信號與系統

第一章習題

1-1畫出下列各信號的波形：(1)f&)=(2-gUH);(2)

-t

f2(t)=ecosl0ntX[U(t-l)-U(t-2)]o

答案

(1)/⑺的波形如圖1.1(a)所示.

(2)因coslO加的周期T=蓋=。2s

故力(力的波形如圖題1.1(b)所示.

圖題1.1

圖題1-2

答案

力a)=t[u(t)-u(t-1)]+u(t—i)

/；(/)=(/-2)[〃(一2)-〃(1-3)]

1-3寫出圖題1-3所示各信號的函數表達式。

3-

fl(t)

0

(a)

鼠t)

(C)

圖題1-3

答案

1(r+2)=1r+l_2<f<o

/i(0=

1/—nl-i04/42

122

f式I)=〃(/)+2)

71

f3(t)=-sin—t[u(t+2)-M(/-2)]

f4(t)=u(t+2)-2〃Q+1)+3w(r-l)-4?(r-2)+2w(r-3)

2

1-4畫出下列各信號的波形：(1)f,(t)=U(t2-l);(2)f2(t)=(t-l)U(t-l);

2

(3)f3(t)=U(t-5t+6):(4)f.i(t)=U(sinnt)°

答案

⑴/,(/)=?(/-1)+，其波形如圖題L4(a)所示.

(2)&(，)=(I--1)+〃(一，-1)]=(，-1)〃(，-1)+(/-1)U(-Z-1)其波形如圖

題1.4(b)所示.'

(3)力⑺=〃(T+2)+4(.3),其波形如圖I.、)所示.

(4)力⑺=〃($山])的波形如圖題1.4(d)所示.

f3(t)f,(t)

T----------：：------：-----：1-----!：-----：

??■0.???■????

I■■J■?,,,J

"123tF40i2?t

(c)(d)

圖題1.4

1-5判斷下列各信號是否為周期信號，若是同期信號，求其周期T。

(1)工⑴=2cos0-f)⑴.a)=[sin(Y)f

4；6；⑶

f(t)=3cos2jrtU(t)

3o

答案

周期信號必須滿足兩個條件:定義域，有周期性,兩個條件缺少任何一

個，則就不是周期信號了.

T2萬

T=——s

(1)是，3.

f(t)=3x—[1-cos(2r--)]T=—=7is

(2)23，故為周期信號，周期2.

(a)AS=2〃(-f)+〃("2),廣⑺的波形如圖題1。8(d)

所示。

(b)^(0=u(t+1)-2u(t-1)+3u(t-2)—u(t—3),⑺的波形如圖

題1。8(e)所示。

=-sin-u(t-5)]+甌)

(c)方⑺的波形如圖題1.8(f)

所示.

圖題1.8

1-9已知信號”5)

的波形如圖題1-9所示，試畫出丫仕)形如+1)1)(-1)的波

形。

圖1-9

答案

y(t)=J"+1)〃(T)的波形如圖題1.9(b)所示。

圖題1.9

1-10已知信號f(l)的波形如圖題1T0所示，試畫出信號。八2一”力"與信

口="(6-2力］.計上

號出的波形。

圖題1-10

答案

(1)/(2一。的波形與L〃2—D八的波形分別如圖題i.io(b),(0)

所示。

w—[—2f)]

⑵/(6-2/)的波形與力.的波形分別如圖題1.10(d),(e)

—[/(6-21)]=河-2)+3(t-2.5)-2b]-3)

所示。且

1/(2-/)

,f/(6-2z)

圖題1.10

1-11已知f(t)是已錄制的聲音磁帶，則下列敘述中錯誤的是(_)。

A.f(-t)是表示將磁帶倒轉播放產生的信號

B.f(2t)表示磁帶以二倍的速度加快播放

C.f(2t)表示磁帶放音速度降低一半播放

D.2f(t)表示將磁帶音量放大一倍播放

c

1-12求解并畫出圖題1-12所示信號fl(t),fz(t)的偶分量fe(t)與奇分量

fu(t)0

圖題1-12

答案

因f⑴=<a)+70⑺=3[/?+/(-0]+；[f(t)-/(-/)]式中

Z，(0=g"⑺+/(T)]/⑺=3"⑺—/(T)]。故可畫出各待求偶分量

與奇分量的波形，相應如圖題L12中所示。

fl(-t)

