2024-2025學年浙江省臺州市高一下學期3月聯考數學檢測試題考生須知：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場、座位號及準考證號（填涂）；3.所必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項符合題目要求.1.已知復數z滿足，則復數z對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】A【分析】根據題意，利用復數的運算法則，求得，結合復數的幾何意義，即可求解.【詳解】由復數z滿足，可得，所以復數在復平面內對應點位于第一象限.故選：A2.已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據投影向量的定義求解即可.【詳解】根據已知條件有：，又，所以，在上的投影向量為.故選：C3.在中，下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用誘導公式以及三角形的內角和定理逐項判斷可得結果.【詳解】對于A，因為，所以，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.4.設，，其中為虛數單位.則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據復數代數形式的除法運算化簡，若，根據復數的模的計算公式求出的取值范圍，最后根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】因為，若，則，即，解得或，所以由推不出，故充分性不成立；由可以推出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B5.定義在上的函數，若，，，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由函數的奇偶性、單調性結合對數的運算和三角函數的單調性可得.【詳解】因為在上單調遞減，在上單調遞減，所以函數在上單調遞減，又，所以是偶函數，又函數在上單調遞增，則，而在上單調遞增，則，，則，

.故選：B.6.設O是坐標原點，單位圓O上一點A，射線OA繞著O點逆時針旋轉后得到OP，P為與單位圓的交點，P的坐標為，則A的坐標為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】先由三角函數的定義得到，再利用兩角差的正余弦公式判斷.【詳解】如圖所示：設則點又所以故選：A7.如圖，在中，已知，，，，分別是，邊上的點，且，，且，若線段，的中點分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據幾何圖形中線段對應向量的線性關系，可得，，再根據并結合且，可得關于的函數式，由二次函數的性質即可求的最小值.【詳解】解：在中，，則，分別是邊的點，線段的中點分別為∴，，∴，∴兩邊平方得：，∵，∴，又∵，∴當時，最小值為，即的最小值為.故選：B.運用平面向量線性運算法則，利用平面向量數量積的運算性質是解題的關鍵.應用幾何圖形中線段所代表向量的線性關系求得，結合已知條件轉化為關于x的二次函數，再求最值.8.銳角中，角A、B、C的對邊分別為、、，滿足，若存在最大值，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用正弦定理以及二倍角公式可得，再由銳角三角形可得，將化簡再利用二次函數取得最值條件可得當時，可取得最大值，即可求得結果.【詳解】由利用正弦定理可得，即可得，又，可得；又，所以；因此，即，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因為，則，由二次函數性質可得，若存在最大值，則，解得．故選：C．關鍵點點睛：本題關鍵在于利用正弦定理得出角的關系，由三角形形狀以及誘導公式和二倍角公式，并根據二次函數取得最值的條件解不等式可得結果.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯選的得0分.9.已知，為復數，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則或D.若，則【正確答案】AC【分析】對于選項A可直接利用復數的性質進行判斷；對于C，通過取模運算即可判定；對于選項B和D，取特殊復數即可判定.【詳解】對于選項A，若，則和互為共軛復數，所以，故選項A正確；對于選項B，取，此時，，滿足，但，故選項B錯誤；對于選項C，若，則，所以或，可得或，故選項C正確；對于選項D，取，，可得，故選項D錯誤.故選：AC.10.通過等式我們可以得到很多函數模型，例如將a視為自變量x，b視為常數，那么c就是a（即x）的函數，記為y，則，也就是我們熟悉的冪函數．事實上，由這個等式還可以得到更多的函數模型．若令，（e是自然對數的底數），將a視為自變量x，則b為x的函數，記為，下列關于函數的敘述中正確的有（）A.B.，C.若，且m，n均不等于1，，則D.若對任意，不等式恒成立，則實數m的值為0【正確答案】ACD【分析】先根據題意得出的解析式，根據計算易于判斷A，B兩項，對于C項，可根據已知推出，結合基本不等式判斷；對于D項，則需要等價轉化，運用參變分離法，分區間討論得出的范圍進行判斷.【詳解】由題意知，則，對于A，，A正確；對于B，，，不妨取，則，B錯誤；對于C，，且m，n均不等于1，由得，即，結合可知，則，故，當且僅當，即時等號成立，C正確；對于D，當時，，則由恒成立，得恒成立，即恒成立，令，則，設，由于在上單調遞減，故，則，故；當時，，結合題意可知得恒成立，即恒成立，此時令，同理可得，由于在上單調遞增，在上單調遞減，故，則，故，綜合上述可知m的值為0，D正確，故選：ACD11.“圓冪定理”是平面幾何中關于圓一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點是圓內的定點，且，弦，均過點，則下列說法正確的是（）A.