2024-2025學年廣東省深圳市高三下學期第二次月考數學檢測試題注意事項：1、答第一卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上.2、每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動用橡皮擦干凈后，再涂其它答案，不能答在試題卷上.3、考試結束，監考人員將答題卡收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則=（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】化簡集合，，再求交集即可．【詳解】＝＝，

，

故＝，故選：D本小題主要考查交集的概念和運算，考查對數不等式的解法，屬于基礎題.2.已知復數z＝a＋i(a∈R)，若z＋＝4，則復數z的共軛復數＝（）A.2＋i B.2－iC.－2＋i D.－2－i【正確答案】B【分析】根據復數的加法可求，再由共軛復數的定義可求.【詳解】∵z＝a＋i，∴z＋＝2a＝4，得a＝2．∴復數z的共軛復數＝2－i．故選：B．本題考查復數的加減法，共軛復數的定義，屬于基礎題.3.已知向量，若，則實數（）A. B.4 C. D.【正確答案】B【分析】由向量平行的坐標表示求解．【詳解】由題意，又，所以，解得，故選：B．4.已知高為4的圓臺存在內切球，其下底半徑為上底半徑的4倍，則該圓臺的表面積為（）A B. C. D.【正確答案】D【分析】借助圓臺軸截面及內切圓的性質，求出圓臺的兩底半徑及母線長，進而求得表面積.【詳解】依題意，圓臺的軸截面截其內切球得球的大圓，且該大圓是圓臺軸截面等腰梯形的內切圓，等腰梯形為圓臺軸截面，其內切圓與梯形切于點，其中分別為上、下底面圓心，如圖，設圓臺上底半徑為，則下底半徑為，，而等腰梯形的高，因此，解得，所以該圓臺的表面積為.故選：D5.奇函數的單調減區間可以是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】奇函數條件確定φ的值,化簡后利用正弦函數的單調性求得.【詳解】由題

為奇函數，需滿足

.代入得：,利用余弦函數的性質，當且僅當

時等式對所有

成立..令.解得.當

時，減區間為

，故選:

