經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)與決策技術(shù)及MATLAB實(shí)現(xiàn)第14章熵權(quán)法與逼近理想解排序法

14.1熵權(quán)法14.2逼近理想解排序法14.3案例分析練習(xí)與提高（十四）14.3.2TOPSIS法的商業(yè)銀行績(jī)效評(píng)價(jià)14.3.1熵權(quán)法的低碳經(jīng)濟(jì)發(fā)展評(píng)價(jià)

14.1熵權(quán)法14.1.1熵的定義和性質(zhì)熵是一種不確定性的定量化度量，若系統(tǒng)是具有n個(gè)結(jié)果且概率為的離散型隨機(jī)試驗(yàn)，則該系統(tǒng)的熵為熵的基本性質(zhì)：可加性、非負(fù)性、極值性、對(duì)稱(chēng)性14.1.2熵權(quán)法計(jì)算步驟

熵權(quán)法是通過(guò)計(jì)算指標(biāo)的信息熵，利用指標(biāo)的差異程度來(lái)度量已知數(shù)據(jù)中包含的有效信息和指標(biāo)權(quán)重。指標(biāo)的離散程度越大，其熵值越小，表明其信息的有效價(jià)值越大，該指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中對(duì)目標(biāo)的影響也就越大。1．初始數(shù)據(jù)矩陣標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)有m個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象，n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，則形成評(píng)價(jià)系統(tǒng)的初始數(shù)據(jù)矩陣X：表示第i個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象在第j項(xiàng)指標(biāo)中的數(shù)值；表示第j個(gè)指標(biāo)的全部評(píng)價(jià)對(duì)象的列向量數(shù)據(jù)對(duì)各指標(biāo)進(jìn)行無(wú)量綱化處理，采用極差變換法：2．計(jì)算第j指標(biāo)第i個(gè)評(píng)價(jià)對(duì)象的比重得到比重矩陣3．計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)的信息熵的值4．計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)的差異系數(shù)5．計(jì)算第j項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重5．計(jì)算評(píng)價(jià)方案i的評(píng)價(jià)值

14.1.3熵權(quán)的性質(zhì)與意義1.熵權(quán)的性質(zhì)（1）若某列元素?cái)?shù)值都相同，則熵最大值為1，熵權(quán)為0。表明在某指標(biāo)上各評(píng)價(jià)對(duì)象的數(shù)值相同時(shí)，該指標(biāo)未包含任何有價(jià)值的信息。2.熵權(quán)意義在決策或評(píng)估問(wèn)題中，熵權(quán)并不表示某指標(biāo)在實(shí)際意義上的重要性系數(shù)，而是表示在給定評(píng)價(jià)對(duì)象和評(píng)價(jià)指標(biāo)情況下，各指標(biāo)在競(jìng)爭(zhēng)意義上的相對(duì)激烈程度系數(shù)。（2）若某列元素?cái)?shù)值相差越大，則熵值就越小，熵權(quán)就越大。表明該指標(biāo)包含有價(jià)值的信息（3）若指標(biāo)的熵值越大，則其熵權(quán)越小，表明該指標(biāo)越不重要。14.2TOPSIS法

逼近理想解排序法（TOPSIS）是有限方案多目標(biāo)決策分析的一種常用方法。其基本思路是先定義決策問(wèn)題的理想解和負(fù)理想解，然后把各可行解與理想解和負(fù)理想解做比較，若其中有一個(gè)可行解最接近理想解，而同時(shí)又遠(yuǎn)離負(fù)理想解，則此解就是可行解集的滿(mǎn)意解。

所謂理想解是一設(shè)想的最優(yōu)的解，它的各個(gè)屬性值都達(dá)到各可行解中的最好的值；而負(fù)理想解是一設(shè)想的最劣的解，它的各個(gè)屬性值都達(dá)到各可行解中的最壞的值。14.2.1TOPSIS基本原理14.2.2逼近理想解排序的基本步驟設(shè)有m個(gè)評(píng)價(jià)方案，n個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，則原始數(shù)據(jù)矩陣為X：其中，

表示第i個(gè)評(píng)價(jià)方案在第j項(xiàng)指標(biāo)中的數(shù)值。1．指標(biāo)趨同化處理

指標(biāo)分為低優(yōu)指標(biāo)和高優(yōu)指標(biāo)，需將低優(yōu)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為高優(yōu)指標(biāo)。處理方法是對(duì)低優(yōu)指標(biāo)取倒數(shù)，并且可適當(dāng)擴(kuò)大或縮小一定比例來(lái)轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)。2．將趨同化數(shù)據(jù)歸一化處理

