下哪個選項正確描述了群的結合律？

-A.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)

-B.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotb\cdotc\)

-C.\((a\cdotb)\cdotc=a\cdotc\cdotb\)

-D.\((a\cdotb)\cdotc=c\cdotb\cdota\)

**參考答案**:A

**解析**:群的結合律指的是對于任意\(a,b,c\inG\)，有\((a\cdotb)\cdotc=a\cdot(b\cdotc)\)。

19.以下哪個集合在乘法運算下構成一個群？

-A.所有非零實數

-B.所有實數

-C.所有整數

-D.所有有理數

**參考答案**:A

**解析**:所有非零實數在乘法運算下構成一個群，因為非零實數乘法滿足封閉性、結合律，存在單位元1，并且每個非零實數都有逆元（即倒數）。

20.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，以下哪個選項正確描述了群的逆元？

-A.\(a\cdota^{-1}=e\)

-B.\(a\cdota^{-1}=a\)

-C.\(a\cdota^{-1}=a^{-1}\)

-D.\(a\cdota^{-1}=a^2\)

**參考答案**:A

**解析**:在群中，元素\(a\)的逆元\(a^{-1}\)滿足\(a\cdota^{-1}=e\)，其中\(e\)是單位元。

21.設\(G\)是一個群，\(a,b\inG\)，則以下哪個選項表示\(a\)和\(b\)的乘積？

-A.\(a+b\)

-B.\(a\cdotb\)

-C.\(a\timesb\)

-D.\(a\circb\)

**參考答案**:B

**解析**:在群論中，群的運算通常表示為乘法，因此\(a\)和\(b\)的乘積表示為\(a\cdotb\)。

22.設\(G\)是一個群，\(e\)是群的單位元，\(a\inG\)，則以下哪個選項表示\(a\)的逆元？

-A.\(a^{-1}\)

-B.\(-a\)

-C.\(\frac{1}{a}\)

-D.\(a'\)

**參考答案**:A

**解析**:在群論中，元素的逆元通常表示為\(a^{-1}\)。

23.設\(G\)是一個群，\(a,b,c\inG\)，則以下哪個選項表示群的結合律？

-A.\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)

-B.\(a\cdotb=b\cdota\)

-C.\(a\cdote=a\)

-D.\(a\cdota^{-1}=e\)

**參考答案**:A

**解析**:群的結合律表示為\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)。

24.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，則以下哪個選項表示群的單位元性質？

-A.\(a\cdote=a\)

-B.\(a\cdota^{-1}=e\)

-C.\(a\cdotb=b\cdota\)

-D.\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)

**參考答案**:A

**解析**:群的單位元性質表示為\(a\cdote=a\)。

25.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，則以下哪個選項表示群的逆元性質？

-A.\(a\cdota^{-1}=e\)

-B.\(a\cdote=a\)

-C.\(a\cdotb=b\cdota\)

-D.\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)

**參考答案**:A

**解析**:群的逆元性質表示為\(a\cdota^{-1}=e\)。

26.設\(G\)是一個群，\(a,b\inG\)，則以下哪個選項表示群的交換律？

-A.\(a\cdotb=b\cdota\)

-B.\(a\cdot(b\cdotc)=(a\cdotb)\cdotc\)

-C.\(a\cdote=a\)

-D.\(a\cdota^{-1}=e\)

**參考答案**:A

**解析**:群的交換律表示為\(a\cdotb=b\cdota\)。

27.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，則以下哪個選項表示群的冪運算？

-A.\(a^n\)

-B.\(a+n\)

-C.\(a\timesn\)

-D.\(a\circn\)

**參考答案**:A

**解析**:群的冪運算表示為\(a^n\)，其中\(n\)是整數。

28.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，則以下哪個選項表示群的零次冪？

-A.\(a^0=e\)

-B.\(a^0=a\)

-C.\(a^0=0\)

-D.\(a^0=1\)

