高考數(shù)學100個提醒

——知識、方法與例題

一、集合與邏輯

1、區(qū)分集合中元素的形式：如：{x|y=lgx}一函數(shù)的定義域；{y|)，=lgx}

一函數(shù)的值域；{*、)，)|》=收其一函數(shù)圖象上的點集，如(1)設(shè)集合

M={x\y=x+3},集合N={y|)，=f+i心知},則MC|N=(答：

[l,+oo));(2)設(shè)集合M={〃|〃=(1,2)+"3,4),；IER},

N=(6/16/=(2,3)+2(4,5),AwR},則Mp|N=(答：{(-2,-2)))

2、條件為皿人在討論的時候不要遺忘了A=。的情況

如：A={x|ax1--1=0},如果4nH+=°，求。的取值。(答：a

WO)

3、An?={x|xeAJIAGB：；AU4={x|xwA或rwZ?}

CuA={x|XWU但XiA}；AqBoxwA貝hwB；真子集怎定義？

含n個元素的集合的子整個數(shù)為2n,真子集個數(shù)為2n—1；如滿足

{1,2后加端1,2,3,4,5}集合乂有個。(答：7)

4、Cu(AnB)=C(AUCuB;Cu(AUB)=GAAQB;card(AUB)=?

G

5、AAB=AoAUB=BoAqBoCVBCAoAnCrB=0oGAUB=U

6、辛卜集思想常運用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。

如已知函數(shù)/(幻=4九2一2(〃-2)]-2〃2一〃+1在區(qū)間[7,]]上至少存在一

個實數(shù)。，使〃c)>0,求實數(shù)〃的取值范圍。(答：(-3,|))

7、原命題：〃=>夕；逆命題：4=p；否命題：r，=r/;逆否命題：

F”；互為逆否的兩個命題是等價的.

**z>z>z\z\z>z\z\z>z\z>1z^/>zv/\z\z\/\z\z\1z\z\z^/\z\zv\z>zs/\z\z?\z\z\z\z\z\^\z^

如："sin"sin/?”是“aw〃的條件。(答：充分非必要條件)

8、若〃=q且4力.p；則p是q的充分非必要條件(或q是P的必要非

充分條件)；

9、注意命題〃ng的否定與它的否命題的區(qū)別：

命題〃=夕的否定是P=>F；否命題是

命題“P或q”的否定是P且「Q?,“P且q”的否定是“1P

或1Q”

注意：如“若〃和。都是偶數(shù)，則〃+/)是偶數(shù)”的

否命題是“若〃和匕不都是偶數(shù)，貝是奇數(shù)”

否定是“若。和正都是偶數(shù),則〃+〃是奇數(shù)”

二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

10、指數(shù)式、對數(shù)式：

nm

a=yja,。"二一^,,a°=1>log41=0,log“Q=l,Ig2+lg5=l,

a"

log<(x=Inx,/=Nolog“N=/?(〃>0,aw1,N>0),=N。

如(與中的值為________(答：_L)

264

11、一次函數(shù):y=ax+b(aWO)b=0時奇函數(shù);

12、二次函數(shù)①三種形式:一般式f(x)=ax?+bx+c(軸b/2a,aW0,頂

點?)；頂點式f(x)=a(xh)?+k;零點式f(x)=a(xxj(XX2)(軸?);b=0偶

函數(shù)；

③區(qū)間最值:配方后一看開口方向,二討論對稱軸與區(qū)間的相對

位置關(guān)系；如：若函數(shù)y=g，—2x+4的定義域、值域都是閉區(qū)間

[2,2/2],則〃=(答：2)

④實根分布:先畫圖再研究△△、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點函數(shù)值

符號；

13、反比例函數(shù)：y=￡(x/o)平移=wa+T(中心為(b,a))

xx-b

14、對勾函數(shù)尸是奇函數(shù)，”麗，在區(qū)畫4。),(。,+00)上為增函數(shù)

a>(M,在(0,布]卜石,0)遞減在(-8,-6],[4,y)遞增

15、單調(diào)性①定義法;②導(dǎo)數(shù)法.如：已知函數(shù)/(外=丁-依在區(qū)間U+oo)上是增函

數(shù)，則。的取值范圍是—(答：(—8,3]))；

注意①：/(力>0能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)

/(?=/在(_8,+8)上單調(diào)遞增，但f，(x)N0,?,?/@)>0是/(X)為增函

數(shù)的充分不必要條件。

注意②：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎？(①比較大小；②解

不等式；③求參數(shù)范圍)如己知奇函數(shù)/㈤是定義在(-2,2)上的減函

數(shù)，若/(吁1)+/(2利_1)>0,求實數(shù)加的取值范圍。(答：

3

③復(fù)合函數(shù)由同增異減判定④圖像判定.⑤作用：比大小,解證不

等式.如函數(shù)尸牌］(-儲+2人)的單調(diào)遞增區(qū)間是(答：

2

(1,2))o

16、奇偶性：f(x)是偶函數(shù)。f(x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函數(shù)