(g)

0.5

-0.5

(h)

圖題1.12

1-13已知信號f(t)的偶分量fc(t)的波形如圖題173(a)所示，信號

f(t+l)XU(-t-1)的波形如圖題173(b)所示。求f(t)的奇

圖題1-13

答案

因/(O=X(O+/o(O

故有/(f)〃(T)=，⑺〃(T)+/oQ)〃(T)

將信號f(t+1)〃(T-1)右曲-1+ix-r-l+1)=的

波形如圖題1。13(c)所示。又有

KQ)〃(T)=/(，)〃(一)一，(z)〃(T)

￡)0)〃(-，)的波形如圖題1.13(d)所示。

因為/。⑺是奇函數，關于坐標原點對稱，故人⑺〃Q)的波形如圖題1.13(e)

所示。最后得

?/；)(，)=￡)(，)〃(-，)+■)(/)〃(，)=〃(T-1)-1)

人⑺的波形如圖題1.13(f)所示。

1■

-1011-2-10

(b)

ffo(t)U(-t)

1-

-1

(d)

ffo(t)

1-

fo(t)U①

：

o-r?t-1(1

I

a

1-------------------1

(f)

(e)

圖題1.13

1-14設連續信號f(t)無間斷點。試證明：若f(t)為偶函數，則其一階導數

ff(t)為奇函數；若f(t)為奇函數，則其一階導數

f'(t)為偶函數。

答案

(1)若/⑺為偶函數，則有了(—，)=/“).故((T)=-TQ).故/⑺為

奇函數。

(2)若/⑺為奇函數，則有八_。=一/⑺.故/(_。=—/⑺，即

fxn==r(t).故r⑺為偶函數。

1-15試判斷下列各方程所描述的系統是否為線性的、時不變的、因果的系

統。式中f(t)為激勵，y(t)為響應。

⑴(2)y(t)=f(t)U(t)

(3)y(t)=sin[f(t)]U(t)(4)y(t)=f(l-t)

(5)y(t)=f(2t)(6)y(t)=[f(t)]2

(8)刈=￡>?"

⑺=

答案

(1)線性，時不變，因果系統

(2)線性，時變，因果系統。因為當激勵為了“)時，其響應)'e)；當激勵為

“一。)時，其響應為,⑴=/(”幻"⑺,但是

所以系統為時變系統。

(3)非線性，時變，因果系統。

(4)線性，時變，非因果系統。因為當「=0時有/⑴，即系統當前時

刻的響應決定于未來時刻的激勵，故為非因果系

統。

(5)線性，時變，非因果系統。

(6)非線性，時不變，因果系統。因為當激勵為了⑺時，響應為)'(‘)；當激

勵為好⑺時，響應為“(/)=伙/")『，但

必⑺工公《),故該系統為非線性系統。

(7)線性，時不變，因果系統。

(8)線性，時變，非因果系統。

1-16已知系統的激勵f(t)與響應y(t)的關系為則該

系統為(_)。

A線性時不變系統B線性時變系統

C非線性時不變系統D非線性時變系統

答案

A

1-17圖題1T7(a)所示系統為線性時不變系統，已知當激勵3(t)=U(t)時,

其響應為ylt)=U(t)-2U(tT)+U(t-2)°

若激勵為f2(t)=U(t)-U(t-2)，求圖題117(b)所示系統的響應y2(t)0

工(?)—>s—>y1(0力(?)—?s—?s―>>2(0

(a)(b)

圖題1-17

答案

y2(t)=u(t)-2?(r-l)+w(r-2)-2[w(/-i)-2w(/-2)+u(t-3)]+

2[w(r-3)-2〃Q-4)+u(t-5)1-[M(/-4)-2w(r-5)4-u(t-6)=

u(t)-4〃(f-1)+5〃Q-2)-5u(t-4)+-5)-u(t-6)

乃⑺的波形如圖題L17(c)所示.

fl(t)>yi(t)f2(t)-)[>Y2(t)

(b)

iy/t)

2

1aatai

,?t?■

a■?■■

■■■■A

01：2：34：5：6t

?

