2024-2025學(xué)年浙江省杭州市高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題．本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】D【分析】利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題即可解答．【詳解】因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故命題“，”的否定為，.故選：D.2.把按斜二測畫法得到，如圖所示，其中，，那么是一個（）A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.三邊互不相等的三角形【正確答案】A【分析】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原在直角坐標(biāo)系的圖形，進而分析出的形狀．【詳解】根據(jù)斜二側(cè)畫法還原在直角坐標(biāo)系的圖形，如下圖所示：由圖得，，故為等邊三角形，故選：A3.若點A與直線能夠確定一個平面，則點A與直線的位置關(guān)系是（）.A. B.C. D.【正確答案】D【分析】由平面的基本定理判斷即可.【詳解】由直線和直線外一點確定一個平面，可得D正確，故選：D.4.已知某圓臺軸截面的周長為10、面積為，圓臺的高為，則該圓臺的表面積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】若圓臺上下底面半徑分別為且，根據(jù)已知列方程求得，再應(yīng)用圓臺的表面積的求法求結(jié)果.【詳解】若圓臺上下底面半徑分別為且，則圓臺軸截面腰長為，所以，，即，所以，可得，故，綜上，圓臺的表面積為.故選：C5.已知平面向量和滿足，在方向上的投影向量為，則在方向上的投影向量為（

）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)在方向上的投影向量可求得，再利用投影向量的定義求解即可.【詳解】向量和滿足，由在方向上的投影向量為，可得，解得，所以在方向上的投影向量為.故選：D.6.已知函數(shù)在存在最大值與最小值分別為和，則函數(shù)，函數(shù)圖像的對稱中心是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】通過分析函數(shù)，得出最大值與最小值的和，得出函數(shù)的表達式，利用對勾函數(shù)的對稱點即可得出函數(shù)的對稱點.【詳解】由題意，在中，，∴，∵最大值與最小值分別為和，∴在對勾函數(shù)中，對稱軸為，對稱點為，在中，，∴即，對稱軸為，函數(shù)為對勾函數(shù)向下平移1個單位得到，∴函數(shù)對稱點為，故選：C.關(guān)鍵點點睛：本題考查.函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)，對稱中心，函數(shù)的最值（和），考查學(xué)生的分析和處理問題的能力，計算能力，具有一定的綜合性.7.已知一個圓臺母線長為3，側(cè)面展開圖是一個面積為的半圓形扇環(huán)（如圖所示），在該圓臺內(nèi)能放入一個可以自由轉(zhuǎn)動的正方體（圓臺表面厚度忽略不計），則該正方體體積的最大值為（）A.1 B. C. D.【正確答案】B【分析】通過空間想象將圓臺內(nèi)自由轉(zhuǎn)動的正方體問題，轉(zhuǎn)化為求解圓臺內(nèi)球最大問題.先由側(cè)面展開前后圖形關(guān)系建立方程求解各相關(guān)各量等，再計算比較圓臺高與圓錐內(nèi)切球直徑的大小關(guān)系確定最大球狀態(tài)，求解半徑，進而求正方體棱長與體積可得.【詳解】要使圓臺內(nèi)能放入自由轉(zhuǎn)動的正方體的體積最大，則該正方體的外接球恰好為該圓臺內(nèi)能放入的最大的球.設(shè)圓臺的側(cè)面展開圖半圓形扇環(huán)的內(nèi)圓半徑為，外圓半徑為，則，化簡得，又圓臺母線長為，聯(lián)立，解得.設(shè)圓臺上、下底面圓半徑分別，則，解得.如圖1，還臺為錐，設(shè)上、下底面圓心為，在中，，又為銳角，則.由相似性可知，圓臺的軸截面等腰梯形的底角為，故圓臺的高.如圖2，圓錐軸截面為正三角形，則正三角形內(nèi)切圓即圓錐內(nèi)切球半徑長為，因為正三角形內(nèi)切圓直徑，故圓錐內(nèi)切球即圓臺內(nèi)能放入的最大的球，直徑為.設(shè)正方體的棱長為，由正方體外接球直徑即為體對角線可得，，解得，此時正方體的體積最大，最大為.故選：B.關(guān)鍵點點睛：解決此題中圓臺內(nèi)最大球問題，注意通過比較圓臺高與圓錐內(nèi)切球直徑的大小，從而判斷最大球何時取到.8.已知，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用作商法比較與b，利用作差法比較a與b，結(jié)合三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】，，因為當(dāng)時，，所以，則，，因為，所以，即，，綜上，.故選：B.二、多選題．本題共3小題，每小題6分，共計18分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（）A.B.C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在實軸上D.的最大值為【正確答案】ABD【分析】先設(shè)，，代入化簡，根據(jù)為純虛數(shù)得出；再根據(jù)向量模計算方法可判斷選項A，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)乘法運算可判斷選項B；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷選項C和D.