將趨同化數(shù)據(jù)組成的矩陣按列（指同一指標(biāo)）做歸一化處理，得到矩陣Z：3．確定最優(yōu)方案與最劣方案最優(yōu)方案由Z中每列中的最大值構(gòu)成:最劣方案由Z中每列中的最小值構(gòu)成：4．計(jì)算評(píng)價(jià)方案與最優(yōu)方案和最劣方案的距離5．計(jì)算各評(píng)價(jià)方案與最優(yōu)方案的接近程度6．依接近程度C大小對(duì)各評(píng)價(jià)方案進(jìn)行排序，確定評(píng)價(jià)效果14.3案例分析14.3.1熵權(quán)法的低碳經(jīng)濟(jì)發(fā)展評(píng)價(jià)【例14-1】根據(jù)環(huán)境系統(tǒng)評(píng)價(jià)的DPSIR（驅(qū)動(dòng)力-壓力-狀態(tài)-影響-響應(yīng)）方法，給出總目標(biāo)、第一指標(biāo)層（含5個(gè)指標(biāo)）和第二指標(biāo)層（含24個(gè)子指標(biāo)）的評(píng)價(jià)體系（具體結(jié)構(gòu)參見(jiàn)下表，并搜集整理出山東省2011--2020年第二指標(biāo)層數(shù)據(jù)，試采用熵權(quán)法求出各層指標(biāo)的權(quán)重，并評(píng)價(jià)山東省這十年的低碳經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r。總目標(biāo)第一指標(biāo)層第一指標(biāo)層權(quán)重第二指標(biāo)層第二指標(biāo)層權(quán)重總權(quán)重

低碳經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)驅(qū)動(dòng)力(D)0.1970地區(qū)生產(chǎn)總值0.17800.0351人均GDP增長(zhǎng)率0.22170.0437城鎮(zhèn)居民人均可支配收入0.20800.0410人口自然增長(zhǎng)率0.15790.0311城鎮(zhèn)化水平0.23450.0462壓力(P)0.2024能源消耗總量0.35730.0723能源消耗強(qiáng)度0.14540.0294能源消費(fèi)彈性系數(shù)0.20380.0413碳排放總量0.13660.0277碳排放強(qiáng)度0.15690.0318狀態(tài)(S)0.2063第三產(chǎn)業(yè)所占GDP比重0.21180.0437第二產(chǎn)業(yè)所占GDP比重0.21560.0445原煤消費(fèi)量占比0.24520.0506SO2排放總量0.32740.0676影響(I)0.1839社會(huì)失業(yè)率0.21240.0391城鎮(zhèn)恩格爾系數(shù)0.23960.0441農(nóng)村恩格爾系數(shù)0.17740.0326全省空氣質(zhì)量日?qǐng)?bào)良好率0.37050.0681響應(yīng)(R)0.2103建成區(qū)綠化覆蓋率0.22010.0463每萬(wàn)人擁有的公交車(chē)數(shù)0.21940.0462生活垃圾無(wú)害化處理率0.08650.0182廢水處理率0.16230.0341工業(yè)固廢利用率0.18770.0395R&D經(jīng)費(fèi)占GDP的比重0.12400.02611.求第二指標(biāo)層驅(qū)動(dòng)因素指標(biāo)的權(quán)重年份地區(qū)生產(chǎn)總值/億元人均GDP增長(zhǎng)率/%城鎮(zhèn)居民人均可支配收入/元人口自然增長(zhǎng)率/%城鎮(zhèn)化水平/%201145361.8513.9922791.85.1041249.2825755.24.9541.97201355230.329.7528264.15.0142.97201459426.596.7029221.97.3943.96201563002.338.2331545.35.8847.87201668024.495.4034012.110.8449.04201772634.156.3436789.410.1450.20201876469.675.2239549.46.0850.94201971067.535.4642329.24.2749.94202073129.003.2243726.31.350.38（1）輸入指標(biāo)數(shù)據(jù)，確定對(duì)象個(gè)數(shù)和指標(biāo)個(gè)數(shù)%驅(qū)動(dòng)因素（D）clearX=[……];