-1■■tt

-2-::::

圖題1.17

1-18圖題1-18⑸所示為線性時不變系統，已知h|(t)=3(t)-6(t-1),

h2(t)=6(t-2)-6(t-3)o(1)求響應h(t)；

(2)求當f(t)=U(t)時的響應y(t)(見圖題178(b))。

(1)h(l)=%(/)-h2s=b?)一加—1)—b"-2)+3Q-3)

(2)因/")=〃")=。3?)八,故根據現行系統的積分性有

xo

(b)

圖題1.18

1-19已知系統激勵f(t)的波形如圖題「193)所示，所產生的響應系t)的

波形如圖題179(b)所示。試求激勵。(t)

(波形如圖題1-19(C)所示)所產生的響應yi(t)的波形。

單)

(b)

圖題1-19

答案

用/⑺表示，⑺即

/(/)=/(/+1)-/(/-1)

故f,⑺在同一系統中所產生的響應為

必⑺=)C+l)-y(/-l)

故y(f+l)，W-l)，MQ的波形分別如圖題1.19(d),(e),(f)所示。

1-20已知線性時大變系統在信號8(t)激勵下的零狀態響應為

h(t)=U(t)-U(t-2)0試求在信號U(t-1)激勵下的零狀態

響應y(t),并畫出y(t)的波形。

答案

因有〃Q)=L陽丁財丁,故激勵〃⑺產生的響應為

)\(0=/?(7)dr=[J〃(r)一〃(r-l)]dr=

L

0

I<r<3

2r>3

故激勵-1)產生的響應為

)C)=y(z-l)=(r-iw-l)-(r-2)w(r-2)

y(t)的波形如圖題io20所示。

1-21線性非時變系統具有非零的初始狀態，已知激勵為f(t)時的全響應為

yi(t)=2e'U(t);在相同的初始狀態下，當激勵為

2f(t)時的全響應為y2(t)=(e'+cosnt)U(t)。求在相同的初始狀態下，當激

勵為4f⑴時的全響應先⑴。

設系統的冬輸入響應為》”),激勵為了⑺時的冬狀態響應為力⑺，

故有

V?)=(，)+〃0)=2e'w(r)

y2(，)=乂(，)+2、/(r)=(G'+cosTzr)w(r)

故聯解得

(r)=(3e~l—cosTZT)W(Z)

l

yf(r)=(—e~—cosM〃(T)

故得

zl

y3(/)=yx(t)+4yf(r)=3e~'-cos加+4(-e-+cos加)=(-e~+3cos加)”(f)

第二章習題

2-1.圖題2-1所示電路，求響應mH)對激勵f(t)的轉移算子II(p)及微分方程。

1H①

?(丫丫\

八八

IF：：1C限/⑴G3c

圖題2.1

答案

解其對應的算子電路模型如圖題2.1(b)所示，故對節點①，②可列出算子

形式的KCL方程為

:+為")」〃4)=")

3pp

P

;〃+1,⑺一生(1)=”0)

-(/)++〃+l)u2(/)=0

聯解得

3

電")=B薯/⑺="(〃)"')

故得轉移算子為

〃?)3

H(〃)=

7(0p2+4〃+4

S⑴對f(t)的微分方程為

(〃2+4〃+41%(/)=3/(/)

即

2■

—u->(t)+4—w,(r)4-4w?,(z)=3f(f)

atdt-

2-2圖題2-2所示電路，求響應i(t)對激勵f(t)的轉移算子H(p)及微分方理。

i(t)1Q0力

-X-i——i_^vn

+

O

CO0.5F：2Q21Pp2Q

㈤

圖超2.2

答案

解其對應的算子電路模型如圖2.2(b)所示。故得

/(/)10p+10

/(2"+11〃+30/⑺

1+0.1〃+^—

一十2

故得轉移算子為

i(t)_10〃+10

”(〃)=

/⑺/+ii〃+3o

i(t)對f(t)的微分方程為

(〃2+11〃+30)i(r)=(10p+10)/(/)

