2024-2025學年安徽省蚌埠市高二下學期第一次四校聯考數學檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的，選對得5分，選錯得0分．1.設數列的前項和，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據給定條件，利用數列前項和與第項的關系求出.【詳解】數列的前項和，則.故選：A2.要排一份有5個獨唱節目和3個舞蹈節目的節目單，如果舞蹈節目不排在開頭，并且任意兩個舞蹈節目不排在一起，則不同的排法種數是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先排5個獨唱節目共種；再排舞蹈節目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，從剩下5個空中選3個插空共有種，可得選項.【詳解】第1步，先排5個獨唱節目共種；第2步，排舞蹈節目，不相鄰則用插空法，且保證不放到開頭，從剩下5個空中選3個插空共有種，所以一共有種排法．故選：C.方法點睛：本題主要考查排列的應用，屬于中檔題.常見排列數的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優先法”；（4）特殊元素順序確定問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數.3.如圖是函數的導函數的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在上是增函數 B.在上是減函數C.當時，取得極小值 D.當時，取得極小值【正確答案】D【分析】利用導數與函數單調性間的關系及極值的定義，結合圖象，對各個選項逐一分析判斷，即可求解.【詳解】對于選項A，由圖知，當時，的符號有正有負，不是單調的函數，所以選項A錯誤，對于選項B，由圖知，當時，是增函數，所以選項B錯誤，對于選項C，由圖知，且在左側附近，，在右側附近，，所以是極大值點，在處取到極大值，所以選項C錯誤，對于選項D，由圖知，且在左側附近，，在右側附近，，所以是極小值點，在處取到極小值，所以選項D正確，故選：D.4.某科研小組培育一種水稻新品種，由第1代1粒種子可以得到第2代120粒種子，以后各代每粒種子都可以得到下一代120粒種子，則第10代得到的種子數為（）參考數據：，A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據指數函數模型計算即可.【詳解】由題意，第10代得到的種子數為故第10代得到的種子數約為故選：C.5.已知，，，則的大小關系為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據已知條件，通過構造函數，利用導數研究函數的單調性，再利用單調性比較函數值的大小.【詳解】因為，，，構造函數，因為，由，得到，由，得到，所以在區間上單調遞減，因為，，，因為，所以，故選項A，C，D錯誤，選項B正確，故選：B.6.設等差數列的前n項和為，且公差不為0，若，，，成等比數列，，則（）A.7 B.8 C.10 D.123【正確答案】C【分析】設公差為，由題意可得方程組，解方程組求出可得答案.【詳解】設公差為，由題意可得，即，解得舍去，或，所以，可得.故選：C.7.已知數列的通項公式為，，當時，成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由題意知是遞增數列，，得，代入解析式得，根據恒成立條件即得.【詳解】由，當時，成立，即數列遞增，則對于任意的，都有.已知，則有恒成立，即對于任意的都成立，因為當時，，所以.故選：C.8.已知點P在曲線y=上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是（）A.[0,) B. C. D.【正確答案】D【詳解】試題分析：因為，所以，選A.考點：導數的幾何意義、正切函數的值域.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.在遞增的等比數列中，是數列的前項和，若，，則下列說法正確的是（）A. B.數列是等比數列C. D.數列是公差為的等差數列【正確答案】AD【分析】先根據條件求解出的值，然后根據的單調性求解出，利用，即可判斷選項A的正誤，對于選項B、C和D，根據條件，先求出，再等差數列、等比數列的定義，即可求解.【詳解】因為是等比數列，所以，又因為，由，解得或，又因為數列是遞增數列，所以，對于選項A，因為，所以選項A正確，對于選項B，因為，所以，所以，所以不為常數，所以選項B錯誤，對于選項C，因為，所以，所以選項C錯誤，對于選項D，因為，所以，所以，則是等差數列，且公差為，所以選項D正確，故選：AD.10.某醫院派出甲、乙、丙、丁4名醫生到A，B，C三家企業開展“面對面”義診活動，每名醫生只能到一家企業工作，每家企業至少派1名醫生，則下列結論正確的是（）A.所有不同分派方案共種B.所有不同分派方案共36種C.若甲必須到A企業，則所有不同分派方案共12種D.若甲，乙不能安排到同一家企業，則所有不同分派方案共30種【正確答案】BCD【分析】先將四人分成三組，然后分配到三個企業即可判斷AB；分企業有兩人和企業只有一人，兩種情況討論即可判斷C；先求出甲，乙安排到同一家企業的種數，再利用排除法求解即可.【詳解】由題意，所有不同分派方案共種，故A錯誤，B正確；對于C，若甲必須到A企業，若企業有兩人，則將其余三人安排到三家企業，每家企業一人，則不同分派方案有種，若企業只有一人，則不同分派方案有種，所以所有不同分派方案共種，故正確；對于D，若甲，乙安排到同一家企業，則將剩下的兩人安排到另外兩家企業，每家企業一人，則有種不同的分派方法，所以若甲，乙不能安排到同一家企業，則所有不同分派方案共種，故D正確.故選：BCD.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.在上單調遞增 B.不等式的解集為C.若恒成立，則 D.若，則【正確答案】BCD【分析】對于A，利用導數與函數單調性間的關系，直接求出單調區間，即可求解；對于B，利用選項A中結果，結合，即可求解；對于C，分和兩種情況，當時，恒成立，當，根據條件可得，構造函數，求出的最大值，即可求解；對于D，根據條件得到，再結合選項A的結果，即可求解.