高中數學根底學問大全(新課標版)

第一部分集合

1.理解集合中元素的意義是解決集合問題的關鍵：元素是函數關系中自變量的取值？還是因變量的取值？還是曲

線上的點？…

2.藜形縉含是解集合問題的常用方法：解題時要盡可能地借助數軸、直角坐標系或韋恩圖等工具，將抽象的代數

問題詳細化、形象化、直觀化，然后利用數形結合的思想方法解決

3.(1)元素及集合的關系：xeA=xeQA,xeCyAoxeA.

(2)德摩根公式：Cv(AA5)=AUQ.B;Cv(A|JB)=QA.

(3)AD8=AoAUB=8=AqBogBcCoAo40。口，6=①=QAUB=A

留意：探討的時候不要遺忘了A=。的狀況.

(4)集合｛q，4,的子集個數共有2"個；真子集有2"-1個；非空子集有2"-1個；

非空真子集有2"-2個.

4.。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

第二部分函數

1.映射：留意：①第一個集合中的元素必需有象；②一對一或多對一.

2.函數值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數單調性；⑤換元法；

⑥利用均值不等式，石《等〈汜尹；⑦利用數形結合或幾何意義(斜率、間隔、

肯定值的意義等)；⑧利用函數有界性sinx、cos*等)；⑨平方法；⑩導數法

3.復合函數的有關問題：

(1)復合函數定義域求法：

①假設f(x)的定義域為[a,b],那么復合函數f[g(x)]的定義域由不等式aWg(x)Wb解出

②假設f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于xG[a,b]時，求②x)的值域.

(2)復合函數單調性的斷定：

①首先將原函數y=/[g(x)]分解為根本函數：內函數〃=g(x)及外函數y=f(u)

②分別探討內、外函數在各自定義域內的單調性

③依據“同性那么增，異性那么減"來推斷原函數在其定義域內的單調性.

4.分段函數：值域(最值)、單調性、圖象等問題，先分段解決，再下結論。

5.函數的奇偶性：

⑴函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的尊攝條件

⑵/(X)是奇函數=/(-%)=-/(%);/(X)是偶函數=/(-%)=/(X).

⑶奇函數/(X)在0處有定義，那么/(0)=0

⑷在關于原點對稱的單調區間內：奇函數有一樣的單調性，偶函數有相反的單調性

⑸假設所給函數的解析式較為困難，應先等價變形，再推斷其奇偶性

6.函數的單調性：

⑴單調性的定義：

①/(x)在區間M上是增函數=VX],9e當X]<%2時有JG)</(々)；

②/(x)在區間例上是減函數=V』,X26m,當當<X2時有/(%1)>/(々)；

⑵單調性的斷定：①定義法：一般要將式子/(內)-/(當)化為幾個因式作積或作商的形式，以利于推斷符號；②復合

函數法③圖像法

注：證明單調性主要用定義法。

7.函數的周期性：

(1)周期性的定義：對定義域內的隨意x,假設有/(x+T)=/(x)(其中T為非零常數)，那么稱函數/(x)為

周期函數，T為它的一個周期。全部正周期中最小的稱為函數的最小正周期。如沒有特殊說明，遇到的周期都

指最小正周期。

(2)三角函數的周期：①y=sinx:T=2?；②y=cosx:T=2〃；③y=tanx:T=萬；

27r

④y=Asin((wc+9),y=Acos(<uc+0)：7=----；⑤

\a)\

(3)及周期有關的結論：

f{x+d)=/(x-a)或f(x-2a)=f(x)(?>0)=>f(x)的周期為2。

8.根本初等函數的圖像及性質：

㈠.⑴指數函數：y=a'(a>0,awl)；⑵對數函數：y=log“x(a>0,aHl)；

⑶幕函數：y=xa(czeR)；⑷正弦函數：y=sinx；⑸余弦函數：y=cosx；

(6)正切函數：y=tanx；⑺一元二次函數：ax2+bx+c=0[a20)；⑻其它常用函數：

①正比例函數：y=kx(k^O)；②反比例函數：；③函數

㈡.⑴分數指數累：。,二折7；(以上〃>0,機,〃eN*,且〃>1).