即

齊⑺+吟?)+303=102⑴+KW

2-3圖題2-3所示電路，已知w(0)=lV,i(0)=2A。求t>0時的零輸入響應

i(t)和u((t)o

N

皈)

+/

■為A

0.5F：P

----------------1

圖題2.3

答案

解其對應的算子電路模型如圖題2.3(b)所示。故對節點N可列寫出算子形

式的KCL方程為

/

13),、八

p_+一+不?(r)=0

12c

P

又有uc(t)=pi(t),代入上式化簡，即得電路的微分方程為

(p2+3p4-2)/(0=0

;(0+)=/(0~)=2

〃,(()+)=%(0一)=1

電路的特征方程為

/+3〃+2=0

故得特征根(即電路的自然頻率)為p尸-1,pk-2。故得零輸入響應的通解式為

2t

/(/)=曲卬+=A"'+A2e~

i,(t)=-Ae-,-2Ae-

又[2

故

+

有Z(O)=A,+4=2

⑴

r(o+)=-A-2A

又因有

u<(D=LEQ)

故%((T)=L"(O+)

L(-A-2A)=1

即2

-A,-2A=1

即2

⑵

式⑴與式（2）聯解得A尸5$2=-3。故得零輸入響應為

i(t)=5e~l-3e~21At>0

又得

l2t

w(.(r)=L幽=\-\5e-3e-]=一5/+Vr>0

dtdt」

解其對應的算子電路模型如圖題2.3(b)所示。故對節點N可列寫出算子形

式的KCL方程為

又有uc(l)=pi(t),代入上式化簡，即得電路的微分方程為

(p?+3p+2)i?)=0

<z(0+)=z(0")=2

應(()+)=q.(0-)=1

電路的特征方程為

p2+3〃+2=0

故得特征根(即電路的自然頻率)為p產T,P2=-2。故得零輸入響應的通解式為

p,rP2tl2t

z(r)=Ate+A2e=Axe+A2e~

又r(/)=-A^-W2f

故

有Z(O*)=A1+A2=2

(1)

W)=-A-2A2

2-4圖題2-4所示電路,t<0時S打開,已知uc(0-)=6V,i(0)=0。(1)今于t=0

時刻閉合S,求t>0時的零輸入響應W⑴和i(t；；(2)為使電路在臨界阻尼

狀態下放電，并保持L和C的值不變，求R的值。

>0

V他)

4-

Uc

圖題2.4

解（1）t>0時S閉合，故有

/（（r）=Lr（（r）=6v

/（0+）=!（0"）=0

t>0時的算子電路模型如圖題2.4（b）所示。故得t>0電路的微分方程為

2.5,、1，/、

-

-41O

(\2.51/、

W2+二+］卜&=

\164)

(p2+10/7+16)wr(/)=0

<%(0+)=/(0一)二6

z(0")=z(0)=0

其特征方程為S+10p+：6=0,故得特征根（即電路的自然頻率）為p尸-2,p2>8。

故得零輸入響應u..（t）的通解形式為

_2/_8/

wr(r)=AIe+A2e

u[(t)=-2Ae-2,-SAe-s,

又有}2

故Cu\t)=C(-2A,e-2t-)

-/(/)=1(-2-8Ae-8r)=

即4-v

--A.e~2t-2^1

2■

i(t)=-A,e-2t+2A.e-iil

即2

+

uc(0)=+A2=6

：(0+)」A+24=0

故有2-

聯解得A「二8,42=-2。故得

2,

uc(t)=^e~-le^'V/>0

i(t)=-C^-=4e-21-4e-s,At>0

又得力

2-5圖題2-5所示電路，(1)求激勵f(t)=3(t)A時的單位沖激響應u,(t)和

i(t)；(2)求激勵f(t)=U(t)A時對應于i(t)的單位階躍響應g(t)。

圖題2.5

答案

解（1）該電路的微分方程為

Lc/i⑴4*ms

代入數據并寫成算子形式為

(〃2+5〃+4)/(/)=4/(/)=43(。

故得

4

/(/)=

/+5〃+4

44、

2+34141

P+1〃+4

)