%數(shù)據(jù)見(jiàn)上表，直接復(fù)制[m,n]=size(X);%m為對(duì)象個(gè)數(shù)，n為指標(biāo)個(gè)數(shù)（2）初始數(shù)據(jù)矩陣標(biāo)準(zhǔn)化%全是正向指標(biāo)X1=[];forj=1:nX2=(X(:,j)-min(X(:,j)))./(max(X(:,j))-min(X(:,j)));X1=[X1,X2];endX1（3）計(jì)算比重矩陣YS=sum(X1)Y=X1./repmat(S,m,1)（4）計(jì)算各指標(biāo)的信息熵的值K=1/log(m);fori=1:mforj=1:nifY(i,j)==0lnY(i,j)=0;elselnY(i,j)=log(Y(i,j));endendendE=-K*(sum(Y.*lnY))（5）計(jì)算各指標(biāo)的差異系數(shù)D=1-E（6）計(jì)算各指標(biāo)的權(quán)重W=D/sum(D)W=0.1780 0.2217 0.2080 0.1579 0.23452.求第二指標(biāo)層壓力因素指標(biāo)的權(quán)重年份能源消耗總量/萬(wàn)t能源消耗強(qiáng)度/(t/萬(wàn)元)能源消費(fèi)彈性系數(shù)碳排放總量/萬(wàn)t碳排放強(qiáng)度/（t/萬(wàn)元）2011312120.6880.62830771.832012326870.6530.48872911.752013342350.6190.50794211.442014353630.5950.38819061.382015393320.6240.50854461.362016401380.5900.28863431.272017400980.552-0.01835821.152018405810.5310.19901651.182019413900.5820.37937111.322020418270.5720.30815001.12（1）輸入指標(biāo)數(shù)據(jù)，確定對(duì)象個(gè)數(shù)和指標(biāo)個(gè)數(shù)%壓力因素（P）clearX=[…];%數(shù)據(jù)見(jiàn)上表[m,n]=size(X);%m為對(duì)象個(gè)數(shù)，n為指標(biāo)個(gè)數(shù)（2）初始數(shù)據(jù)矩陣標(biāo)準(zhǔn)化%全是負(fù)向指標(biāo)X1=[];forj=1:nX2=(max(X(:,j))-X(:,j))./(max(X(:,j))-min(X(:,j)));X1=[X1,X2];end%以下的程序與上面求第二指標(biāo)層驅(qū)動(dòng)因素權(quán)重中的程序第（3）步至第（6）步完全相同W=0.3573 0.1454 0.2038 0.1366 0.15693.求第二指標(biāo)層狀態(tài)因素指標(biāo)的權(quán)重年份第三產(chǎn)業(yè)所占GDP比重/%第二產(chǎn)業(yè)所占GDP比重/%原煤消費(fèi)量占比/%SO2排放總量/萬(wàn)t201138.352.972.4218320124051.573.81175201341.250.170.71164201443.548.470.30159201545.346.869.95153201646.746.169.0773201748.045.470.1942201849.544.067.3834201953.039.862.3728202053.539.160.8119（1）輸入指標(biāo)數(shù)據(jù)，確定對(duì)象個(gè)數(shù)和指標(biāo)個(gè)數(shù)%狀態(tài)因素（S）clearX=[…];%數(shù)據(jù)見(jiàn)上表[m,n]=size(X);%m為對(duì)象個(gè)數(shù)，n為指標(biāo)個(gè)數(shù)（2）初始數(shù)據(jù)矩陣標(biāo)準(zhǔn)化%第1列是正向指標(biāo)，其它各列都為負(fù)向指標(biāo)X1=(X(:,1)-min(X(:,1)))./(max(X(:,1))-min(X(:,1)))X2=[];forj=2:nX3=(max(X(:,j))-X(:,j))./(max(X(:,j))-min(X(:,j)));X2=[X2,X3];endX4=[X1,X2]（3）計(jì)算比重矩陣YS=sum(X4)Y=X4./repmat(S,m,1)W=