今￡々)寸(。；定義域含零的奇函數(shù)過原點6(0)=0);定義域關(guān)于原點

對稱是為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要而不充分的條件。

17、周期性。(1)類比“三角函數(shù)圖像”得：

①若y=f(x)圖像有兩條對稱軸x=a,x=b(aNb),則y=/(x)必是周

期函數(shù)，且一周期為丁=2|。-加；

②若y=f(x)圖像有兩個對稱中心A(a,O),BS,O)("b)，則)，=—是

周期函數(shù)，且一周期為7=2|〃-。|;

③如果函數(shù)y=f(x)的圖像有一個對稱中心A(40)和一條對稱軸

x=b(awb)，則函數(shù)y=f(x)必是周期函數(shù)，且一周期為丁=4\a-b\；

如已知定義在R上的函數(shù)/(x)是以2為周期的奇函數(shù)，則方程

/*)=0在［-2,2］上至少有個實數(shù)根(答：5)

(2)由周期函數(shù)的定義“函數(shù)/⑴滿足/(x)=/(〃+x)(a>。)，則

)(幻是周期為。的周期函數(shù)”得：①函數(shù)/(幻滿足-4)=加+6,則

/⑴是周期為2〃的周期函數(shù)；②若/*+〃)=/—(〃。0)恒成立，則

T=2a;③若/(%+〃)=-一匚(。=0)恒成立,則7=2”.

/(%)

如(1)設(shè)/(x)是(-8,+8)上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x),當時,

/a)=X，則7(47.5)等于(答：一0.5);(2)定義在A上的偶函數(shù)/(X)

滿足/(x+2)=/(x),且在［-3,-2］上是減函數(shù)，若a］是銳角三角形的

兩個內(nèi)角，則/(sina)J(cos尸)的大小關(guān)系為(答：

特別地，點(x,y)關(guān)于直線y=x的對稱點為(y,x);曲線/(x,y)=O關(guān)于

直線y=x的對稱曲線的方程為/(y,x)=0;點(x,y)關(guān)于直線y=r的對

稱點為(-乂7)；曲線/?)，)=()關(guān)于直線產(chǎn)T的對稱曲線的方程為

/㈠,T)=0。如己知函數(shù)f(X)=士3,(XH3),若)，=/(X+1)的圖像是G,

2x-32

它關(guān)于直線y=/對稱圖像是C2C關(guān)于原點對稱的圖像為。3,則對應(yīng)

的函數(shù)解析式是(答：y=-山)；

2x+1

若f(a—x)=f(b+x),則f(x)圖像關(guān)于直線*二皇對稱;兩函數(shù)

y=f(a+x)與y=f(bx)圖像關(guān)于直線對稱。

提醒：證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關(guān)于對稱中

心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上；如(1)已知函數(shù)

/(幻=土上￡(46R)。求證：函數(shù)/(X)的圖像關(guān)于點M(a—1)成中心對

a-x

稱圖形。

⑥曲線)(x,y)=0關(guān)于點m⑼的對稱曲線的方程為

f(2a-x,2b-y)=00如若函數(shù)y=/+x與y=g(x)的圖象關(guān)于點(2,3)

對稱，則g(x)=(答：-x2-7x-6)

⑦形如了=處±1(c*0,〃d*反)的圖像是雙曲線，對稱中心是點

cx+a

(-*中。如已知函數(shù)圖象C與C：y(x+〃+D=Qx+/+l關(guān)于直線y=x對

稱，且圖象C關(guān)于點(2,-3)對稱，則。的值為______(答：2)

⑧|/(刈|的圖象先保留"X)原來在x軸上方的圖豪，作出x軸下方

的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；/(IM的

圖象先保留/a)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y

軸右方的圖象關(guān)于y軸的對稱圖形得到。如(1)作出函數(shù))，引咱0+1)|

及)，=log2*+l|的圖象；(2)若函數(shù)/(乃是定義在R上的奇函數(shù)，則

函數(shù)b(x)=|/(x)|+/(W)的圖象關(guān)于___對稱(答：y軸)

20.求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：

(1)借鑒模型函數(shù)進行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù)：

①正比例函數(shù)型：f(x)=kx(k豐0)f(x±y)=f(x)±f(y);

②幕函數(shù)型：/(X)=?/(%)，)=/3)/()，)，/心二駕；

③指數(shù)函數(shù)型：f(x+y)=f(x)Ay),f(x-y)=^-;

f(y)

④對數(shù)函數(shù)型：/(x)=logax/⑶)=/(4)+f(y),/(-)=/(%)-/(J)；

y

⑤三角函數(shù)型：/a)=3g以中)=譽畀興

如已知A#是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小

正周期為T,則/(二)=_(答：0)

2

2:①函數(shù)存在反函數(shù)的條件一-映射；②奇函數(shù)若有反函數(shù)則反函數(shù)