⑵.①a"=NologaN=b；②log“(A/N)=log“M+logaN；

③log,,2=log”M-log”N；

⑶.對數的換底公式:.對數恒等式：產“N=N.

9.二次函數：

⑴解析式：①一般式：f(x)=ax2+bx+c；②頂點式：f(x)=a(x-h)2+k,(〃/)為頂點；

③零點式：/(x)=a(x-%,)(%-x2)(a#0).

⑵二次函數問題解決需考慮的因素：

①開口方向；②對稱軸；③端點值；④及坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。

二次函數y=?2+〃x+c的圖象的對稱軸方程是，頂點坐標是。

10.函數圖象：

⑴圖象作法：①描點法(特殊留意三角函數的五點作圖)②圖象變換法③導數法

⑵圖象變換：

①平移變換：i)y=/(x)fy=/(x±a),(a>0)--------左"+"右“一"；

ii)y=/(x)fy=/(x)±N(左>0)-------上"+"下“一”；

②對稱變換：i)y=f(x)—(0：0>>y=-f(-%)；ii)y=/(x)—y=-f(x)；

五i)y=/(x)*?>y=/(-x)；iv)y=/(x)/”->x=/(y)；

③翻折變換：

i)y=/(x)fy=/(|x|)-------(去左翻右)y軸右不動，右向左翻(/(x)在y左側圖象去掉);

ii)y=/(x)f)'="(x)l-------(留上翻下)x軸上不動，下向上翻1/(x)|在x下面無圖象)；

12.函數零點的求法：

⑴干脆法〔求/(x)=0的根)；⑵圖象法；⑶二分法.

(4)零點定理：假設y=f(x)在［a,b］上滿意f(a)?f(b)〈0,那么y=f(x)在(a,b)內至少有一個零點。

第三部分三角函數、三角恒等變換及解三角形

1.⑴角度制及弧度制的互化：乃弧度=180°,弧度，1弧度。57°18‘

⑵弧長公式：/=飲；扇形面積公式:。

2.三角函數定義:角a終邊上任一點(非原點)P(x,y),設|OP|=r那么：

3.三角函數符號規律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；(簡記為“全stc")

4.誘導公式記憶規律：“奇變偶不變，符號看象限"

5.⑴y=Asin(m+e)對稱軸：令，得》=…；對稱中心：；

人乃+乃

(2)y=Acos@x+°)對稱軸：令a)x\(p=k兀，得；對稱中心：("+20<))?：u2)：

CO

⑶周期公式:①函數y=Asin(6yx+e)&y=Acos(&x+°)的周期(A、3、。為常數，

且AW0).②函數y=Atan(<ax+。)的周期(A、3、夕為常數，且AW0).

6.同角三角函數的根本關系：sin?x+cos?x=1;包二=tanx

cosx

7.三角函數的單調區間及對稱性：

TTTT

⑴y=sinx的單調遞增區間為2A萬一上,2米?■+上ZeZ,單調遞減區間為

_22_

34

Ik7l+-,lk7l+—keZ,對稱軸為，對稱中心為(版?,())(/€Z).

(2)y=cosx的單調遞增區間為\2k7T-7T,2k7i\k&Z,單調遞減區間為［2左乃,2版■+乃］丘Z,

對稱軸為x=版■(左eZ),對稱中心為(keZ).

(3)y=tanx的單調遞增區間為(版■—半版■+/卜eZ,對稱中心為(4eZ).

8.兩角和及差的正弦、余弦、正切公式：

①sin(a±j3)=sinacos0±cosasin/?；cos(二土尸)=cosacos不sinasin/?；

/八、tana±tan￡

tan（a±'）=-----------

1+tanCKtanp

②sin（a+尸）sin（a一尸）=sin?a-sin2/?；cos（6z4-f3）cos（a-/3）=cos2cr-sin2/?.

@asina+Z?cosa=y/a2+b2sin（tz+cp）（其中,協助角°所在象限由點（。,勿所在的象限

確定,）.