(4

*)=/3』U。）A

故得3

進一步又可求得U（t）為

di（t）,4,

《（j丁=0.25^--e-+—e-

(33

UQ)V

33

(2)因有"')二」/"”故根據線性電路的積分性有

g(z)=￡/(r)f/r=-ge4,V(r)6/r

+-e-4l\U(t)A

I33)

2-6圖題2-6所示電路，以w(t)為響應，求電路的單位沖激響應h(t)和單位階

躍響應g(t)O

__________"丫、______________

+興1.

()九)|QIF二心

圖題2.6

答案

解電路的微分方程為

+3—uc+2u.=2fit)

drdtcJ

寫成算子形式為

(/尸+3p+2)/.Q)=2/(，)

⑴當/⑺=5(，)V時，有《6)=竹)。故得單位沖擊響應為

人。)=---------§Q)=7---V----；6Q)=

P2+3"+2(P+IXP+2)

2-2

---7^(0=--^>(0=

p+1p+2

2eT-2e~2t=2(1_e~2t)U(t)V

⑵當f(t)=U⑴V時，有uc(t)=g(t)。故得

2r

=fyh(t)dr=2(?T-e-)U(r)dr=

2M(e~r-e~2rWr=(-2er+e~2r+\)+U(t)V

2-7求下列卷積積分

⑴t[U(t)-U(t-2)]*6(1-t)；(2)[(l-3t)6^(t)]*e-3tU(t)

答案一

解⑴原式J。")-U(/-2)]*5(I)=

(/-1)[^(/-1)-{/(/-3)]

(2)原式二打，)*e-3,U(t)-36(，)*e-3,U(t)=

卜也⑺1_3卜(3'一必)}*"3伙。=

_3e-3lU(t)+5(，)+3e~3tU(t)=)

2-8已知信號f[(t)和fz(t)的波形如圖題2-8(a),(b)所示。求y(t)=七(t)*f,(t),

并畫出y(t)的波形。

加）力味上1岬）

2..________

1:

----------------------------------->

012t-1ot

3）

八爾）=sin伏）

八網）

八八「

開［2乃］3E［4幻］a1--------------

4uva1

-----------:----------->

01-t

3）

AK⑴

加）

八

2___________'：A:AA

_尸----

0t01%+1

⑹⑻

圖題2,?8

答案

解（a）f⑺=1+U（-1）

AQ）=iUQ+l）

故，?)=工?)*力(。=

[1+wG-l)]*e-(/+,)C/(/+1)=

J%-(r+,>t/(r+l)t/r+￡^(r-r-lk-<f+l)C/(r+l)Jr=

1,r<0,

1+(1—"')(/(1)=〈，

\2-e-\z>0

yKt)的波形如圖.2.8⑹所示

(b)

fi⑺=sinfU?),力")=-1),故

%⑺=/i⑺*力⑺=sintU(t)*U(-1)=

|sinTU(T)U(t-r-i)dr=

[.sin次7t/(r-l)=[1-cos(r-l)]f/(r-l)

y2(t)的波形如圖.2.8(d)所示

2-9圖題2-9(a),(b)所示信號,求y(t)=fi(t)*fz(t),并畫出y(t)的波形。

A力⑴

八"。

1-----

012

⑸

圖題2.9

答案

解利用卷積積分的微分積分性質求解最為簡便。'⑺和的波形分

別如圖2.9(c),(d)所示。故

y")=/)(0*/。)=/⑺*[j2(T)dr

y(t)的波形如圖題2.9(e)所示.

2-10.已知信號6⑴與f2⑴的波形如圖題2-10(a),(b)所示，試求y(t)=fi(t)*f2(t),

并畫出y⑴的波形。

個加)個加)A效)

1/、-1「-1

91

10

X-'1:-2-1\/01

(1)

3)

3)

八川)

「帥)

?41

?■,

.\!