是奇函數(shù)③周期函數(shù)、定義域為非單元素集的偶函數(shù)無反函數(shù)④互

為反函數(shù)的兩函數(shù)具相同單調(diào)性⑤f(x)定義域為A,值域為B,則

f[f1(x)]=x(xeB),f,[f(x)]=x(x￡A).⑥原函數(shù)定義域是反函數(shù)的

值域,原函數(shù)值域是反函數(shù)的定義域。

如：已知函數(shù))，="X)的圖象過點(1,1),那么〃4-x)的反函數(shù)的圖

象一定經(jīng)過點(答：(1,3))；

22、題型方法總結(jié)

I判定相同函數(shù):定義域相同且對應(yīng)法則相同

II求函數(shù)解析式的常用方法：

,1)待定系數(shù)法一一已知所求函數(shù)的類型(二次函數(shù)的表達形

式有三種：一般式：f(x)=ax2+bx+c;頂點式:f(x)=a(x-m)2+n;零

點式：f(x)=a(x-xx)(x-x2))o如已知f(x)為二次函數(shù)，且

/(x-2)=2),且f(0)=1,圖象在X軸上截得的線段長為2a,求

/(幻的解析式。(答：f(x)=^x2+2x+\)

(2)代換(配湊)法——已知形如/(g(x))的表達式,求/⑶的

表達式。如(1)已知/(I-cosx)二sin?x,求/(/)的解析式(答:

f(x2)=-x4+2X2,XG[-V2,y/2]);(2)若,則函數(shù)

xjr

/U-l)=(答：f_2x+3);(3)若函數(shù)/(x)是定義在R上的奇

函數(shù)，且當X€(0,4-00)時，/(X)=x(]+Vx),那么當X€(-00,0)時，

/?=(答：Ml-五)).這里需值得注意的是所求解析式的

定義域的等價性，即的定義域應(yīng)是g(x)的值域。

(3)方程的思想一一對已知等式進行賦值，從而得到關(guān)于八r)及

另外一個函數(shù)的方程組。如(1)已知/(幻+2/(-%)=3犬-2,求/(%)的

解析式(答：/W=-3x-|);(2)已知/")是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù),

且/(x)+g(x)=一^,則/(幻二(答：-^―)。

x-\X-1

in求定義域:使函數(shù)解析式有意義（如:分母？；偶次根式被開方數(shù)?;對

數(shù)真數(shù)?，底數(shù)？;零指數(shù)塞的底數(shù)?）；實際問題有意義;若f（x）定義域

為［a,b］,復(fù)合函數(shù)f［g（x）］定義域由aWg（x）Wb解出;若f［g（x）］

定義域為［a,b］,則f（x）定義域相當于xe［a,b］時g（x）的值域;

如：若函數(shù)y=的定義域為［（2卜則/（嚏2無）的定義域為

（答：｛x|V2<x<4｝）;（2）若函數(shù)/（/+1）的定義域為,

則函數(shù)/（X）的定義域為（答：［1,5］）.

IV求值域:?

①配左達:如：求函數(shù)y=f-2x+5”［T2］的值域（答：［4,8］）;

簸求達X感陵：如：丁=二一通過反解，用y來表示31,再

由3、的取值范圍，通過解不等式，得出），的取值范圍（答：（0,1））;

如（1）y=2sin2x_3cosx-l的值域為（答：|~4上］）;

（2）y=2x+l+VT^的值域為（答：［3,內(nèi)））（令=/,r>0o

運用換元法時，要特別要注意新元『的范圍）；

④三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有

?\ZXZ\ZXZ\Z\Z\ZVZXZXZXZ\ZS/\Z\Z\Z\Z\Z'

界性來求值域；

如：），=2sm。?的值域（答：（3,當）；

@不等式法一一利用基本不等式"仆2J防求函數(shù)的最

值。如設(shè)”M,），成等差數(shù)列，工々也,），成等比數(shù)列，則（4+%）2的取

他2

值范圍是.（答：（-OO,0］U［4,*KO））。

⑥單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。如

%Z\/SZX/\Z\ZXZXZ\/\/XZ\ZX/X/\/'V

求y=x--（\<x<9）,y=sin2x+——，y=2^-log（5-%）的值域為

x1+sinx3

（答：（0苧、4⑼、［0,+oo））；

袋螂績盒：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值

域。如（1）已知點P*,），）在圓Y+y2=］上，求q_及）-2工的取值范

x+2

圍（答：T岑］、［_后⑹）；（2）求函數(shù)戶近萬+而^麗的值

域（答：［10,+00））;

⑧判別式法：如（D求），=三的值域（答：［-111）；（2）求

01+x2L22_

函數(shù)廣庫的值域（答：［0」）如求廣二山的值域（答：

x+32x+I

y,-3］UU,E））

②導(dǎo)數(shù)法;分離參數(shù)法;一如求函數(shù)/㈤=2/+4/-40x,XG［-3,3］

的最小值。（答：一48）

用2種方法求下列函數(shù)的值域：①y=②

3-2x

2

X—x+3八/Q\尸一x+3八

y=--------,xe（-X,O）;（3）y=---------,xey,0）

xx-\

⑤解應(yīng)用題:審題（理順數(shù)量關(guān)系）、建模、求模、驗證.⑥恒成立問題:

分離參數(shù)法;最值法;化為一次或二次方程根的分布問題.a（x）恒

成立=心［f（X）］max,；aWf（X）恒成立OaW［f（X）］min；⑦任意定義在R

上函數(shù)f（X）都可以唯一地表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的知。

即f（X）=8G0+爾”）

其中g(shù)（X）=f（X）+，（―x）是偶函數(shù),卜（x）=f（x）—f（—x）是

22

奇函數(shù)

⑦利用一些方法（如賦值法（令1=0或1,求出"0）或/⑴、令尸x

或y=-x等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如（1）若xeR,

/（幻滿足f（x+y）=f（x）

+/（），），則/*）的奇偶性是_____（答:奇函數(shù)）；［、，

（2）若XGR，/（x）滿足/（町）=/（%）+/（y）,貝I」

“幻的奇偶性是（答：偶函數(shù)）；（3）已XX

知/（X）是定義在（-3,3）上的奇函數(shù)，當（）<x<3---------~*

時，/（x）的圖像如右圖所示，那么不等式f123

f（x）>cosx<0的解集是（答：I

（-^,-DJ（0,l）U（^,3））；（4）設(shè)了⑺的定義域為R+,對任意x,），￡/?+,

都有/（2）=/1）-/（，），且/>1時，/（X）<0,又/（:）=1，①求證/（劃為

）'2

減函數(shù)；②解不等式/（X）+/（5-X）N-2.（答：（0,l］u［4,5））.

23、導(dǎo)數(shù)幾何物理意義:k寸（x。）表示曲線y二f（x）在點P（x。,f（x。））處

切線的斜率。

V=sz（t）表示t時刻即時速度,a=vz（t）表示t時刻加速度。如一

物體的運動方程是$=1一+產(chǎn)，其中s的單位是米，/的單位是秒，那

么物體在,=3時的瞬時速度為_____（答：5米/秒）

1

24、基本公式:<7=09為常數(shù)）、"7=3"」（01€（2）

25、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：⑴過某點的切線不一定只有一條；如：已知函數(shù)

f（x）=x3-3x

過點尸（2,-6）作曲線），=/*）的切線，求此切線的方程（答：3x+y=0或

24x-y-54=0）。

⑵研究單調(diào)性步驟:分析y二f（x）定義域;求導(dǎo)數(shù);解不等式f（x）NO得

增區(qū)間;解不等式f（x）W0得減區(qū)間;注意f（x）=0的點；如：設(shè)〃>0

函數(shù)/（X）=/-4X在［1,+8）上單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍_____

（答：0<〃K3）；

⑶求極值、最值步驟:求導(dǎo)數(shù);求/皿=。的根;檢驗/?）在根左右兩側(cè)符

號，若左正右負,則f（x）在該根處取極大值;若左負右正,則f（X）在該

根處取極小值;把極值與區(qū)間端點函數(shù)值比較,最大的為最大值,最小

的是最小值.如：（1）函數(shù)y=2--3/-12x+5在［0,3］上的最大值、

最小值分別是______（答：5；-15）；（2）已知函數(shù)/（X）=丁+法2+B+d

在區(qū)間［—1,2］上是減函數(shù)，那么。+c有最—值—答：大，一^）（3）

方程/-6/+9x70=0的實根的個數(shù)為—（答：1）

特別提醒：G）/是極值點的充要條件是七點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不僅

是r（/）=o,r（/）=o是％為極值點的必要而不充分條件"（2）給

出函數(shù)極大（小）值的條件，一定要既考慮八%）=o,又要考慮檢驗“左

正右負”（“左負右正”）的轉(zhuǎn)化，否則條件沒有用完，這一點一定要

切記！如：函數(shù)/（x）=V+加+云+/在“I處有極小值10,則a+b的

值為（答：一7）

三、數(shù)列、

26、期=｛%〃=|）,注意驗證④是否包含在即的公式中。

S“-S"〃22/wN）

27、｛“”｝等差=an-un_1=〃（常數(shù)）=2un=以壯［+a,—（〃>2,neN步中項）

04“=〃〃+伙一次）05.=4〃2+即（常數(shù)項為0（1勺二次）；4力,4,8=?

｛an｝等比=卜f.an+1（n>2,n￡N）。2=冢定）；

Ian^04T

<=>an=a,?q""o.vn=m-in-=?