【詳解】設(shè)，.則.因為為純虛數(shù)，所以，即.所以，，故選項A正確，選項B正確.因為復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點均不在實軸上，故選項C錯誤；因為的幾何意義為表示點到點，所以最大值為，故選項D正確.故選：ABD.10.已知則下列說法正確的有（）A.當(dāng)時在上單調(diào)遞增B.當(dāng)時，方程有兩個不同的實數(shù)根且C.若在時，有恒成立，則a的取值范圍為D.存在實數(shù)t，使為偶函數(shù)【正確答案】ACD【分析】將代入，得到函數(shù)解析式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷A；將代入，根據(jù)已知條件有，得到方程，利用韋達定理即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的定義域，結(jié)合對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，分和兩種情況驗證即可判斷C；求出，根據(jù)已知條件得方程，化簡求解即可判斷D.【詳解】對A選項，當(dāng)時在上單調(diào)遞增，且又在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增選項正確；對B選項，當(dāng)時令可得，，，，，B選項錯誤；對C選項，當(dāng)時，令因為恒成立，若則在恒成立，即在恒成立，因為所以恒成立，滿足條件，若，則在恒成立，即在恒成立，當(dāng)時不滿足恒成立，所以a的取值范圍是C選項正確；對D選項又為偶函數(shù)，存在使為偶函數(shù)D選項正確.故選：ACD11.已知棱長為2的正方體的棱切球（與正方體的各條棱都相切）為球，則下列說法正確的是（）A.球的體積為B.球內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為C.球在正方體外部的體積小于D.球在正方體外部的面積大于【正確答案】BCD【分析】由棱切球的半徑為,再依次判斷即可.【詳解】A.依題意，得棱切球的半徑為，則球的體積為，錯誤B.記球的內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則內(nèi)接圓柱的高為：，則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積為：，等號成立時，故球的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大值為：，正確C.球在正方體外部的體積小于球體積與正方體內(nèi)切球體積之差，即，正確D.球在正方體外部的面積等于正方體外6個球冠的表面積.每一個球冠的表面積大于這個球冠中內(nèi)接圓錐的側(cè)面積，則內(nèi)接圓錐的底面半徑為，高為，得圓錐的母線長為：，得內(nèi)接圓錐的側(cè)面積為：，所以6個球冠的表面積大于，正確故選：BCD關(guān)鍵點點睛：D項中球在正方體外部的面積等于正方體外6個球冠的表面積.每一個球冠的表面積大于這個球冠中內(nèi)接圓錐的側(cè)面積.三、填空題．本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)在上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【正確答案】【分析】令，則由題意可得在上是減函數(shù)，且在區(qū)間上恒成立，從而列不等式組可求得答案【詳解】令，因為在區(qū)間上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上恒成立，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為.13.已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為______.【正確答案】【分析】設(shè)，分析可知點C在以為直徑的圓上，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可設(shè)：，則，若，即，則，可知點C在以為直徑的圓上，即圓心為，半徑，則在方向上的投影數(shù)量的最大值為，所以的最大值為.故答案為.方法點睛：本題根據(jù)向量運算的幾何意義把題意轉(zhuǎn)化為圖形，結(jié)合圖形分析求解.14.已知某圓錐側(cè)面展開后的扇形面積為定值，設(shè)扇形的圓心角為，則當(dāng)圓錐的內(nèi)切球體積最大時，______．【正確答案】【分析】利用等面積法求出內(nèi)切球半徑，再結(jié)合基本不等式找到內(nèi)切球半徑最大時的取等條件，再利用圓心角公式求解即可.【詳解】設(shè)扇形面積為，圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，內(nèi)切球半徑為，而，由勾股定理得，而圓錐的內(nèi)切球在軸截面中與等腰三角形三邊相切，我們以內(nèi)切球的球心為頂點，向等腰三角形三邊作垂線，可將其分割為三個小三角形，其中兩個小三角形以母線為底，內(nèi)切球半徑為高，另一個小三角形以底面圓直徑底，內(nèi)切球半徑為高，由題意得圓錐軸截面的面積與以內(nèi)切球的球心為頂點分割出的小三角形面積之和相等，而軸截面面積為，而以內(nèi)切球的球心為頂點分割出的小三角形面積之和為，故，解得，則該圓錐的內(nèi)切球半徑，由扇形面積公式得，即，且記為定值，故，即，而，因為，由基本不等式得，而，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，此時，設(shè)圓錐的內(nèi)切球體積為，而由球的體積公式得，由冪函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)圓錐的內(nèi)切球體積最大時，圓錐的內(nèi)切球半徑最大，而，解得，當(dāng)最大時，由弧長公式得.