2024-2025學年廣東省深圳市高二下學期第一次月考數學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.函數的單調減區間是（）A. B. C. D.【正確答案】D分析】求導，令，解不等式即可.【詳解】，定義域為，，令x?1x<0x>0故D2.已知函數，則（）A. B.0 C. D.1【正確答案】A【分析】先求導數，再求.【詳解】，所以.故選：A3.已知直線是曲線的切線，則切點坐標為（）A.（，-1） B.（e，1） C. D.（0，1）【正確答案】B【分析】根據曲線圖象上過原點的切線，來求得切點的坐標.【詳解】直線過原點，設是曲線上任意一點，，所以在點的曲線的斜率為，所以在點的曲線的切線方程為，即，將代入上式得，所以切點為.故選：B4.某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數表示，則該物體在s時的瞬時速度為（）A.0m/s B.1m/s C.2m/s D.3m/s【正確答案】D【分析】根據瞬時速度的概念即可利用平均速度取極限求解.【詳解】該物體在時間段上的平均速度為，當無限趨近于0時，無限趨近于3，即該物體在s時的瞬時速度為3m/s．故選：D5.函數（）A.有最值，但無極值B.有最值，也有極值C.既無最值，也無極值D.無最值，但有極值【正確答案】C【分析】利用導數研究在上的單調性，即可判斷各項是否符合.【詳解】，則，，所以在上單調遞減，無最大值和最小值，也無極值．故選：C6.已知是的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由導數的幾何意義可知，原函數先增長“迅速”，后增長“緩慢”.【詳解】由題中的圖象可以看出，在內，，且在內，單調遞增，在內，單調遞減，所以函數在內單調遞增，且其圖象在內越來越陡峭，在內越來越平緩．故選：D．7.已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意，函數在上單調遞增，即每段函數均為增函數，且當時，前一段函數的函數值不大于后一段函數的函數值，列出不等式組，即得解【詳解】①當時，只需時顯然成立，時，，令，，可得函數的減區間，增區間為，故有，得；②當時，，有.③當時，，即.故實數的取值范圍為.故選：B本題考查了已知分段函數的單調性求參數范圍，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算能力，屬于中檔題8.函數在上的最大值為2，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求得導函數的解析式，根據導函數在區間(0,2)內的正負的不同情況,分類討論研究函數的單調性和最大值，從而求得實數的取值范圍.【詳解】解:由函數的解析式可得:，當≤0時,即時，在內恒成立，函數在區間上單調遞增,而,不合題意;當≥2，即時,在內恒成立，函數導函數在區間[0,2]上單調遞減,而f(0)=2,滿足題意;當，即時，在區間上,函數單調遞減,在區間上,函數單調遞增，滿足題意時有,即:,解得,此時,綜上可得,實數的取值范圍是[4,+∞).故選:D.本題考查利用導數研究函數的最值，關鍵是分類討論思想的運用.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.若答案是2個的，每個給3分，若答案是3個的，每個給2分）9.（多選）下列函數中，在區間上為增函數的是（

）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】根據正弦函數的單調性及導函數在區間上的正負分別判斷各個選項.【詳解】對于A：單調遞減，A選項錯誤；對于B：當x>1,y對于C：當x>1,y對于D：當x>1,y故選：BC.10.用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位偶數，下列正確的選項有（

）A.如果個位數是0，則前3位有種排列B.如果個位是2或4，則前3位有種排列C.符合題意的四位偶數共有156種D.符合題意的四位偶數共有300種【正確答案】ABC【分析】對于A：直接排前三位即可；對于B：先排首位，再排中間兩位；對于CD：結合選項AB分析求解即可.【詳解】對于選項A：若末位是0時，前三位從1至5中任選3個排至前三位即可，所以有種排列，故A正確；對于選項B：若末位是2或4時，則首位不能為0，有種排放，中間兩位從剩余的4個數字中任選2個排列，有種排放，所以前3位有種排列，故B正確；對于選項CD：若個位數是0，由選項A可知有種排法；若個位是2或4，由選項B可知有種排法；所以符合題意的四位偶數共有種，故C正確，D錯誤；故選：ABC.11.如圖，c為函數的極小值點，已知直線與曲線相切于A、B兩點，設A，B兩點的橫坐標分別為a，b，函數，下列說法正確的有（）A.有極大值，也有極小值B.是的極小值點C.是的極大值點D.是的極大值點【正確答案】AB【分析】結合導函數的幾何意義，在對應區間上判斷與的大小關系，進而利用導數判斷函數的單調性，從而判斷極大值與極小值，進而結合選項即可得出結論.【詳解】設c為函數的極小值點，=，當時，，故，在上單調遞減，故在處取得極小值，同理在處取得極小值，由連續函數的性質可得函數有極大值，故AB正確，C錯誤，由題意，，所以不是的極大值點，故D錯誤.故選：AB.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若曲線在處有最值，則實數的值為_________【正確答案】1【分析】先求出導函數，再根據函數單調性得出最值即可求參.【詳解】曲線，定義域，所以，當時，所以單調遞減，無最大值不合題意；當時，x>a,f'x<0,fx單調遞減，因為函數在處有最值，所以故13.