【詳解】對于選項A，因為，由，得到，當時，，當時，，即在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，所以選項A錯誤，對于選項B，由得到，由（1）知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，且當時，，又，所以的解集為，故選項B正確，對于選項C，由，得到，當時，恒成立，當時，由，得到，所以，令，則，當時，，當時，，則在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，所以，則，故選項C正確，對于選項D，由，得到，則，由選項A知，在區間上單調遞增，所以，則，故選項D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線過原點的切線方程為__________.【正確答案】【分析】設切點，求導，即可根據點斜式求解切線方程，進而根據直線過原點即可求解切點坐標，進而可求解.【詳解】由得設切點為，則切線方程為由于切線經過原點，所以，解得，所以切線方程為，即，故13.用紅、黃、藍、綠四種顏色給如圖中五個區域進行涂色，要求相鄰區域所涂顏色不同，共有_________種不同的涂色方法.（用數字回答）【正確答案】【分析】按照使用了多少種顏色涂色分兩類計數，再相加即可得解.【詳解】若四種顏色全部用到，則同色或同色，則共有種；若只用三種顏色涂色，則同色且同色，共有種，根據分類加法計數原理可得，共有種涂色方法.故答案為.14.已知函數，則不等式的解集為__________.【正確答案】【分析】利用導數判斷單調性，再判斷奇偶性，即可求解不等式.【詳解】由得，所以函數是R上的增函數，又由得函數是奇函數，則由得，所以，解得.故答案.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.現有0，1，2，3，4這五個數字，回答下列兩個問題．（1）用這5個數字能夠組成多少個無重復數字的五位數？（2）用這5個數字能夠組成多少個無重復數字的五位偶數？【正確答案】（1）96；（2）60.【分析】（1）先排數字0，再排其它4個數字即可計算得解；（2）選偶數先排個位數，分個位數字為0和個位數字為2或4兩種情況，再排其它數位；【小問1詳解】先排數字0，0只能占除最高位外的其余四個數位，有種排法，再排四個非0數字有種，由分步乘法計數原理得，所以能組成96個無重復數字的五位數；【小問2詳解】當個位數字為0時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，當個位數字為2或4時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，所以用這5個數字能夠組成組成個無重復數字的五位偶數；16.已知函數在處取得極值.（1）求函數的解析式及單調區間；（2）求函數在區間的最大值與最小值.【正確答案】（1），單調遞增區間為，單調遞減區間為；（2）最大值為2，最小值為.【分析】（1）求導，根據，求出，求出解析式，并解不等式，求出單調區間；（2）在（1）基礎上，得到函數極值情況，和端點值比較后得到答案.【小問1詳解】，由題意得，即，解得，故解析式為，定義域為R，令，令得或，令得，故上單調遞增，在上單調遞減，顯然為極小值點，故，單調遞增區間為，單調遞減區間為，【小問2詳解】由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，表格如下：1+0-0+單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增又，故的最大值為2，最小值為.17.設數列的前n項和為，已知．（1）證明：數列是等比數列；（2）若數列滿足，，求數列的前14項的和．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據已知得出，結合前項和與通項的關系將已知與得出的式子兩式做減，再化簡即可得出，即可證明；（2）根據（1）得出，結合已知即可得出當為偶數時，即，將數列的前14項從第2項開始兩兩分組，再結合等比數列求和公式即可得出答案.【小問1詳解】，則，，得，即，，即令中，得，解得，則是首項為1，公比為2的等比數列．【小問2詳解】由（1）知，則，，且，當為偶數時，，即，，，．18.已知函數．（1）若函數在點處的切線與直線垂直，求a的值；（2）討論函數的單調性；（3）若有兩個零點，求a的取值范圍．【正確答案】（1）（2）當時，在上為減函數，當時，在上是減函數，在上是增函數．（3）【分析】（1）對求導，由已知可得，解方程即可求解的值；（2）對分類討論，由導數與單調性的關系求解即可；（3）對分類討論，結合（2）中結論，結合零點存在性定理即可求解的取值范圍．【小問1詳解】由，求導得，直線的斜率為，又函數在點處的切線與直線垂直，所以，即，解得．【小問2詳解】因為，，所以當時，，所以在上單調遞減；當時，，令，解得，當，解得，當，解得，所以時，單調遞減，時，單調遞增．綜上，可知：當時，在上減函數，當時，在上是減函數，在上是增函數．【小問3詳解】①若，由（2）可知：最多有一個零點，②當時，由（1）可知：當時，取得最小值，，由于均為上單調遞增函數，所以函數在單調遞增，當時，，故當時，，故只有一個零點，當時，由，即，故沒有零點，當時，，，由，故在有一個零點，假設存在正整數，滿足，則，由，所以，因此在上有一個零點．綜上，的取值范圍為．方法點睛：對于利用導數研究函數的綜合問題的求解策略，1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．19.已知.（1）求證：當時，；（2）設.（ⅰ）求證：數列為遞減數列；（ⅱ）求證.【正確答案】（1）證明見解析（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）對函數求導，并構造，利用導數判斷出函數的單調性和最值，即可證明出不等式；（2）（ⅰ），令，，構造函數并求導，即可求解函數的單調性，從而得到數列