?2-、/12t-102：

V1

-2/

⑹

答案

解(a).

X⑺=f\Q)*/")=/⑴*[一+D+-1)]二

一/?+1)+工?+1)

yKt）的波形如圖題2.10（c）所示

為（，）=/（。*/《，）=

(b).

/；⑺*[3(1-1)-3”-2)+3([-3)]=

￡(，一1)一工(，-2)+/(/-3)

y2（t）的波形如圖題2.10（d）所示

2-11.試證明線性時不變系統的微分性質與積分性質，即若激勵f(t)產生的響

應為y(t),則激勵石’⑺產生的響應為了*”(微分性質)，激勵L"。)"產

生的響應為(積分性質)。

答案

解(1)設系統的單位沖激響應為h(t),則有

對上式等號兩端求一階導數，并應用卷積積分的微分性質，故有

力⑺=〃⑺*/⑺

(證畢

(2)y?)=/(，)*>=)

對上式等號兩端求一次積分，并應用卷積積分的積分性質，故有

y(r)dr=/?(/)*f(T)dr

(證畢)

2-12.已知系統的單位沖激響應h(t)=e-HJ(t),激勵f(t)=U(t)。

(1).求系統的零狀態響應y(t)。

(2).如圖題2T2(a),(b)所示系統,

4⑺=3區⑺+〃(一川，用⑺=g［力⑺一〃(一川

求響應山⑴和y2(t)

(3).說明圖題2T2(a),(b)哪個是因果系統，哪個是非因果系統。

>歷G)

(z)—阿四)

)如(?)

3)

圖題2.12

答案

解(1)y(t)=h(t)*/(/)=*U(t)

y(—T)UQ)

⑵必⑺=/(，)*[%?)-似川二

U⑺+*.，“(，)+人(-川[/?W-/7(-r)l=

U⑺*h(T)=U(i)*elU(T)=,e，/<。

1,r>()

y2a)=/⑺*[%?)+似f)]=

u⑴*，g[〃(/)+/7(T)]+g[/?Q)_〃(T)]-=

U(r)*/2a)=(l—e-')U⑺

(3)因f(t)=U(t)為因果激勵,但yKt)為非因果信號，y?(t)為因果信號,故

圖題2.12(a)為非因果系統,圖題2.12(b)為因果系統。

2-13.已知激勵⑺產生的響應為y")=sin3UQ),試求該系統的單

位沖激響應h(t)。

雀毅

解因有y(t)=f(t)*h(t),即

sin創U⑺=e』ua)*g)

對上式等號兩端同時求一階導數，并應用卷積積分的微分性質有

0cosm。⑺=[-5e③U⑺+8⑺卜力⑺二

—5e3U(f)*〃(，)+/?(，)=

-5sincotU(t)+h(t)

故得系統的單位沖激響應為

/?(/)=(5sincot+(vcos(oi)U(t)

2-14.已知系統的微分方程為)'〃⑺+3'⑺+2)，")=/⑺。

(1).求系統的些位沖激響應h(t)；

(2).若激勵/")=/"，)，求系統的零狀態響應y(t)。

答案

解(1)其算子形式的微分方程為

(p2+3〃+2&")=/?)

]

f⑴

故得+3〃+2

當⑺時，則有)0=〃⑺。故上式變為

MD=-------------5(。=(----??)=

(p+lXp+2)p+1P+2

1

力⑺一

(2)零狀態響應為

l

y(t)=//(/)*/(f)=-I,)UQ)*e-u(t)=

(~e-x,+e-21+te-l)U(t)

2-15.圖題2T5所示系統，其中hi(t)=U(t)(積分器),h2(t)=5(t-1)(單位延

時器)，h3(t)=-8(t)(倒相器)，激勵f(t)二屋U(t)。

(1).求系統的單位沖激響應h(t)：

(2).求系統的零狀態響應y(t)。

答案

解⑴當/⑺=演。時，