2024-2025學年福建省三明市沙縣區高一下學期第一次月考（3月）數學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分、共40分，在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若（，是虛數單位），則的值分別等于（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據復數相等定義求值即可.【詳解】根據復數相等的定義，可得.故選：A.2.已知向量，若，則（）A.1 B. C.2 D.【正確答案】C【分析】因，則=0，后由數量積的坐標運算法則可得答案.【詳解】因，則，得.故選：C3.已知為不共線向量，，則（）A.三點共線 B.三點共線C.三點共線 D.三點共線【正確答案】A【分析】運用向量的加法運算，求得，從而得出結論.【詳解】因為，所以三點共線，故選：A．4.已知中，，，，則等于（）A. B. C. D.5【正確答案】A【分析】利用余弦定理可直接求出.【詳解】在中，，由余弦定理得，所以.故選：A.本題考查余弦定理解三角形，一般地，如果知道三角形的兩邊及其夾角，求第三邊時通常利用余弦定理，本題屬于基礎題.5.設與的夾角為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】直接根據投影向量的公式計算即可.【詳解】在上的投影向量為：.故選：B6.在中，為的中點，為的中點，若，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由向量的線性運算結合圖形特征，求出的值即可.【詳解】在中，為的中點，為的中點，則，所以，.故選：B7.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時的形制與格局.因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.自古有"洞庭天下水，岳陽天下樓"之美譽.小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線，如圖，測得，，米，則岳陽樓的高度約為(，)（）A.米 B.米 C.米 D.米【正確答案】B【分析】在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.【詳解】Rt△ADC中，，則，Rt△BDC中，，則，由AC-BC=AB得，約為米.故選：B8.如圖，是邊長2的正方形，為半圓弧上的動點（含端點）則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據數量積的幾何意義結合已知圖形得出的最值，再利用數量積即可求出.【詳解】，由投影的定義知，結合圖形得，當過P的直線與半圓弧相切于P點且平行于BC時，最大為，此時；當P在C或B點重合時，最小為，此時∴故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.已知是平面內的一組基底，則下列向量中能作為一組基底的是（）A.和 B.和 C.和 D.和【正確答案】ABD【分析】根據不共線的向量可作為一組基底判斷.【詳解】解：對于A，與不共線，故可作為一組基底，故A正確；對于B，和不共線，故可作為一組基底，故B正確；對于C，，故不能作為一組基底，故C錯誤；對于D，和不共線，故可作為一組基底，故D正確.故選:ABD.10.在復平面內，復數對應的點為則（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】由對應點的坐標寫出復數，然后由復數的運算法則計算后判斷．【詳解】，正確，錯誤，正確，錯誤故選：AC．11.已知中，其內角A，B，C的對邊分別為a，b，c下列命題正確的有（）A.若，則B.若，，則外接圓半徑為10C.若，則為等腰三角形D.若，，，則【正確答案】ACD【分析】利用三角形性質和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知B,C的正誤，利用三角形面積公式可知D正確.【詳解】因為，所以，由正弦定理，可得，即，A正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因為，所以，即，整理可得，即，因為為三角形的內角，所以，即為等腰三角形，C正確；因為，，，所以，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.化簡______【正確答案】【分析】利用向量的加、減法運算即可.【詳解】故答案為.13.在中，，則________________．【正確答案】【分析】根據正弦定理即可求得角B的大小，計算可得.【詳解】由于，由正弦定理可得，，即所以，故14.已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是_________________．【正確答案】【詳解】試題分析：因為向量與夾角為銳角，所以且與不共線，所以且，解之得：考點：向量夾角及坐標運算.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知復數.（1）若z為實數，求m值：（2）若z為純虛數，求m值；（3）若復數z對應的點在第一象限，求m的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根據復數為實數的性質進行求解即可；（2）根據純虛數的定義進行求解即可；（3）根據第一象限點的坐標特征進行求解即可.【小問1詳解】因為z為實數，所以；【小問2詳解】因為z為純虛數，所以；【小問3詳解】因為復數z對應的點在第一象限，所以.16.平面內給定兩個向量，（1）求；（2）若，求實數k的值.【正確答案】（1）（2）.【分析】（1）根據數乘向量以及向量加法的坐標運算得到的坐標，再利用坐標計算模長；（2）根據數乘向量以及向量加減法的坐標運算分別計算出兩個共線向量的坐標，利用向量共線的坐標表示可求解.【小問1詳解】因為，，所以，則【小問2詳解】由題意，，.因為，則，解得.17.在中，角所對的邊分別為，，，且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求的面積.【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據余弦定理進行求解即可；（Ⅱ）根據余弦定理，結合三角形面積公式進行求解即可.【詳解】解：（Ⅰ），由余弦定理知，，又，所以，（Ⅱ）由，代入得，解得（舍去負根），所以的面積.18.設河寬，水流的速度，船在靜水中的速度，則船必須朝哪個方向開，才能保證：（1）所走的路程最短？（2）所用的時間最短？【正確答案】（1）船朝著與水流方向成角的方向開，才能保證所走的路程最短；（2）船朝著與河岸垂直方向開，才能保證所用的時間最短.【分析】（1）當船的實際速度垂直河岸方向時，所走的路程等于點到直線的距離，為最短路程，根據題意求出相關夾角即可確定船頭方向；（2）當船頭方向不與河岸垂直時，會得到一個比小的垂直于岸邊的速度，用時更長，故船頭方向與河岸垂直時用時最短.【小問1詳解】根據題意，船在靜水中的速度為，水流的速度為，設船的實際速度為，則.如圖1，在直角三角形中，，所以.此時，船的實際速度的方向與河岸垂直，路程最短.所以，船朝著與水流方向成角的方向開，才能保證所走的路程最短.【小問2詳解】如圖2，當船頭方向與河岸垂直時，行駛時間為為最短.所以，船朝著與河岸垂直的方向開，才能保證所用的時間最短.19.在平行四邊形中，是的中點，交于點，，，的夾角為.（1）若，求的值：（2）當點在平行四邊形的邊和上運動時，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）以為基底表示出，再通過向