9.二倍角公式：①sin2a=2sinacosa.（sina±cos。/=l±2sinacosa=l±sin2a

②cos2a=cos2a-sin2a=2cos2<z-l=l-2sin2a（升暴公式）.

21+cosla.2l-cos2?八4、

cosa=--------,sina=---------（降幕公式）.

22

10.正、余弦定理：

ahC

⑴正弦定理：/_=，_=/一二2A（2R是AA3C外接圓直徑）

sinAsin5sinC

注：①a:b:c=sinA:sin8:sinC；②。=2RsinA"=2Hsin氏c=2RsinC；

abca+力+c

③----=-----=-----=------------------O

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

⑵余弦定理：。2=〃+02一%ccosA等三個；等三個。

11.幾個公式:⑴三角形面積公式：（i）S=La%=Lbhb=L*【兒、為、兒分別表示a、b、C邊上的高）；②

2a2。2cquc

S=ga"sinC=gbesinA=gcasin6.③SAOAB=g^OMAOB^-{OAOBy

⑵內切圓半徑r=；外接圓直徑2R=

第四部分平面對量

1.平面上兩點間的間隔公式:4,8=\/*2-％)2+(%-乂)2，其中A(X1,y),B(x2,y2).

2.向量的平行及垂直：設Z=a，y),3=(孫必)，且3毛6,那么：

①a〃各oB=入40x]y2—x2y]=0；

②a工1)(a0)<=>a?b=0<^>x{x2+y1y2=0.

3.a?b=|a|ibicos<a,b>=Xjx2+yiy2；

注：①|a|cos〈a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos〈a,b>叫做b在a方向上的投影;

②a?b的幾何意義：a?b等于|a|及b|在a方向上的投影bIcos<a,b>的乘積。

4.cos<a,b>=；

5.三點共線的充要條件：P,A,B三點共線o而=xHM+y礪且x+y=l。

第五部分數列

1.定義：

(1)等差數列{4}O4+1為常數〃eN*)o-a“_|=d(nN2)

2

O2a”=an+l+an_l(n>2,neN*)o%=左〃+gS“=An+Bn

⑵等比數列=an\,fln+i(n22,neN*)

an

2.等差、等比數列性質：

等差數列等比數列

a”=aqi

通項公式an=〃]+(n-l)d

1.q=1時，Sn=na];

n(a+??)〃1)

前n項和S=---t!-----=na+-------a時，s皿二￡2

n"21x2

i-q

1-q

性質?an=aa+(n-m)d,①既二a?)q聯")；

+

②m+n=p+q時a?ian=aP+aq②m+n=p+q時ama”二班為

③Sk，s”-SQS3k—S2k，…成AP③Sk,S?k-SQS3k—S2t，…成GP

④%，ak+m^ak+2nt，…成AP,"=ITld④出，%+,”，％+2m，…成GP,q'=/"

3.常見數列通項的求法:

⑴定義法(利用AP,GP的定義);⑵累加法(氏+|-%=c”型);⑶公式法：Si(n=l)

anh

Sn—Sn-l(n22)

⑷累乘法1型);(5)待定系數法(勺+[=左4+匕型)轉化為。，用+x=k(an-t-X)

(6)間接法(例如：an1-a?=4anan,=>------匚=4)；(7)(理科)數學歸納法。

an%T

4.前〃項和的求法：⑴分組求和法；⑵錯位相減法；⑶裂項法。

5.等差數列前n項和最值的求法：

a>0ffa<0

⑴s“最大值/"一或s"最小值4"—:⑵利用二次函數的圖象及性質。

第六部分不等式

1.均值不等式：而《等?；”(a,心0)

j2i2

留意：①一正二定三相等；②變形：ab<(―)2<+/r(a,bG/?)?

22

2.極值定理：x,y都是正數，那么有：

(1)假如積外是定值p,那么當x=y時和x+y有最小值2、萬；

（2）假如和x+y是定值s,那么當x=y時積孫有最大值;S2.

a/+bx+c>0（或<0）:假設a>0,那么對于解集不是全集或空集時,對應的

解集為"大兩邊，小中間”.如：當尤1<*2,（x-XlX*—％2）<。=玉<*<%2；

（X-X]Xx—32）>°0X><X].