為定值B.當時，為定值C.當時，面積的最大值為D.的取值范圍是【正確答案】ABD【分析】過作直徑，利用向量加減幾何意義得判斷A；根據垂直關系及、數量積得運算律化簡判斷B；若為等邊三角形，可判斷C；若為中點，連接，應用向量線性運算的幾何意義及數量積的運算律、圓的性質得，進而求范圍判斷D.【詳解】如圖，過作直徑，依題意，為定值，A正確；若，則，則，又，則，同理可得，故，B正確；如圖，當時，若為等邊三角形，則，下面說明此等邊三角形存在的情況：取中點，連接，則在中，，則，又在中，，則，所以存在滿足題意的點，C錯誤；若為中點，連接，則，由題意，則，D正確.故選：ABD關鍵點點睛：本題的關鍵是根據定義及向量線性運算的幾何意義，結合數量積的運算律轉化各項數量積或乘積關系，再由圓的性質、基本不等式判斷各項正誤.三、填空題：本題共3小題，共15分.12.已知為虛數單位，若復數滿足，則取值范圍是______.【正確答案】【分析】利用復數的幾何意義，作出復數對應的點的軌跡，理解所求即軌跡上的點到點的距離，結合圖形易求距離的最大、最小值,即得范圍.【詳解】由可知，復數對應的點在以點為圓心，半徑為的圓上，而可理解為圓上的點到點的距離，作直線,交圓于點,如圖所示.顯然,當點與點重合時，,當點與點重合時，.即的取值范圍是.故答案為.13.為測量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且米，則塔的高度________米.【正確答案】【分析】設，在，，分別根據銳角三角函數定義求出，最后利用余弦定理進行求解即可.【詳解】設塔的高，在中，，同理可得，，在中，，則，，即，解得.所以塔的高度為米.故答案為.14.設與圖象的相鄰3個公共點自左向右依次為A，B，C，若，則m的值為_____.【正確答案】##【分析】作出正弦型三角函數的圖象，利用其對稱性和周期性求出點橫坐標，再代入計算即可.【詳解】作出函數的大致圖象，如圖，令，，解得，則函數的圖象與直線連續的三個公共點，，，且，則點，關于直線對稱，且，所以，所以點的橫坐標為，.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，，.（1）若，求；（2）設，若，求，的夾角.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據及數量積的運算律求出；（2）依題意可得，，將兩式兩邊平方結合兩角和差余弦公式及夾角定義得解.【小問1詳解】因為，，所以，，又因為所以.【小問2詳解】因為，且，所以，所以，，所以，，所以，即，即，所以，，所以，所以，的夾角.16.已知內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的面積為，.（1）求角B的大小；（2）若的角平分線與邊相交于點，，，求的周長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據三角形面積公式與所給面積建立等量關系，可求解，代入，可求，結合三角形內角和以及兩角和的余弦公式可求出，從而求出結果.（2）根據等面積法得到，再由余弦定理得到，即可求出，從而求出周長.【小問1詳解】解：的面積為，則，即，又，即，所以，則，，.【小問2詳解】因為的角平分線與邊相交于點，所以，即，所以，所以，又由余弦定理，即，所以，解得或（舍去），所以.17.已知銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，.（1）求；（2）求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據平面向量共線的坐標表示、三角恒等變換公式得到，再由正弦定理將角化邊，最后由余弦定理計算可得；（2）由（1）問過程知，，代入所求化簡可將所求轉化為，即先求出，化邊為角，利用三角形內角和定理、三角恒等變換、同角三角函數基本關系將轉化為關于角的三角函數式，再利用角的范圍求得的范圍.【小問1詳解】，且，，，，，，由正弦定理可得，，，，．【小問2詳解】由（1）知，，則，為銳角三角形，，則，，．．，，，，，的取值范圍為，則，所以的范圍為.18.已知函數，滿足，且在區間上單調遞增.（1）求的值；（2）設.若函數和在上有相同的最大值，求的取值范圍.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據三角恒等變換化簡，由，得，又在區間上單調遞增，可得，運算得解；（2）求出函數在區間上的最大值，可知，當時，函數在內取得最大值，可得出，然后對整數的取值進行分類討論，可得出關于實數的不等式組，即得實數的取值范圍.【小問1詳解】，由，則函數關于點中心對稱，所以，即，解得，，又在區間上單調遞增，則，即，，即，所以當時，.【小問2詳解】由（1），當時，，當時，函數取得最大值，最大值為2，而函數與存在相同的最大值，故當時，在上取得最大值2，可得，，當時，得，則，解得，當時，得，則，解得，當時，，此時，當時，，此時，綜上所述，的取值范圍為.19.定義在上的函數，如果對任意的，都有成立，則稱為階伸縮函數.（）若函數為二階伸縮函數，且當時，，求的值.（）若三階伸縮函數，且當時，，求證：函數在上無零點.（）若函數為階伸縮函數，且當時，的取值范圍是，求在上的取值范圍.【正確答案】(1)1；(2)證明見解析；(3).【詳解】試題分析：（Ⅰ）當x∈（1，2]時，，從而f（）=，由此能求出函數f（x）為二階伸縮函數，由此能求出的值．（Ⅱ）當x∈（1，3]時，，由此推導出函數在（1，+∞）上無零點．（Ⅲ）當x∈（kn，kn+1]時，，由此得到，當x∈（kn，kn+1]時，f（x）∈[0，kn），由此能求出f（x）在（0，kn+1]（n∈N*）上的取值范圍是[0，kn）．試題解析：（Ⅰ）由題設，當x∈（1，2]時，，∴．∵函數f（x）為二階伸縮函數，∴對任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（Ⅱ）當x∈（3m，3m+1]（m∈N*）時，．由f（x）為三階伸縮函數，有f（3x）=3f（x）∵x∈（1，3]時，．∴．令，解得x=