0.2118

0.2156

0.2452 0.32744.求第二指標(biāo)層影響因素指標(biāo)的權(quán)重年份城鎮(zhèn)登記失業(yè)率（%）城鎮(zhèn)恩格爾系數(shù)(%)農(nóng)村恩格爾系數(shù)(%)空氣質(zhì)量日?qǐng)?bào)良好率(%)20113.430.233.394.820123.329.931.895.020133.229.231.895.620143.328.93195.820153.427.830.466.020163.527.629.856.920173.426.828.666.020183.426.328.160.420193.326.127.859.720203.126.829.469.1（1）輸入指標(biāo)數(shù)據(jù)，確定對(duì)象個(gè)數(shù)和指標(biāo)個(gè)數(shù)%影響因素（I）clearX=[…];%數(shù)據(jù)見(jiàn)上表[m,n]=size(X);%m為對(duì)象個(gè)數(shù)，n為指標(biāo)個(gè)數(shù)（2）初始數(shù)據(jù)矩陣標(biāo)準(zhǔn)化%第4列是正向指標(biāo)，其它列為負(fù)向指標(biāo)X1=[];forj=1:3X2=(max(X(:,j))-X(:,j))./(max(X(:,j))-min(X(:,j)));X1=[X1,X2];endX3=(X(:,4)-min(X(:,4)))./(max(X(:,4))-min(X(:,4)));X4=[X1,X3]（3）計(jì)算比重矩陣YS=sum(X4)Y=X4./repmat(S,m,1)W=0.2124 0.2396 0.1774 0.37055.求第二指標(biāo)層因素指標(biāo)的權(quán)重年份建成區(qū)綠化覆蓋率/%每萬(wàn)人擁有的公交車(chē)數(shù)/(萬(wàn)人/輛)生活垃圾無(wú)害化處理率/%廢水處理率/%工業(yè)固廢利用率/%R&D經(jīng)費(fèi)占GDP的比重/%201141.512.4192.593.1893.681.86201242.112.7698.194.2293.082.04201342.613.5499.594.9394.292.13201442.813.17100.095.0595.732.19201542.314.43100.095.7792.482.27201642.315.88100.096.2184.302.30201742.116.36100.096.9579.522.41201841.815.13100.097.4586.12.15201941.816.0899.997.9990.752.10202041.615.56100.098.2678.482.306.第一指標(biāo)層權(quán)重

為求第一層指標(biāo)各因素的權(quán)重，我們將全部24個(gè)子指標(biāo)數(shù)據(jù)組合成一個(gè)矩陣X，先算出每個(gè)指標(biāo)的權(quán)重，然后將同一因素下的指標(biāo)權(quán)重相加，就可得到這一因素的權(quán)重。由于指標(biāo)含有正向指標(biāo)和負(fù)向指標(biāo)，為此我們使用前五步無(wú)量鋼化處理后各自計(jì)算出的比重矩陣Y，并組合成新矩陣P，然后對(duì)其求熵值和權(quán)重。由于回應(yīng)因素（R）的指標(biāo)全是正向指標(biāo)，所以本部分程序與求第二指標(biāo)層驅(qū)動(dòng)因素權(quán)重中的程序完全一致，只是將初始數(shù)據(jù)矩陣X用上表數(shù)據(jù)替換即可。W=0.2201 0.2194 0.0865 0.1623 0.1877 0.1240P=[…]；%P為11行24列的矩陣，全部指標(biāo)[m,n]=size(P);%m為對(duì)象個(gè)數(shù)，n為總的子指標(biāo)個(gè)數(shù)K=1/log(m);fori=1:mforj=1:nifP(i,j)==0lnP(i,j)=0;elselnP(i,j)=log(P(i,j));endendendE=-K*(sum(P.*lnP))%計(jì)算熵值D=1-EW=D/sum(D)%計(jì)算權(quán)重%第一指標(biāo)層各指標(biāo)因素權(quán)重WD1=sum(W(1:5))WP1=sum(W(6:10))WS1=sum(W(11:14))WI1=sum(W(15:18))WR1=sum(W(19:24))WD1=0.1969WP1=0.1957WS1=0.2084WI1=0.1681WR1=0.23087.第一指標(biāo)層與第二指標(biāo)層組合權(quán)重將第一指標(biāo)層權(quán)重與第二指標(biāo)層相乘，即得第二指標(biāo)層對(duì)總目標(biāo)的權(quán)數(shù)。因第一指標(biāo)層權(quán)重向量為W1=[WD1，WP1，WS1，WI1，WR1]，若將前面1至5步計(jì)算出的第二指標(biāo)層五個(gè)因素的權(quán)重向量分別記為W21、W22、W23、W24和W25，則驅(qū)動(dòng)力、壓力、狀態(tài)、影響和響應(yīng)因素的綜合權(quán)重向量分別為WD、WP、WS、WI和WR，即W1=[0.19690.19570.20840.16810.2308];W21=[0.1780 0.2217 0.2080 0.1579 0.2345];W22=[0.3573 0.1454 0.2038 0.1366 0.1569];W23=[0.2118 0.2156 0.2452 0.3274];W24=[0.2124 0.2396 0.1774 0.3705];W25=[0.2201 0.2194 0.0865 0.1623 0.1877 0.1240];WD=W1(1)*W21WP=W1(2)*W22WS=W1(3)*W23WI=W1(4)*W24WR=W1(5)*W25WD=0.03500.04370.04100.03110.0462WP=0.06990.02850.03990.02670.0307WS=0.04410.04490.05110.0682WI=0.03570.04030.02980.0623WR=0.05080.05060.02000.03750.04330.02868.計(jì)算各年度的績(jī)效值