已知函數在區間上不單調，則實數的取值范圍為___________.【正確答案】【分析】由于函數在區間上不單調，等價于函數在區間上存在極值點，對函數求導，對分類討論，求出極值點，根據極值點在區間內，可得關于的不等式，即可求出結果．【詳解】由.①當時，函數單調遞增，不合題意；②當時，函數的極值點為，若函數在區間不單調，必有，解得.故答案為.關鍵點點睛：由于函數在區間上不單調，等價于函數在區間上存在極值點，這是解決本題的關鍵點和突破點.14.瑞士著名數學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標系中為直角三角形，其直角頂點在軸上，點是斜邊上一點，其“歐拉線”是正切曲線以點為切點的切線，則點的坐標為______.【正確答案】【分析】由題意的“歐拉線”即為直線，求出正切曲線在點處的切線方程，即的方程，令可得答案.【詳解】因為是直角三角形，所以其垂心為直角頂點，其外心為斜邊的中點，故的“歐拉線”即為直線，由題設知直線即為正切曲線以點為切點的切線，又點在斜邊上，故的外心即為點，由所以正切曲線在點處的切線的斜率為故其“歐拉線”的方程為，令，得，所以∴.故關鍵點睛：本題考查利用導數求切線方程和新定義的應用，解答本題的關鍵由“歐拉線”的定義結合為直角三角形，利用條件得出的“歐拉線”即為直線，由導數的幾何意義求出切線方程，可得答案，屬于中檔題.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15若，，求：（1）的單調增區間；（2）在上的最小值和最大值.【正確答案】(1)增區間為;(2).【詳解】分析：（1）求導，解不等式得到的單調增區間；（2）求出極值與端點值，經比較得到在上的最小值和最大值.詳解：（1），由解得，的增區間為；（2），（舍）或，,,，點睛：函數的最值(1)在閉區間上連續的函數f(x)在上必有最大值與最小值．(2)若函數f(x)在上單調遞增，則f(a)為函數的最小值，f(b)為函數的最大值；若函數f(x)在上單調遞減，則f(a)為函數的最大值，f(b)為函數的最小值．16.已知首項為1的等差數列滿足：成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足：，求數列的前項和.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差數列的通項公式得答案；（2）令，得，兩式相減得，又，即得【小問1詳解】設公差為d，又成等比數列，所以，又，即，解得或，而時，不滿足成等比數列，所以，所以【小問2詳解】令，所以，兩式相減有：，所以數列的前項和為，即，又，所以，所以.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，．（1）證明：直線平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點，連接，利用面面垂直性質定理可得平面，可得，進而由已知可得，可證平面；（2）連接，可證兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法可求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】取的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以，又，，所以，所以，又，平面，所以平面.【小問2詳解】連接，因為，所以，又，所以是二面角的平面角，又平面平面，所以，以為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由（1）知，平面，又平面，所以，且，則，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，所以平面的一個法向量為，設直線與平面所成的角為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為．18.已知函數.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實數的值；（2）若函數在區間上為增函數，求實數的取值范圍（3）若在定義域內有兩個零點，求實數的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用導數的幾何意義得到處切線的斜率，然后利用垂直列方程求解即可；（2）根據在上單調遞增，得到在上恒成立，然后分離參數得到，將恒成立問題轉化為最值問題，然后求最值即可；（3）分和兩種情況討論的單調性，然后利用零點存在性定理求解即可.【小問1詳解】，則，因為切線與直線垂直，所以，解得.【小問2詳解】，則，在上單調遞增，所以在上恒成立，即，令，則，當時取得最小值，，所以.【小問3詳解】當時，，則單調遞增，不可能有兩個零點；當時，時，；時，，則在上單調遞增，上單調遞減，，解得，此時，，，令，則，，所以當時，單調遞減，，所以當時，，即,所以所以有兩個零點，故.19.已知橢圓的上頂點為，離心率為是橢圓上不與點重合的兩點，且.（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線恒過定點；（3）求面積最大值.【正確答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）由題意得到的方程組，求解即得；（2）設直線的方程為：，聯立橢圓方程，由韋達定理，結合，即可求得的值，從而得解；（3）由弦長公式，結合三角形面積公式及函數單調性即可求解.【小問1詳解】依題意有解得，橢圓的方程為.【小問2