如若⑷｝是等比數(shù)列,且S.=3?,則r=（答：-1）

28、首項正的遞減（或首項負的遞增）等差數(shù)列前n項和最大（或最小）

問題，轉(zhuǎn)化為解不等式卜"°（或卜‘°）,或用二次函數(shù)處理;（等比前n項

積?），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項嗎？如G）等差數(shù)列N｝

中，4=25,Sq=S「,問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答:

前13項和最大，最大值為169）；（2）若應(yīng)｝是等差數(shù)列，首項

Cl\>°，“2003+“2004>°9a2003,。2004<°9則使前〃項和S”>0成立的最大正整數(shù)

〃是（答：4006）

29、等差數(shù)列中加刊+（nl）d5ia+”4,必-絲“二妁守

等比數(shù)列中an=2|屋；當口二15L皿1當q#l,5產(chǎn)處心二與也

\-q\-q

30.常用性質(zhì)：等差數(shù)列中,a=a+（n-m）d,d=工；當

nnm-n

m+n=p+q,a^+a^ap+aq；

等比數(shù)列中，an=ad";當m+n=p+q,ama?=aPa<1；

如（1）在等比數(shù)列｛凡｝中，4+%=124MM=-512,公比q是整

數(shù)，則4。=一（答:512）；（2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛叫中,若

。5?=9,則log?4+fog3。2+…+log,4o=（答:10）。

31.常見數(shù)列：｛&｝、｛bn｝等差則｛kan+tbj等差;｛a｝、｛bn｝等比則

｛k%｝（kW0）、目｛ah｝、同等比；｛4｝等差，則h｝（c>0）成等

比.｛bn｝（bn>0）等比,則｛logcbn｝（c>0旦C#1）等差。

32.等差三數(shù)為ad,a,a+d;四數(shù)a3d,ad,,a+d,a+3d;

等比三數(shù)可設(shè)a/q,a,aq；四個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：

a/q3,a/q,叫,aq3(為葉么？)

如有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且

第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12,求

此四個數(shù)。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)

33.等差數(shù)列｛an｝的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2mSm、S3ms2m、

S4mS3m、……仍為等差數(shù)列。

等比數(shù)列｛%｝的任意連續(xù)m項的和且不為零時構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2mSm、

S3ms2m、S4mS3m,……仍為等比數(shù)列。

如:公比為1時,工、58s-幾1、…不成等比數(shù)列

34.等差數(shù)列｛a?｝，項數(shù)2n時,S偶S奇=也項數(shù)2n1時,S奇S偶=%;項

數(shù)為2〃時，則盤=4；項數(shù)為奇數(shù)2〃-1時，S奇=6+焚偶.

S奇

35.求和常法:公式、分組、裂項相消、錯位相減、倒序相加.關(guān)鍵找

通項結(jié)構(gòu).

分組法求數(shù)列的和：如%=2n+3n、錯位相減法求和：如“=(2口1)2%

裂項法求和：如求和：i+-L+^^++-------1-------=_________(答:

1+21+2+31+2+3+…〃

—),倒序相加法求和：如①求證：

〃+1

2

C；+3C：+5C：++(2〃+l)C：=(〃+l)?2"；②己知二，貝IJ

l+x~

iii7

/(I)+f(2)+/(3)+/(4)+/(-)+/(-)+/(-)=—(答：-)

JIJ

36.求數(shù)歹北源｝的最大、最小項的方法(函數(shù)思想)：

>0>1

①a”,ian...............=0如an=2M+29n3②=1(an>0)如

<0%<1

學羋③an=f(n)研究函數(shù)f(n)的增減性如an=^—

10n+156

求通項常法：（1）已知數(shù)列的前n項和sn，求通項簿，可利用公

_S（（n=l）

式：徐二1。-Si（?>2）

如：數(shù)列｛〃"｝滿足"=2〃+5,求明（答：

（2）先猜后證

（3）遞推式為ae=a0+f（n）（采用累加法）；a*=a.Xf（n）（采

用累積法）；

如已知數(shù)列｛q｝滿足q=I9an-〃“_]=/1--f=（H>2），則an—

（答：an=\/n+\-V2+I）

（4）構(gòu)造法形如=0_]+。、a“=Si+b"（k力為常數(shù)）的遞推數(shù)列

n-1

如①已知q=1,。“=3a+2,求知（答:an=2?3-1）;

（5）涉及遞推公式的問題，常借助于“迭代法”解決，適當注意以

下3個公式的合理運用

期=（an—期1）+（ani-an2）+....+（a2—ai）+ai；&】=

an-lan-2ai

（6）倒數(shù)法形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項c如

Si+b

①已知求明（答：/=，）；②已知數(shù)列滿足〃尸1,

3%+13〃-2

求明（答：。〃=1）

n

37、禾口：1+2+3+…+〃=4〃（〃+1）,「+2~+…+〃-=工，z（〃+1）（2〃+1）

2o

13+23+33+...+〃3=[處畀1]2

四、三角一

38、終邊相同（B=2kn+a）;弧長公式：/=|c|R,扇形面積公式：

S=^lR=^\a\R2,1弧度（lrad）”57.3.如已知扇形AOB的周長是

6cm,該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2的2）

39、函數(shù)y=Asin（ex+e）+b（co>0,A>0）①五點法作圖；②振幅？相位?

