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文檔簡介

7.2矩陣的初等行變換7.2.1初等行變換的概念7.2.2矩陣的秩7.2.3逆矩陣（1）互換變換：交換矩陣中任意兩行（列）的位置；（2）倍乘變換：用非零常數乘以矩陣某一行（列）的所有元素；

（3）倍加變換：將矩陣某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）的對應元素上。矩陣的初等行變換與矩陣的初等列變換統稱為矩陣的初等變換矩陣的初等行（列）變換是指對矩陣進行下列三種變換：

定義7.7

7.2.1初等行變換的概念

定義7.8

如果矩陣滿足下列條件

（1）矩陣的零行（如果存在的話）在矩陣最下方；（2）非零行的首非零元素其列標隨著行標遞增而嚴格增大。則稱該矩陣為階梯形矩陣，簡稱階梯矩陣。

定義7.9

首非零元素等于1，而且首非零元素1所在列的其他元素全為零的階梯形矩陣稱為行簡化階梯形矩陣，簡稱行簡化階梯矩陣。例如為非階梯矩陣，為階梯矩陣而非行簡化階梯矩陣，為行簡化階梯矩陣。

定理7.1

任意一個矩陣，可以經過有限次的初

等行變換必可化為階梯矩陣，并進一步可化為行簡化階梯矩陣。例7.2.1把矩陣化為行簡化階梯矩陣。解：式中為的階梯矩陣，為的行簡化階梯矩陣。

經過有限次的初等行變換將矩陣化為階梯矩陣后，定義7.10該階梯形矩陣中非零行的行數稱為矩陣的秩，記為秩或。

定義7.11對于階方陣，如果，則稱或非奇異矩陣。

為滿秩矩陣，任何一個滿秩矩陣都能通過初等行變換化為單位矩陣。定理7.2

7.2.2矩陣的秩

7.2.3逆矩陣1.逆矩陣的概念定義7.12設是階方陣，如果存在階方陣，使得則稱矩陣可逆，并稱是的逆矩陣。記為，即。

，例如：矩陣

，

，因為可以驗

證

。所以矩陣

可逆，且矩陣

是矩陣

的逆矩陣。

定理7.3如果矩陣是可逆的，則的逆矩陣是唯一的。【問題】是否所有的矩陣都存在著逆矩陣？如：零矩陣就不存在逆矩陣，矩陣也不存在逆矩陣。定理7.4矩陣可逆的充要條件是矩陣為滿秩矩陣。定理7.5階可逆矩陣經過一系列的初等行變換，必可化成階單位矩陣經過一系列的初等行變換，必可化成階單位矩陣；同時對階單位矩陣作同樣的初等行變換，所得到的矩陣即為的逆矩陣。例7.2.2用初等變換法求＝

的逆矩陣。

解：＝所以

例7.2.3用初等行變換求

＝

的逆矩陣。

解：即矩陣不可逆。小結：（1）矩陣的初等變換

（2）矩陣

的秩

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