2025屆高中畢業班適應性考試高考數學仿真模擬試題（一模）注意事項：1．答題前，考生務必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的姓名、準考證號分別填寫在試卷和答題卡規定的位置上。2．答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其它答案。非選擇題的答案必須使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題卡上相應的區域內，寫在本試卷上無效。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B．C． D．2．下列命題中的假命題是（）A．， B．，C．， D．，3.若，則等于（）.A． B． C． D．4.二項式的展開式中項的系數為，則（）A.4 B.5 C.6 D.75.設數列，均為等差數列，它們的前項和分別為，，若，則（）A. B. C. D.6．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為，向山頂前進到達B處，又測得C對于山坡的斜度為，若，山坡對于地平面的坡度為，則等于（）A． B． C． D．7.已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A.[–1，0） B.[0，+∞） C.[–1，+∞） D.[1，+∞）8.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=BB1=1，M是AC的中點，則三棱錐B1－ABM的外接球的表面積為（）二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.Keep是一款具有社交屬性的健身APP，致力于提供健身教學、跑步、騎行、交友及健身飲食指導、裝備購買等一站式運動解決方案.Keep可以讓你隨時隨地進行鍛煉，記錄你每天的訓練進程.不僅如此，它還可以根據不同人的體質，制定不同的健身計劃.小明根據Keep記錄的2019年1月至2019年11月期間每月跑步的里程(單位：十公里)數據整理并繪制了下面的折線圖.根據該折線圖，下列結論正確的是（）A.月跑步里程最小值出現在2月B.月跑步里程逐月增加C.月跑步里程的中位數為5月份對應的里程數D.1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小10．歐拉公式（本題中e為自然對數的底數，i為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉創立，該公式建立了三角函數與指數函數的關系，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”依據歐拉公式，則下列結論中正確的是（

）A．復數為純虛數B．復數對應的點位于第二象限C．復數的共軛復數為D．復數在復平面內對應的點的軌跡是圓11．雙曲線C：的左?右焦點分別為，，若在雙曲線C上存在一點M使得為直角三角形，且該三角形某個銳角的正切值為，那么該雙曲線的離心率可能為（

）A． B． C． D．5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，滿足，，則______．13.甲、乙等5名同學參加志愿者服務,分別到三個路口硫導交通,每個路口有1名或2名志原者,則甲、乙在同一路口的分配方案共有種數________(用數字作答).14.已知直線與圓交于、兩點，直線垂直平分弦，則的值為____________，弦的長為____________.解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）已知中，，D為AB中點，.(1)若，求AC的長度；(2)若，求的值.16．（本小題滿分15分）如圖，在三棱臺中，，，，，．

(1)證明：平面平面；(2)設是的中點，求平面與平面夾角的余弦值．17．（本小題滿分15分）雙曲線的光學性質如下：如圖1，從雙曲線右焦點發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為分別為其左、右焦點，若從右焦點發出的光線經雙曲線上的點和點反射后（在同一直線上），滿足.

(1)當時，求雙曲線的標準方程；(2)過且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于兩點，點是線段的中點，試探究是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.18．（本小題滿分17分）已知函數，，.(1)若，求證：；(2)若函數與函數存在兩條公切線，求的取值范圍.19．（本小題滿分17分）現有一種不斷分裂的細胞，每個時間周期內分裂一次，一個細胞每次分裂能生成一個或兩個新的細胞，每次分裂后原細胞消失，設每次分裂成一個新細胞的概率為，分裂成兩個新細胞的概率為；新細胞在下一個周期內可以繼續分裂，每個細胞間相互獨立.設有一個初始的細胞，在第一個周期中開始分裂，其中.(1)設結束后，細胞的數量為，求的分布列和數學期望；(2)設結束后，細胞數量為的概率為.（i）求；（ii）證明.數學答案一、選擇題題號12345678答案ABACBCCB二、多選題題號91011答案ACDABDACD三、填空題12.13.1814(1).(2).四、解答題15（1）在中，由余弦定理得，，，在中，，所以AC的長度為2.（2）設BC＝x，則AC＝2x，在和中分別利用余弦定理得，解得（負根舍）.因為，所以，在中，由正弦定理得，即.16（1）證明：

由三棱臺知：，在梯形中，取的中點，連接，因，故，四邊形是平行四邊形，∴，，所以，，即，因，所以，又因，所以，又因，所以平面，因平面，所以平面平面；（2）解：取的中點，的中點，連接，，則，因，所以，由條件知：四邊形是等腰梯形，所以，平面平面平面,平面平面∴平面，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖，

則在等腰梯形中，由平面幾何知識可得：，∴，，，，設平面的法向量，則由

得，令，得，，所以，又平面的法向量，設平面與平面的夾角為，則．17（1）延長與交于，根據，得到，再設，利用雙曲線的定義求解；（2）設，利用雙曲線的定義得到兩漸近線所在直線方程，設直線方程為，聯立求得即可.【詳解】（1）解：如圖所示：

延長與交于，因為，所以，設，則，即，，故方程為；（2）設，則，，兩漸近線所在直線方程為：，設直線方程為，將漸近線兩側平方與直線聯立，則可得，則，則，故.18.（1）當時，，構建，，則，構建，因為，所以在上單調遞增，且，所以當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；則當時，取得最小值，可得所以當時，.（2）設函數與函數的公切線分別相切于點和點因為，，所以的方程可表示為或，整理得或，則有①，②由①可得，代入②可得：,即，構建，，則,構建，則，且，令，解得；令，解得；則在上單調遞增，在上單調遞減，當時，則，可得；當時，在上單調遞增，，可得當時，，當時，；綜上所述：當時，，當時，.即當時，，即，所以在單調遞增；當時，，即，所以在單調遞減；所以，且當x趨近于時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，由上可知，要使函數與函數存在兩條公切線，只需直線與函數圖象有兩個交點，由圖可知a的取值范圍為.19（1）求出的取值及不同取值對應的概率，進而列出分布列，利用期望公式求出期望；（2）（i）求出第時分裂為個細胞的概率，再用等比數列求和公式，即可求解；（ii）求出第時分裂為個細胞的概率，再用等比數列求和公式，求出，再利用導數法確定函數的單調性，從而確定最值，即可得證.【詳解】（1）個結束后，的取值可能為,其中,，，，所以分布列為.（2）（i）表示分裂結束后共有個