初相？周期T二至，頻率？。二kJi時奇函數(shù)；6二k冗+9時偶函數(shù).③對稱

（02

軸處y取最值，對稱中心處值為0;余弦正切可類比.如（1）函數(shù)

…?信-2,的奇偶性是（答：偶函數(shù)）；⑵已知函數(shù)

=+山3犬+］（圓6為常數(shù)），旦〃5）=7,則/（-5）=（答:

—5）;（3）函數(shù)y=2cosx（sinx+cosx）的圖象的對稱中心和對稱軸分別

是、（答：與嘖D（kwZ）、

x=—+—（keZ））;（4）已矢口/7切=5而（冗+刃+&（;05（1+0）為偶函數(shù)，

287

求0的值。（答：a=k7r+ZkeZ））

6

④變換：巾正左移負右移；b正上移負下移；

.，橫坐際伸縮到原來的L信

y=sinx-1-bl>y=sin(j+①)---------------4~~>y=sin(5+中)

橫坐標仲縮到原來吁儕左或右平移Ui

y=sinx--------------a—>y=sincav----------@>->y=sin（5+①）

雙做剛縮刎原來除倍,y=4.（s+①）上或卜飛劍>），=AsinM+6）+力

40、正弦定理：2R二三二-4二-彳；內(nèi)切圓半徑r=2sA余弦定理:

sinAsinBsinCa+h+c

,222

a2=b2+c22bccosA,cosA=——-...—；S=-absinC=-bcs\nA=』c〃sinH

2bc222

術(shù)語:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基準方向為起點（一般為

北方），依順時針方式旋轉(zhuǎn)至指示方向所在位置，其間所夾的角度稱

之。方位角Q的取值范圍是：0。3<360。=等

41、同角基本關(guān)系：如：已知」^二一1,則包竺包也=__；

tanar-1sina+cos。

sin?a+sinacosa+2=__________（答：--;—）;

35

42、誘導(dǎo)公式簡記:奇變偶不變，符號看象限.（注意：公式中始終視a

為?銳?角?)?

.，】一cos2tt.2I+cos2(2

43、重要公式:sin-a=--------；cos*a=---------

22

a,ll-cosasinal-cosa-00

tan—=±J------=------；V1±sin0=J(cos—±sin—)'=cos—±sin—

21+cosal+costrsina)22222

如：函數(shù)〃x)=5sinxcosx-5GcQs2x+|G(xeR)的單調(diào)遞增區(qū)間

為(答：[卜7r一晟?汽+^^](ksZ))

巧變角：如a=(a+0-4=(a-0+夕，2?=(cr+//)+(?-^),

2a=(/3+a)_("a),a+==(。一^)一(今一夕)等)'如(1)

已知tan(a+P)=,,tan(6-?)=；,那么tan(a+?)的值是(答：/);

(2)已知a,僅為銳角，sina=x,cos/?=y,cos(a+/3)=--,貝Uy與x的

函數(shù)關(guān)系為______(答：y=--Vl-x2+—X-<x<1))

-555______

44、輔助角公式中輔助角的確定：asinx+/?cosx=+/sin(x+6)(其

中tan0=2)如：(1)當函數(shù)y=2cosx-3s加工取得最大值時，〃mx的值

a

是______(答:-—);(2)如果fa)=sin(x”)+2cos(x+0)是奇函數(shù),

2

則tan限_(答:~2);

五、平面向量

45、向量定義、向量模、零向量、單位向量、相反向量(長度相等方

向相反的向量叫做相反向量。Z的相反向量是一「。)、共線向量、相

等向量

注意：不能說向量就是有向線段，為什么？(向量可以平移)

46、力口、減法的平行四邊形與三角形法則：而+就=元；赤-元=而

47、aa±b<a+b9

41、(5)向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量"，b9其夾角為。，

則：

①〃J_b=Q?b=0;

②當a,3同向時，a?b=ab,特別地，a=cfa=a,a=\[a~;

當。與B反向時，a?b=—a當。為銳角時，a?1)>0,且a、6不

同向，〃力>()是。為銳角的必要非充分條件；當。為鈍角時，3“<0,

且。、。不反向，。?/?<()是。為鈍角的必要非充分條件；③|a?力區(qū)|a||Z?|。

如(1)已知:=(42/1),7=(342),如果】與力的夾角為銳角，則力的

取值范圍是（答：或4>0且2/）;

33

48、向量b在"方向上的投影IbIcose="

H

49、J和1是平面一組基底,則該平面任一向量建府+江（W/唯一）

特別：.而=）0+408則4+辦=1是三點P、A、B共線的充要條

件如平面直角坐標系中，。為坐標原點，已知兩點43,1）,8（-1,3）,若點

C滿足而=4加+4方，其中44￡氏且4+4=1，則點c的軌跡是

_______（答：直線AB）

50、在AABC中，①PG='P4+PB+PC）oG為A4BC的重心，特別地

尸A+尸/?+=0o。為A40C的重心、：②PAPR=PRPd=Pd-PAoP為

AA3C的垂心；

③向量44_+41）（/W0）所在直線過AABC的內(nèi)心（是/34C的

|/W|\AC\

角平分線所在直線）；

?\AB\PC+1BC\PA+\CA\PB=0<^PAABC的內(nèi)心；

⑤/AOB=^\xAyB-xByA\；

如：（1）若O是一ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足

OB-OC|=|OB+OC-2OA|,則一ABC的形狀為（答:直角三角形）;

（2）若。為A/WC的邊8c的中點，A/WC所在平面內(nèi)有一點尸，滿足

以+BP+C尸=0,設(shè)出=4,貝〃的值為—（答：2）；（3）若點。是

\PD\

△ABC的外心，且。4+OA+CO=0,貝ijAABC的內(nèi)角。為（答：120）;

51、P分屜的比為丸，則而，九>0內(nèi)分；九<0且丸關(guān)1外分.