4.含有肯定值的不等式：當a>0時，有：0|A|<a<=>x2<a2<^>—a<x<a；

②國>00兀2>420%>4或％<—a.

5*.分式不等式:

⑵^^<0o/(x>g(x)<。；

⑴>。=f(x)，g(x)>0；

g(x)

f3)/(。〉0。[心"(小。

loJ—7-^rNUOq\;14J—7-^rSU、

g⑴1g(x)w。g(x)[g(x)H0

6*.指數不等式及對數不等式

/(x)>0

fMgM

(1)3a>1Bt,a>a<=>/(%)>g(x)；logof(x)>logog(x)o<g(x)>0.

f(x)>g(x)

7?>o

f{x}

⑵當0<a<1時，a>=/(x)<g(x)；logu/(x)>log.g(x)<=>-g(x)>0

/W<g(x)

3.不等式的性質：

(l)a>bob<a；(2)a>b,b>c^>a>c；(^)a>b<^>a+c>b+c；a>h.c>d

=a+c>/?+d；Wa>byc>0ac>bd；a>b,c<0^>ac<be；a>b>0,c>d>0

=>ac>bd;(5)6r>/?>0=>>bn>0(〃￡N*);(6)a>/?>0=y[a>y/b(nGN*)

第七部分概率

1.事務的關系：

⑴事務B包含事務A：事務A發生，事務B肯定發生，記作AqB；

⑵事務A及事務B相等：假設A==那么事務A及B相等，記作A=B；

⑶并（和）事務：某事務發生，當且僅當事務A發生或B發生，記作ADB（或A+3）；

⑷并（積）事務：某事務發生，當且僅當事務A發生且B發生，記作AcB（或A8）

⑸事務A及事務B互斥：假設AcB為不行能事務14cB=。），那么事務A及互斥；

⑹對立事務：AcB為不行能事務，AuB為必定事務，那么A及B互為對立事務。

2.概率公式：

⑵古典概型：包般制黑數

⑶幾何概型：P（A）=構成事件一的區域長度（面積或體積等）;

''試驗的全部結果構成的區域長度（面積或體積等）

第八部分統計及統計案例

1.抽樣方法：

⑴簡潔隨機抽樣：一般地，設一個總體的個數為N,通過逐個不放回的方法從中抽取一個容量

為n的樣本，且每個個體被抽到的時機相等，就稱這種抽樣為簡潔隨機抽樣。

注：①每個個體被抽到的概率為2;

N

②常用的簡潔隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數表法。

⑵系統抽樣：當總體個數較多時，可將總體平衡的分成幾個部分，然后依據預先制定的規那么，從

每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統抽樣。

注：步驟：①編號；②分段；③在第一段采納簡潔隨機抽樣方法確定起始的個體編號；④按預

先制定的規那么抽取樣本。

⑶分層抽樣：當總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的狀況，

將總體分成幾部分，然后依據各部分占總體的比例進展抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。

注：每個部分所抽取的樣本個體數=該部分個體數X—

N

注：以上三種抽樣的共同特點是：在抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等

2.頻率分布直方圖及莖葉圖：⑴用直方圖反映樣本的頻率分布規律的直方圖稱為頻率分布直方圖。⑵當數據是兩

位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，即第二個有效數字，

它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數據的圖叫做莖葉圖。

3.總體特征數的估計：

⑴樣本平均數￡=耳玉+x2+???+x?）=—YX；；

n"M

⑵樣本方差52=匕（7-幻2+g-幻2+…+（〉-?）2];

n

⑶樣本標準差S=-[（X,-x）2+（受-幻2+…+（x?-x）2]=

第九部分算法初步

1.程序框圖:

⑴圖形符號:

終端框（起止框）;②//輸入、輸出框;

處理框（執行框）:流程線；

⑵程序框圖分類:

①依次構造：

/輸入n/

注：循環構造分為:I.當型(while型)一一先推斷條件，再執行循環體；

II.直到型(until型)一一先執行一次循環體，再推斷條件。

2,根本算法語句：

⑴輸入語句INPUT”提示內容"；變量；輸出語句：PRINT"提示內容"；表達式

賦值語句：變量=表達式

⑵條件語

句：①②

IF條件THENIF條件THEN

語句體語句體1

ENDIFELSE

語句體2

ENDIF

②直到型：

-DO

循環體

LOOPUNTIL條件

新課標數學部分公式及結論

2.從集合A=｛q,%,%，…，4｝到集合5=物,b2,b3,---,hm｝的映射有m"個.