**參考答案**:A

**解析**:群的零次冪定義為\(a^0=e\)，其中\(e\)是群的單位元。

29.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，則以下哪個選項表示群的負次冪？

-A.\(a^{-n}=(a^{-1})^n\)

-B.\(a^{-n}=a^n\)

-C.\(a^{-n}=-a^n\)

-D.\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

**參考答案**:A

**解析**:群的負次冪定義為\(a^{-n}=(a^{-1})^n\)。

30.設\(G\)是一個群，\(a,b\inG\)，則以下哪個選項表示群的冪運算的乘法性質？

-A.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)

-B.\(a^m\cdota^n=a^{mn}\)

-C.\(a^m\cdota^n=a^{m-n}\)

-D.\(a^m\cdota^n=a^{m/n}\)

**參考答案**:A

**解析**:群的冪運算的乘法性質表示為\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)。

31.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，則以下哪個選項表示群的冪運算的冪性質？

-A.\((a^m)^n=a^{mn}\)

-B.\((a^m)^n=a^{m+n}\)

-C.\((a^m)^n=a^{m-n}\)

-D.\((a^m)^n=a^{m/n}\)

**參考答案**:A

**解析**:群的冪運算的冪性質表示為\((a^m)^n=a^{mn}\)。

32.設\(G\)是一個群，\(a,b\inG\)，則以下哪個選項表示群的共軛元素？

-A.\(b\cdota\cdotb^{-1}\)

-B.\(b\cdota\cdotb\)

-C.\(b^{-1}\cdota\cdotb\)

-D.\(b^{-1}\cdota\cdotb^{-1}\)

**參考答案**:A

**解析**:群的共軛元素表示為\(b\cdota\cdotb^{-1}\)。

33.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，則以下哪個選項表示群的共軛類？

-A.\(\{b\cdota\cdotb^{-1}\midb\inG\}\)

-B.\(\{b\cdota\cdotb\midb\inG\}\)

-C.\(\{b^{-1}\cdota\cdotb\midb\inG\}\)

-D.\(\{b^{-1}\cdota\cdotb^{-1}\midb\inG\}\)

**參考答案**:A

**解析**:群的共軛類表示為\(\{b\cdota\cdotb^{-1}\midb\inG\}\)。

34.設\(G\)是一個群，\(a\inG\)，則以下哪個選項表示群的中心？

-A.\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b\cdota\text{對所有}b\inG\}\)

-B.\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b^{-1}\cdota\text{對所有}b\inG\}\)

-C.\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b\cdota^{-1}\text{對所有}b\inG\}\)

-D.\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b^{-1}\cdota^{-1}\text{對所有}b\inG\}\)

**參考答案**:A

**解析**:群的中心定義為\(Z(G)=\{a\inG\mida\cdotb=b\cdota\text{對所有}b\inG\}\)。

35.設\(G\)是一個群，\(H\)是\(G\)的子群，則以下哪個選項表示子群的陪集？

-A.\(aH=\{a\cdoth\midh\inH\}\)

-B.\(Ha=\{h\cdota\midh\inH\}\)

-C.\(aH=\{a\cdoth^{-1}\midh\inH\}\)

-D.\(Ha=\{h^{-1}\cdota\midh\inH\}\)

**參考答案**:A

**解析**:子群的左陪集定義為\(aH=\{a\cdoth\midh\inH\}\)。

36.設\(G\)是一個群，\(H\)是\(G\)的子群，則以下哪個選項表示子群的右陪集？

-A.\(Ha=\{h\cdota\midh\inH\}\)

-B.\(aH=\{a\cdoth\midh\inH\}\)

-C.\(Ha=\{h^{-1}\cdota\midh\inH\}\)

-D.\(aH=\{a\cdoth^{-1}\midh\inH\}\)

**參考答案**:A

**解析**:子群的右陪集定義為\(Ha=\{h\cdota\midh\inH\}\)。

37.設\(G\)是一個群，\(H\)是\(G\)的子群，則以下哪個選項表示子群的指數？

-A.\([G:H]=\frac{|G|}{|H|}\)

-B.\