課題：3.3等差散列的的n項彳。（二）

教學目的：1.進一步熟練掌握等差數列的通項公式和前”項和公式.

2.了解等差數列的一些性質，并會用它們解決一些相關問題.

教學重點：熟練掌握等差數列的求和公式

教學難點：靈活應用求和公式解決問題

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教具：多媒體、實物投影儀

內容分析：

本節是在集合與簡易邏輯之后學習的，映射概念本身就屬于集合的

教學過程：

一、復習引入：

首先回憶一下上一節課所學主要內容:

1.等差數列的前〃項和公式1：5“=

2

2.等差數列的前n項和公式2：Sn=na,+

3.S=-n2+（--）n,當dWO,是一個常數項為零的二次式

nn212ai

4.對等差數列前項和的最值問題有兩種方法：

（1）利用%：當a”>0,d<0,前n項和有最大值.可由％NO,且%+i〈0,求得n的值.

當即<0,d>0,前n項和有最小值.可由a”W0,且。用力0,求得n的值.

（2）利用S.：由S0=gn2+0—$n二次函數配方法求得最值時n的值.

二、例題講解

例1.求集合知={〃枷=2〃一1,〃WN*,且m<60}的元素個數及這些元素的和.

解：由2w—1<60,得生，又...”eN*滿足不等式的正整數一共有30個.

22

即集合M中一共有30個元素，可列為：1,3,5,7,9,…，59,組成一個以%=1,

39片3。的等差數列.；S”——其。=迎詈也9。。.

答案：集合M中一共有30個元素，其和為900.

例2.在小于100的正整數中共有多少個數能被3除余2,并求這些數的和.

分析：滿足條件的數屬于集合，M=[m\m=3n+2,m<100,mN"：}

解：分析題意可得滿足條件的數屬于集合，M-{m\m=3n+2,m<100,nN*}

2

由3〃+2V100,得〃V32—，且加￡N*,?"可取0,1,2,3,32.

3

即在小于100的正整數中共有33個數能被3除余2.

把這些數從小到大排列出來就是：2,5,8,…，98.

它們可組成一個以%=2,d=3,a33=98,n=33的等差數列.

由.?+”“)得s33(2+98)=1650

"2332

答：在小于100的正整數中共有33個數能被3除余2,這些數的和是1650.

例3已知數列{%},是等差數列，5“是其前n項和，

求證：(1)S6,Sl2-S6,S18-S]2成等差數列；

⑵設Sk,S2k-Sk,SM-S2k(丘N+)成等差數列

證明：設{4},首項是％,公差為d

貝IJ=%+%+%+。4+。5+。6

?S12dqIIdgI〃]0+"11+^^12

=(%+6d)+(a2+6d)+(%+6d)+(%+6d)+(%+6d)+(a6+6d)

=(%+g+/+%+%+&)+36d—S6+36d???

S18—S12—%3+"14+ai5+〃16+[17+”18

=(a7+6d)+(tz8+6d)+(〃9+6d)+(6210+6d)+(an+6d)+(ai2+6d)

—(a7+%++〃io++%2)+36d=(5J2—S6)+36d

,.8_

S6,S12-S6S]2是以36d為公差的等差數列.

同理可得Sk,S2k-Sk,S3*-S”是以42d為公差的等差數列.

三、練習：

1.一個等差數列前4項的和是24,前5項的和與前2項的和的差是27,求這個等差數

列的通項公式.

分析：將已知條件轉化為數學語言，然后再解.

解：根據題意，得S4=24,$5—82=27

則設等差數列首項為%,公差為4

[4(4—l)d?

4%+————=24

則I2

代，5(5-1)40,2(2-1)4

(5%H—(2%H--------)=27

、//

\a=3

解之得：\'二。,,=3+2(”-1)=2n+1.

[d=2

2.兩個數列1,占，%2,……,七，5和1,%,為，……，兀，5均成等差數列公差分別

?,,d.,%,+x+........+x_

7Et/j,d,,求--與------2=----------7-的值.

一d2%+為+....+兒

解：5=1+84,t/,=—,又5=l+7d°,;

2'7iZ28

1+5

+x2+.......+x7=7X4=7X=21,

%+為+...+y6=3X(l+5)=18,

.x,+x2+.......+x7_7

%+>2+.............+)66

3.在等差數列｛%｝中，a4=~15,公差d=3,求數列｛%｝的前n項和S”的最小值.

S”的最小值.

解法1：a4=al+3d,—15=a1+9,a1=—24,

3n(n-1)35123]

=[(n-)

Sn=-24n4IT

236

當|n——|最小時，5〃最小，

6

即當n=8或n=9時，S&=S9=—108最小.

解法2：由已知解得生=—24,d=3,an=-24+3(n—1),

由anWO得nW9且a9=0,

當n=8或n=9時，S8=S9=—108最小.

四、小結本節課學習了以下內容：｛%｝是等差數列，5“是其前n項和，則

Sk,S2k-Sk,S3k-S2,1eN+）仍成等差數列.

五、課后作業：

1.一凸n邊形各內角的度數成等差數列，公差是10°,最小內角為100。，求邊數n.

解：由(n—2)?180=10011+=-----X10,

2

求得n2—17n+72=O,n=8或n=9,

當n=9時，最大內角100+(9—1)X10=180°不合題意，舍去，n=8.

2.已知非常數等差數列｛凡｝的前n項和S”滿足

1()S“=切2.3〃.02(小)層+=(nGN,mGR),求數列｛%“+3｝的前n項和.

解：由題設知

s?=lg(m-3-V2V)=lgm2+nlg3+--------------lg2,

22

即Sn=llZ!!_llig2]n+(lg3+ylg2)n+lgm,

???｛*｝是非常數等差數列，當dWO,是一個常數項為零的二次式

------1g2^0MIgm2=0,m=—1,

21

S〃=(一彳lg2)n9+(lg3--lg2)n,

3

則當n=l時，ax=lg3--lg2

21

當n，2時,%=S〃一Sx=(一gIg2)(2n-l)+(lg3--lg2)

41

nlg2+lg3+-lg2

41

^n=--nlg2+lg3+-lg2

d=an+l-。〃=一glg2

41

二一w(5〃+3)lg2+lg3+ylg2

=-4771g2+lg3-ylg2

31

數歹U｛a5n+3｝是以6=1g3-11g2為首項,5d=-41g2為公差的等差數列，數列

｛a5n+3｝的前n項和為

31121

n?(Ig3-ylg2)+-n(n-l)?(-41g2)=-2n21g2+(lg3--1g2>

3.一個等差數列的前12項和為354,前12項中偶數項的和與奇數項的和之比為32:27,

求公差d.

解：設這個數列的首項為由,公差為d,則偶數項與奇數項分別都是公差為2d的等

12%+66d=354

差數列，由已知得6出+30d二32,解得d=5.

6%+30d27

解法2：設偶數項和與奇數項和分別為S偶，S奇，則由已知得

S偶+8奇=354

<_32，求得S偶=192,S奇=162,S偶一S奇=6d,Jd=5.

、丁西

4.兩個等差數列，它們的前n項和之比為空?，求這兩個數列的第九項的比.

2n-l

17

解：.」+%7_8.

為4+仇7+47)i3

5.一個等差數列的前10項和為100,前100項和為10,求它的前110項和.

解：在等差數列中，

Sio,S20—S1(),S30S20,.......,Sioo-S90,S110—S100,成等差數列，

???新數列的前10項和=原數列的前100項和，

10x9

lOSio+(一?D=Sloo=lO,解得D=—22