數學模型競賽試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.下列哪一項不是數學模型的基本要素？

A.目標函數

B.約束條件

C.模型參數

D.模型名稱

2.在線性規劃中，目標函數通常表示為：

A.最大值

B.最小值

C.最大值或最小值

D.無限制

3.下列哪個不是常見的數學模型類型？

A.線性規劃模型

B.非線性規劃模型

C.動態規劃模型

D.模糊數學模型

4.下列哪個不是數學模型建立的基本步驟？

A.確定模型目標

B.收集數據

C.建立模型

D.模型驗證

5.在求解線性規劃問題時，如果目標函數是最大化，那么約束條件中的等式右側應該是：

A.≥

B.≤

C.=

D.無限制

二、填空題（每題5分，共25分）

1.數學模型是運用數學語言對實際問題進行抽象、簡化和概括的一種方法，它包括______、______、______等基本要素。

2.在線性規劃中，如果目標函數是最大化，那么在求解過程中，我們需要找到目標函數的______。

3.在建立數學模型時，首先要明確模型的______，這是模型建立的基礎。

4.數學模型建立的基本步驟包括：確定模型目標、______、建立模型、模型驗證。

5.在求解線性規劃問題時，如果目標函數是最大化，那么約束條件中的等式右側應該是______。

三、簡答題（每題10分，共30分）

1.簡述數學模型的基本要素。

2.簡述線性規劃模型的基本步驟。

3.簡述數學模型建立的意義。

四、計算題（每題20分，共40分）

1.某工廠生產兩種產品A和B，生產一件產品A需要3小時的人工和2小時的機器時間，生產一件產品B需要2小時的人工和3小時的機器時間。工廠每天有8小時的人工和12小時的機器時間。產品A的利潤為每件50元，產品B的利潤為每件40元。要求求解以下問題：

（1）每天生產A和B各多少件時，工廠可以獲得最大利潤？

（2）如果產品B的利潤提高到每件60元，其他條件不變，工廠的最大利潤是多少？

2.設某城市有三種類型的商店：大型商店、中型商店和小型商店。這三種商店在一個月內的銷售量分別為x、y和z。已知大型商店的月銷售量與中型商店的月銷售量之比為2:1，中型商店的月銷售量與小型商店的月銷售量之比為3:2。如果該城市的總銷售量為1000件，要求求解以下問題：

（1）大型商店、中型商店和小型商店的月銷售量分別是多少？

（2）如果大型商店的月銷售量增加50件，其他條件不變，總銷售量將如何變化？

五、應用題（每題20分，共40分）

1.某城市公交公司計劃開通一條新的公交線路，該線路需要經過三個站點：A、B和C。已知A站到B站的距離為10公里，B站到C站的距離為15公里。根據交通規劃，公交車在A站和B站之間的平均速度為60公里/小時，在B站和C站之間的平均速度為50公里/小時。要求求解以下問題：

（1）如果公交車在A站和B站之間的行駛時間為t小時，那么在B站和C站之間的行駛時間是多少？

（2）如果公交車在A站和B站之間的行駛時間為2小時，那么這條公交線路的總行駛時間是多少？

2.某公司生產一種產品，其生產過程包括兩個階段：加工和組裝。加工階段需要投入原材料和人工，組裝階段需要投入人工和設備。已知加工階段每單位產品的原材料成本為10元，人工成本為5元；組裝階段每單位產品的人工成本為3元，設備成本為2元。要求求解以下問題：

（1）如果公司計劃生產1000單位產品，那么加工階段和組裝階段的總成本是多少？

（2）如果原材料成本降低到每單位8元，其他條件不變，公司生產1000單位產品的總成本將如何變化？

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析思路：

1.D（模型名稱不是數學模型的基本要素，其他三項是）

2.B（線性規劃的目標函數可以是最大化或最小化，但通常表示為最小值）

3.D（模糊數學模型是一種特殊的數學模型，但不是常見的類型）

4.D（模型驗證是數學模型建立后的一個步驟，不是基本步驟）

5.B（線性規劃中，等式右側通常是小于等于，表示約束條件）

二、填空題答案及解析思路：

1.目標函數、約束條件、模型參數

2.最小值（線性規劃中，目標函數通常是最大化或最小化）

3.模型目標（明確模型目標是建立模型的第一步）

4.收集數據（在建立模型之前，需要收集相關數據）

5.≤（線性規劃中，等式右側通常是小于等于，表示約束條件）

三、簡答題答案及解析思路：

1.數學模型的基本要素包括：目標函數、約束條件、模型參數、模型變量等。

2.線性規劃模型的基本步驟包括：確定模型目標、建立模型、選擇合適的算法求解、分析結果。

3.數學模型建立的意義在于：可以簡化復雜問題、提供決策依據、提高解決問題的效率。

四、計算題答案及解析思路：

1.

（1）設生產A產品x件，B產品y件，則目標函數為：50x+40y

約束條件為：

3x+2y≤8（人工時間）

2x+3y≤12（機器時間）

x≥0，y≥0

（2）如果產品B的利潤提高到每件60元，則目標函數為：50x+60y

2.

（1）設大型商店月銷售量為2x，中型商店月銷售量為x，小型商店月銷售量為2/3x

則2x+x+2/3x=1000

解得x=300，2x=600，2/3x=200

所以大型商店月銷售量為600件，中型商店月銷售量為300件，小型商店月銷售量為200件。

（2）如果大型商店的月銷售量增加50件，則大型商店月銷售量為650件，其他條件不變

總銷售量為650+300+200=1150件

五、應用題答案及解析思路：

1.

（1）由速度、時間和距離的關系，可得：

10=60t

t=1/6小時

15=50(1-t)

t=3/10小時

所以B站和C站之間的行駛時間為3/10小時。

（2）總行駛時間為1/6+3/10=8/15小時。

2.

（1）加工階段總成本為10*1000+5*1000=15000元

組裝階段總成本為3*1000+2*1000=5000元