A.6.若，，，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可得，，，結合函數的單調性可得，可比較大小.【詳解】，，，又在上單調遞增，，所以，所以，所以，所以.故選：B7.隨著我國鐵路的發展，列車的正點率有了顯著的提高．據統計，途經某車站的只有和諧號和復興號列車，且和諧號列車的列次為復興號列車的列次的2倍，和諧號的正點率為0.98，復興號的正點率為0.99，今有一列車未正點到達該站，則該列車為和諧號的概率為（）A.0.2 B.0.5 C.0.6 D.0.8【正確答案】D【分析】根據給定條件，利用全概率公式及條件概率公式計算即得.【詳解】令事件A：經過的列車為和諧號；事件B，經過的列車為復興號；事件C，列車未正點到達，則，于是，所以該列車為和諧號的概率為.故選：D8.已知雙曲線C：的右焦點為F，過F作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A、B兩點，且，，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【正確答案】B【分析】由已知得，，，利用，借助正切值列方程求雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的右焦點為，漸近線方程為，，則有，到漸近線的距離，，，∴，，則，，，由，有，即，解得，則有，所以離心率.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列四個命題是真命題的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則【正確答案】BCD【分析】利用空間直線與平面，平面與平面的位置關系逐項判斷即可.【詳解】對于A，若，，則或與相交，故A錯誤；對于B，由，，，則，又，又，所以，故B正確；對于C，因為，，則的方向向量分別為的法向量，因為，所以，所以，故C正確；對于D，由，，，則，又，，所以，又，，所以，所以，故D正確.故選：BCD.10.隨機變量，分別服從正態分布和二項分布，且，，則（）A. B.C. D.【正確答案】ACD【分析】先計算出正態分布與二項分布的期望與方差可判斷AB；再分別計算正態分布與二項分布對對應隨機變量的概率可判斷CD.【詳解】對于正正態分布，可得其期望，，對于二項分布，可得，，所以，，故A正確；B錯誤；由于正態分布具有對稱性，由，可得，故C正確；對于，可得，所以，所以，故D正確.故選：ACD.11.設函數的定義域為為奇函數，為偶函數，當時，，則下列結論正確的是（）A. B.為奇函數C.在上為減函數 D.方程僅有6個實數解【正確答案】ABD【分析】根據為偶函數和為奇函數可得即可判斷A；利用函數的奇偶性建立方程，證明為一個周期函數，即可判斷B；根據函數的單調性、對稱性和周期性即可判斷C；利用數形結合的思想，結合圖形即可判斷D.【詳解】A：為偶函數，故，令，得，為奇函數，故，令，得，其中，所以，故A正確；B：因為為奇函數，則,得，又為偶函數，則，得，所以，令得，即，則，即，所以8為函數的一個周期.故，所以，從而為奇函數，故B正確；C：在區間上是增函數，且的圖象關于點對稱，所以在上單調遞增，又周期為8，故在上單調遞增，故C錯誤；D：作出與的大致圖象，如圖所示，其中單調遞減且，所以兩函數圖象有6個交點，故方程僅有6個實數解，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則________.【正確答案】【分析】利用兩角和與差的余弦公式和同角的商數關系即可求解.【詳解】由，可得，所以，所以，所以.故答案為.13.已知是等差數列，是公比為2的等比數列，且，則______．【正確答案】【分析】根據題意和等差數列、等比數列的通項公式可得、，進而得，即可求解.【詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由，得，即①；由，得，即②，由①②，得，所以.故答案為.14.設函數，若的圖象過點，且曲線在處的切線也過點，則__________.【正確答案】【分析】根據給定條件，利用導數的幾何意義求出切線方程，建立方程組求出.【詳解】函數，求導得，則，而，因此曲線在處的切線方程為，依題意，，所以.故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在梯形中，，，.（1）若，求的長；（2）若，求.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理進行求解即可；（2）利用余弦定理進行求解即可.【小問1詳解】中，由正弦定理得，則.【小問2詳解】因為，所以.由余弦定理得，則，所以.16.如圖，三棱柱的底面是邊長為2的等邊三角形，為的中點，，側面底面.（1）證明：；（2）當時，求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用面面垂直求證平面即可；（2）求證即可建立坐標系，再分別求兩個平面的法向量.【小問1詳解】證明：等邊三角形中，為中點，，側面底面，側面底面，又平面平面，又平面.【小問2詳解】在中，，，.由（1）知，平面，又平面，兩兩垂直，以分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設平面的法向量為，則不妨取，則，平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則不妨取，則，平面的一個法向量為.記平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為.17.已知點，，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是.（1）求動點的軌跡方程；（2）直線與曲線交于，兩點，直線，的斜率之和為0，且，求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）設，由斜率公式根據，進而可得；（2）由題意可得，，進而可得直線，，分別聯立橢圓方程可得點，，進而可得，，即可得的面積.【小問1詳解】設，由題意有：，化簡得：，又，故所求動點的軌跡方程為.【小問2詳解】設直線的傾斜角為，由，得，得，故，，即，，聯立，解得或2（舍），故，聯立，解得或2（舍），故，又，，，故.18.已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）若，求函數在區間上的零點個數.【正確答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【分析】（1）求導，再分和兩種情況討論即可得解；（2）結合（1）分，和兩種情況討論，求出函數的單調區間及極值，再結合零點的存在性定理即可得解.【小問1詳解】定義域為，由題意得，當時，恒成立，所以在上單調遞增.當時，由，得，由，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增，綜上所述，當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為；【小問2詳解】，由（1）知當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，因為，，所以由零點存在性定理知，函數在上有1個零點；當時，若，則，若，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，可得，當時，，此時在上有1個零點，當時，，因為當時，，，所以此時上有2個零點，當時，，此時在上無零點，綜上，當或時，在上有1個零點；當時在上有2個零點；當時在上無零點.方法點睛：利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.19.北湖生態公園有兩條散步路線，分別記為路線和路線.公園附近的居民經常來此散步，經過一段時間的統計發現，前一天選擇路線的居民第二天選擇路線和路線的概率均為；前一天選擇路線的居民第二天選擇路線和路線的概率分別為和.已知居民第一天選擇路線的概率為，選擇路線的概率為.（1）若有4位居民連續兩天去公園散步，記第二天選擇路線散步的人數為，求的分布列及期望；（2）若某居民每天都去公園散步，記第天選擇路線的概率為.（i）請寫出與的遞推關系；（ii）設，求證.【正確答案】（1）分布列見解析，（2）（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）先求居民第二天路線的概率，然后根據二項分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二項分布期望公式可得期望；（2）（?。┓治龅谔爝x擇路線，和路線情況下第天選擇路線的概率，再由全概率公式列式，利用構造法求出關系式；（ⅱ）由（ⅰ）構造法求出通項公式，再借助放縮法及等比數列前和公式推理得證.【小問1詳解】記附近居民第天選擇路線