而=亞巫；若入=1則而=；（而+而）/P（x,y）,R（Xi,y）,

1+22

xi+Ar2._-V|+x2X|+X2+X,

I+/1；中點2’重心3

P2(x2,y2)則.

)'=M+"..X+上%+丫2+力

1+23

52、點P（x,y）按'=（力刈平移得"（HW，則PP=5或｛；；；：：函數(shù)y=/。）

按,=（/U）平移得函數(shù)方程為:=如（1）按向量〃把（2,-3）平

移到（1,-2）,則按向量a把點（-7,2）平移到點______（答：（-8,3））;

（2）函數(shù)），=sin2/的圖象按向量1平移后，所得函數(shù)的解析式是

），=cos2x+l,則1=________（答：（--,1））

4

六、不等式

53、注意課本上的幾個性質(zhì)，另外需要特別注意：

①若ab>0,則即不等式兩邊同號時，不等式兩邊取倒數(shù)，不

ab

等號方向要改變。②如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意

它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論。如：已知-1工工+），41,

l<x-y<3則3x-y的取值范圍是（答：1w7）;

54、比較大小的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等

手段判斷差的符號得出結(jié)果；（2）作商（常用于分數(shù)指數(shù)嘉的代數(shù)式）;

（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用

函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量與“0”比，與“1”比或放縮法；

（8）圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）設(shè)

〃〉（）且g1/>0,匕較加/和]og〃—?的大小（答：當4>1時，

glog/Wlog"?（/二1時取等號）；當0<〃<1時，glog/2log0（/=1

時取等號））；（2）設(shè)。>2,p=a^—,q=2.2,試比較p應(yīng)的大

a-2

小（答：p>q）

55、常用不等式：若a/>0,（1）（當且

僅當”二8時取等號）；（2）4、b、CeR,a2+b2^c2>ab^bc^ca（當

且僅當a=/,=c時，取等號）；（3）若心則然竺巴（糖水

aa+tn

的濃度問題）。

如：如果正數(shù)a、滿足a〃=a+/?+3,則他的取值范圍是（答:

[9,+co））

基本變形：①。+此;（―）2>;

------------2-------------

注意：①一正二定三取等；②積定和最小，和定積最大。常用的方法

WWYwwWwWWWWWWWWWww

為：拆、湊、平方；如：①函數(shù)y=4x-------(x>—)的最小

\Z\ZXZXZ\Z\Z\/\Z\Z\/XZX/\Z\/\/X/X/XZ\/\ZXZ\ZXZ\/\Z\/X/\Z\ZXZ\ZV*\Z\Z\Z\'24x2

值O(答：8)

②若若x+2y=l,則2\4,的最小值是(答：2及)；

③正數(shù)滿足x+2y=l,則，+工的最小值為(答：

3+20）;

56、加卜網(wǎng)*士4斗|+巾（何時取等？）；|a|/a；|a|>―a

57、證法:①比較法:差比：作差變形（分解或通分配方）定號.另：商比

②綜合法由因?qū)Ч?③分析法執(zhí)果索因;④反證法正難則反。⑤放縮法

方法有：

⑴添加或舍去一*些項，如：^la2+1>\a\;Jn（n+1）>n

⑵將分子或分母放大（或縮小）

SZ\Z\?\Z\ZXZWX\X\Z\Z\ZWZ\ZWZ\^/WZVZ\Z'XZWZ\Z\Z\Z\Z\ZS<\Z\Z\ZWZXZ\/\Z\ZSZ\Z\Z

如：log3?lg5<（Ig3；lg5）2_]g<]g=lg4;

[―：---—〃+（〃+l）

y]n（n+l）<——-——

乙

⑷利用常用結(jié)論：

___<_________—_____—__?___〉__________—________

k2k(k-1)k-\k'k2k(k+1)kk+\

⑥換元法：常用的換元有三角換元和代數(shù)換元。如:

已矢口工之+丁口J設(shè)x=4cos0,>=asin。;

已知工2+/,可設(shè)x=rcos。,y=rsin0(0<r<1);

2、/

已知—+==1，可設(shè)％=acos6,y=〃sin。；

己矢口?一方=1,可設(shè)x=asecO,y=/?tan。；

⑦最值法,如：a>f.ax(x),則a>f(X)恒成立.