3.函數的的單調性：

⑴設和乙L外工尸/那么

(X,-A2)[/(X1)-/(A2)]>0。/(石)-2)〉0=/⑺在口㈤上是增函數;

X\~X2

(x,_/)[/(%)_/(切<0o/(石)一/32)<0。/(x)在[a,U上是減函數.

X\—X2

⑵設函數y=/(x)在某個區間內可導，假如尸(x)>0,那么/(無)為增函數；假如/'(尤)<0,

那么/(X)為減函數.

4*.函數y=/(x)的圖象的對稱性：

①y=/(x)的圖象關于直線x=a對稱o/(a+x)=/(a—x)o/(2a—x)=/(x)；

②y=/(x)的圖象關于直線對稱o/5+x)=/S—x)o/(a+b-x)=/(x)；

③y=/(x)的圖象關于點(。,0)對稱o/(x)=-f(2a一x)of｛a+x)+-x)=0,

y=/(x)的圖象關于點(a,8)對稱O/(x)=2/?-/(2a—x)u>f(a+x)+f(a-x)=2b.

6.奇偶函數的圖象特征：

奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，假如一個函數的圖象關于原

點對稱，那么這個函數是奇函數；假如一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數.

7.多項式函數P(x)=/x"+%_Ri+…+/的奇偶性：

多項式函數P(x)是奇函數。P(x)的偶次項(即奇數項)的系數全為零.

多項式函數P(x)是偶函數。尸(幻的奇次項(即偶數項)的系數全為零.

8.假設將函數y=/(x)的圖象右移。、上移匕個單位，得到函數y=/(x—。)+人的圖象；

9.幾個常見的函數方程：

(1)正比例函數f(x)=cx,f(x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指數函數f(x)=能,f(x+y)=f(x)f(y),f(l)…0.

(3)對數函數/(x)=logflx,f(xy)=f(x)+=l(a>0,a￥1).

(4)基函數/(x)=/,/(孫)=/(x)/(y),f(l)=a.

(5)余弦函數/(x)=cosx,正弦函數g(x)=sinx,/(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(y),f(0)=1.

10*.幾個函數方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),那么.f(x)的周期T=a；

(2)/(x+a)=—/(x),或或(/(x)wO),

f(x)

那么/(x)的周期T=2a；

”.①等差數列3/的通項公式：an=%,或an=am+(n-ni)d.

②前n項和公式：.

12.設數列｛4｝是等差數列，S奇是奇數項的和，S偶是偶數項的和，S“是前n項的和，那么

①前n項的和S“=S奇+S偶；

②當n為偶數時，S偶-S奇=]d,其中d為公差；

③當n為奇數時，那么S奇-S偶=。中，S奇="中‘S偶=>21"中，,

(其中。中是等差數列的中間一項)

13.假設等差數列｛%｝和團｝的前2〃—1項的和分別為S2,i和T2II_,,那么.

14.數列｛冊｝是等比數列，S“是其前n項的和，kwN”,那么j-k)―卜?S3—2k.

15.分期付款(按揭貸款)：

每次還款元(貸款a元，n次還清,每期利率為6).

16.裂項法：①；②彳-----------；=-/—1......-\

(2n-lX2?+l)2(2〃-12?+1；

③—j=-------7==----------(A/G-y/~b)；④.

Ta+Tba-b

17*,常見三角不等式：

(1)假設，那么sinxvxvtanx.

(2)假設，那么l<sinx+cosx〈J5.

(3)|si