故答案為.關(guān)鍵點點睛：解題關(guān)鍵是結(jié)合題意求出內(nèi)切球半徑，然后對其合理變形后利用基本不等式找到取得最大值時的取等條件，最后利用圓心角公式得到所要求的值即可．四、解答題．本題共7小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，已知，，，AC邊上的中線為BN，M為BC邊上靠近B的四等分點，連接AM交BN于點P．（1）用與表示，并計算AM的長；（2）求∠NPM的余弦值．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）方法一：根據(jù)平面向量線性運算與表示，并利用數(shù)量積運算求的模；方法二：以點A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量坐標(biāo)運算求的模；（2）方法一：根據(jù)平面向量線性運算與表示，再利用平面向量夾角公式求解；方法二：利用平面向量坐標(biāo)運算夾角.【小問1詳解】方法一：M為BC邊上靠近B的四等分點，∴．∵，∴，；∵，，，∴，∴，∴．方法二：以點A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得，，，∵AC邊上的中線為BN，∴，∵M為BC邊上靠近B的四等分點，可得．設(shè)，代入坐標(biāo)可解得，且有．【小問2詳解】方法一：∠NPM為向量與的夾角，所以，∵AC邊上的中線為BN，∴，∴，∴．∵，，∴，∴．方法二：∠NPM為向量與的夾角，所以，，，，，16.如圖，已知三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的大小；（2）若，設(shè)為三角形的角平分線，求的長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式和三角形內(nèi)角和公式求解；（2）利用面積方法和三角形的面積公式計算.【小問1詳解】由得,又因為，所以,又因為，所以,又因為,所以.【小問2詳解】因為，所以,又因為,所以,所以,故答案為.17.已知向量，，．（1）若，求x的值；（2）記，若對于任意，而恒成立，求實數(shù)的最小值．【正確答案】（1）（2）的最小值為【分析】（1）根據(jù)向量平行，得到，由求解即可；（2）利用向量的數(shù)量積運算得到解析式，由恒成立，再通過求解在的最值，即可得到的最小值.【小問1詳解】由，則，則，，，故，，由于，所以，所以，則.【小問2詳解】==+，==，∵，∴，.∵恒成立，∴，從而，即.18.若函數(shù)對定義域內(nèi)的每一個值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說明理由；（2）若函數(shù)在定義域（）上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”，若存在實數(shù)，使得對任意的，不等式都成立，求實數(shù)s的最大值．【正確答案】（1）不是“依賴函數(shù)”，理由見解析；（2）（3）最大值為.【分析】（1）由“依賴函數(shù)”的定義進行判斷即可；（2）先根據(jù)題意得到，解得：，再由，解出，根據(jù)的范圍即可求出的取值范圍；（3）根據(jù)題意分，，考慮在上單調(diào)性，再根據(jù)“依賴函數(shù)”的定義即可求得的值，代入得恒成立，由判別式，即可得到，再令函數(shù)在的單調(diào)性，求得其最值，可求得實數(shù)的最大值.【小問1詳解】對于函數(shù)的定義域內(nèi)存在，則無解，故不是“依賴函數(shù)”.【小問2詳解】因為在上遞增，故，即，，由，故，得，從而在上單調(diào)遞增，故.【小問3詳解】①若，故在上最小值為0，此時不存在，舍去；②若，故在上單調(diào)遞減，從而，解得(舍)或，從而存在.使得對任意的，有不等式都成立，即恒成立，由，得.由，可得，又在單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，從而，解得，綜上，故實數(shù)的最大值為.方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立.19.如圖1，一個正三棱柱形容器中盛有水，底面邊長為4，側(cè)棱，若側(cè)面水平放置時，水面恰好過AC，BC，，的中點．現(xiàn)在固定容器底面的一邊AB于地面上，再將容器傾斜．隨著傾斜程度不同，水面的形狀也不同．（1）如圖2，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，水面高為多少?（2）當(dāng)水面經(jīng)過線段時，水面與地面的距離為多少?（3）試分析容器圍繞AB從圖1的放置狀態(tài)旋轉(zhuǎn)至水面第一次過頂點C的過程中（不包括起始和終止位置），水面面積S的取值范圍．（假設(shè)旋轉(zhuǎn)過程中水面始終呈水平狀態(tài)，不考慮水面的波動）【正確答案】（1）6；（2）4；（3）【分析】（1）根據(jù)水的體積不變即可得解；（2）根據(jù)空氣部分的體積大小判斷水面形狀，記的中點為，連接，利用空氣部分體積求出，然后可求側(cè)棱與水平面所成角的正弦值，由可得所求；（3