利用組合權(quán)重與第二層各因素指標(biāo)中處理后的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)相乘再求和，即得最終各年度的績(jī)效值。

若將第二層五個(gè)因素（驅(qū)動(dòng)力、壓力、狀態(tài)、影響和響應(yīng)）程序中，通過(guò)無(wú)量鋼化處理后的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)矩陣分別記為X21、X22、X23、X24和X25，則得各年度五個(gè)因素的績(jī)效值和總績(jī)效值。U1=X21*W21'%驅(qū)動(dòng)力績(jī)效值U2=X22*W22'%壓力績(jī)效值U3=X23*W23'%狀態(tài)績(jī)效值U4=X24*W24'%影響績(jī)效值U5=X25*W25'%響應(yīng)績(jī)效值U=X21*WD'+X22*WP'+X23*WS'+X24*WI'+X25*WR'%總績(jī)效值UU=[U1,U2,U3,U4,U5,U]%績(jī)效值匯總t=1:10;plot(t,U1,'-+',t,U2,'->',t,U3,'-o',t,U4,'-p',t,U5,'-^',t,U,'-d')set(gca,'XTick',[12345678910])set(gca,'XTickLabel',{'2011';'2012';'2013';'2014';'2015';'2016';'2017';'2018';'2019';'2020’})legend('驅(qū)動(dòng)力指標(biāo)','壓力指標(biāo)','狀態(tài)指標(biāo)','影響指標(biāo)','回應(yīng)指標(biāo)','總績(jī)效值')xlabel('年份')ylabel('績(jī)效值')年份驅(qū)動(dòng)力指標(biāo)壓力指標(biāo)狀態(tài)指標(biāo)影響指標(biāo)回應(yīng)指標(biāo)總績(jī)效值20110.28460.45900.02620.41410.16540.259120120.26130.46440.06150.53500.41830.341620130.35060.58110.18060.63470.61860.469820140.38440.59360.25690.62690.67070.505620150.52800.36490.32550.37360.66170.458720160.63300.45180.53230.26480.67400.524120170.72250.63500.60210.49010.66320.627520180.69930.50400.71380.48210.57310.598420190.64710.30650.93470.54990.68130.631920200.58800.48461.00000.65310.53990.653414.3.2TOPSIS法的商業(yè)銀行績(jī)效評(píng)價(jià)【例14-2】現(xiàn)給出國(guó)內(nèi)8家股份制商業(yè)銀行上市公司在2020年的股票年報(bào)指標(biāo)數(shù)據(jù)，如表所示，試用TOPSIS法對(duì)這些股份制商業(yè)銀行的業(yè)績(jī)進(jìn)行評(píng)價(jià)。公司名稱(chēng)員工人數(shù)/人營(yíng)業(yè)成本總資產(chǎn)總負(fù)債營(yíng)業(yè)收入利潤(rùn)總額凈利潤(rùn)華夏銀行39284681.5833998.1631171.61953.09271.53215.68興業(yè)銀行554731265.9078940.0072691.972031.37766.37676.81浦發(fā)銀行590511296.4879502.1873044.011963.84666.82589.93中信銀行551541369.1575111.6169511.231947.31578.57495.32光大銀行46316967.9253681.1049131.121424.79454.97379.05平安銀行361151166.3344685.1441043.831535.42367.54289.28招商銀行760091678.3983614.4876310.942904.821224.40979.59民生銀行566531477.6069502.3364089.851849.51367.06351.02（1）指標(biāo)趨同化處理Y2=1./X(:,2)%將第2列低優(yōu)指標(biāo)（營(yíng)業(yè)成本）轉(zhuǎn)換成高優(yōu)指標(biāo)Y4=1./X(:,4)%將第4列低優(yōu)指標(biāo)（總負(fù)債）轉(zhuǎn)換成高優(yōu)指標(biāo)X(:,2)=Y2;%替換初始矩陣X中的第2列X(:,4)=Y4;