58、解絕對值不等式:①幾何法(圖像法)②定義法(零點分段法)；③兩

邊平方

④公式法：|f(x)|>g(x)=^|f(x)I<g(x)

<=>O

59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根軸法(穿線法).注意偶

次式與奇次式符號.奇穿偶回

如(1)解不等式*+3)(工一1)3(工+2)220。(答：{x\x>\^x<-3^x=-2});

(2)解不等式>M〃wR)(答:。=0時,{x\x<0};。>0時，{x|A>—

ax-1a

或JV<0};。<0時，*|Lx<0}或JCVO})

七、立幾

60.位置和符號①空間兩直線:平行、相交、異面;判定異面直線用定

義或反證法②直線與平面：a〃a、ana=A(aaa)、aca③平面

與平面：a〃B、aGB二a

a//ba1?P

61.常用定理:①線面平行力.aHP=alia\a1.P=>a//a

'au0

aaacza

alia、allp

?a//b},

②線線平行:au0\^>a!lb??ala]〃八'.ar\y=a

=b\pcy=b

aua,bca.

③面面平行:acb=O=aHB；"〃=a〃y

aLBvllB

aHR、bH6」J

尸。la

④線線垂直：=；所成角90°；(三垂線)；逆定理?

baa]aua}nalPA

a_LAO

.al。

?a1邛〃?allb

⑤線面垂直::三黑=bLa

=>/la'ar\°=l1ala2,小

aa.a.aLI

⑥面面垂直：二面角90°；心々="”「〃。|=0”

alajaLa\

62.求空間角①異面直線所成角。的求法：（1）范圍：。￡（0卷］；（2）

求法：平移以及補形法、向量法。如（1）正四棱錐尸-A38的所

有棱長相等，E是PC的中點，那么異面直線與幺所成的角的余

弦值等于一（答：￥）；（2）在正方體A3中，M是側(cè)棱DDi

的中點，O是底面ABCD的中心，P是棱Ag1上的一點，貝IJOP

與AM所成的角的大小為（答：90°）；②直線和平面所成的

角：（1）范圍［0,90］；（2）斜線與平面中所有直線所成角中最小的

角。：（3）求法：作垂線找射影或求點線距離（向量法）；如（1）

在正三棱柱ABCABiCi中,已知AB=1,D在棱BBl上，BD=1,

則AD與平面AAiGC所成的角為_____（答：arcsin逅）；（2）

4

正方體ABCDABCD中,E、F分別是AB、CD的中點，則棱AB

與截面AFCF所成的角的余弦值是（答：1）；③二面角：

二面角的求法：定義法、三垂線法、垂面法、面積射影法：

S射=S*cos。、轉(zhuǎn)化為法向量的夾角。如（1）正方形ABCDA,B|CIDI

中，二面角BAiCA的大小為（答：60）；（2）正四棱柱

ABCD—A.B.C.D.中對角線BD】=8,BD|與側(cè)面B】BCG所成的為

30°,則二面角Ci—BDj—Bi的大小為（答:arcsin乎）；（3）

從點P出發(fā)引三條射線PA、PB、PC,每兩條的夾角都是60°,

則二面角BPAC的余弦值是______（答：-）；

3

63.平行六面體一直平行六面體一長方體一正四棱柱一正方體間聯(lián)

系

三棱錐中：側(cè)棱長相等（側(cè)棱與底面所成角相等）。頂點在底面射影為

底面外心；側(cè)棱兩兩垂直（兩對對棱垂直）o頂點在底面射影為底面垂

心;斜高相等（側(cè)面與底面所成相等）。頂點在底面射影為底面內(nèi)心；

正棱錐各側(cè)面與底面所成角相等為0,則S側(cè)cos。二S底;正三角形四心?

內(nèi)切外接圓半徑？；

64.空間距離:①異面直線間距離:找公垂線；②平行線與面間距離

（兩平行面間距離）一點到面距離:直接法、等體積、轉(zhuǎn)移法、垂面法、

向量法〃=當上.③點到線距離:用三垂線定理作垂線后再求；

n

65.求球面兩點A、B距離①求|AB|②算球心角NA0B弧度數(shù)③用公

式L球面距離二°球心角乂心緯線半徑1=既05緯度。S后4兀/力球=:二R';

66.平面圖形翻折;展開）：注意翻折（展開）后在同一平面圖形中角

度、長度不變：

67.從點0引射線OA、OB、0C,若NA0B=NA0C,則A在平面BOC的射

影在NBOC平分線上;若A到0B與0C距離相等,則A在平面BOC的射

影在NB0C平分線上；

68.常用轉(zhuǎn)化思想:①構(gòu)造四邊形、三角形把問題化為平面問題②將

空間圖展開為平面圖③割補法④等體積轉(zhuǎn)化⑤線線平行0線面平行

=面面平行⑥線線垂直=線面垂直=面面垂直⑦有史點等特殊點線,

用“中位線、重心”轉(zhuǎn)化.

:AB和平面所成角是0,AB在平面內(nèi)射影為AO,AC在平面內(nèi)，設(shè)NCAO二

a,NBAOB,則cos6=cos0cosa;長方體:對角線長訴7；

若長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成角分別為a,3,

丫，則有cos2a+cos2B+cos2y=l;體對角線與過同頂點的三側(cè)面所

成角分別為a,6,y,則。0$2（1+以九29+以）$2丫=2;正方體和長方體

外接球直徑二體對角線長；

特別指出：立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用

線面