專(zhuān)題17立體幾何綜合

【2024年】

L（2024?新課標(biāo)I文）如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓睢底面的圓心，.ABC是底

面的內(nèi)接正三角形，尸為。。上一點(diǎn)，N4PC三90°.

（1）證明：平面川從1_平面必C；

（2）設(shè)如正,圓錐的側(cè)面積為外兀，求三極錐/「/仍6?的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）旦.

8

【解析】

（1）Q。為圓徘頂點(diǎn)，O為底面圓心，「.O。，平面ABC,

?.?尸在。。上，OA=OB=OC*:.PA=PB=PC,

?.pABC是圓內(nèi)接正三角形，「.ACuBC，XPAC三4PBC、

:.ZAPC=ZBPC=9O°,即P8_LPC,尸A_LPC,

PAflP8=P,APC_L平面PAB,PCu平面PAC，.二平面PAB_L平面PAC：

（2）設(shè)圓錐的母線為/,底面半徑為r,圓錐的側(cè)面積為;r"=G；r,〃=J5，

0。2=/2一，=2,解得/■=l,/=6，AC=2rsin60=6,

在等腰直角三角形APC中，AP=顯AC=1，

22

在RfeBAO中，PO=yjAP2-OA2=

???三棱錐P-ABC的體枳為匕,ARC=」2。?Sr”=LX也X走X3=邁.

pARC

-3八ABC3248

D

2.（2024?新課標(biāo)II文）如圖，已知三棱柱/心C-46G的底面是正三角形，側(cè)面曲GC

是矩形，MN分別為6。，5G的中點(diǎn)，p為/例上一點(diǎn).過(guò)氐G和尸的平面交力5于笈交力。

于F.

（1）證明：AV/業(yè)V；且平面44郵1_平面即CA

（2）設(shè)。為△484的中心，若力8.4廬6,力）/平面即G凡且上」仍宜白，求四棱錐

4-期G/的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析：（2）24，.

【解析】

（1）M,N分別為BC，4G的中點(diǎn)，

又心〃明

MNHAA

在等邊AA6c中，M為8c中點(diǎn)，則8C_LAM

又???側(cè)面sqcc為矩形，

BC±BB1

???MN//BB,

MN1BC

由MNcAM=M,加乂八加匚平面人①"修

/.8C_1_平面AAMN

又?.B￡"BC,且&C（z平面A5C,BCu平面ABC,

??.4G〃平面ABC

乂，Bi&u平面EB&F,且平面E4G尸c平面A8C=臂

:.B.CJ/EF

EF//BC

又?.8C_L平面AAMN

￡F_L平面AAMN

?.?EFu平面EBCF

平面EBGFJ_平面A}AMN

（2）過(guò)M作PN垂線，交點(diǎn)為〃，

畫(huà)出圖形，如圖

AO〃平面EBCF

AOu平面AAMN,平面AAMNc平面E4C尸二可尸

...AO//NP

又一NOHAP

A0=NP=6

。為的中心.

ON=1sin60°=1x6xsin60°=V5

故：ON=AP=0則4M=3AP=3X/5，

平面EBCF1平面AAMN,平而EB￡Fc平面A.AMN=NP,

/W”u平面A|4MN

.??加〃_1平面破97

FFAP

又二.在等邊t.ABC中——=—

BCAM

,,,,rrAPBC石x6.

即EF=----------=——==2

AM3V3

由（1）知，四邊形E8C尸為梯形

四邊形?E807的面積為：S四邊形叫GFJf附=號(hào)x6=24

VB-%GF=2$四邊形鄴/h，

h為M到PN的距離=26?sin60。=3，

V=lx24x3=24.

3

3.（2024?新課標(biāo)III）如圖，在長(zhǎng)方體A8CO-A4C1A口，點(diǎn)E，尸分別在棱。A，

且

上，2DE=ED1,BF=2FBi.證明:

6R

(1)當(dāng)=時(shí)，EFLAC.

（2）點(diǎn)G在平面A律內(nèi).

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-AqG所以?_L平面ABCD：.AC1BB.,

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABC。-A4G乙，AB=BC,所以四邊形A0C。為正方形AC皿）

因?yàn)锽D=B,EB\、BOu平面因此AC_L平面Bq。1。，

因?yàn)镋Fu平面BBRD、所以ACLEF,

（2）在CG上取點(diǎn)歷使得CM=2MG，連。

因?yàn)锳E=2ED,DDJICC,,DD1=CC1,所以ED=MC^ED//MC},

所以四邊形OMGE為平行四邊形，/.DM//EC}

因?yàn)?=OA,所以四邊形為平行四邊形，EQ//AF

因此C在平面A防內(nèi)

4.（2024?北京卷）如圖，在正方體ABC。—A4GA中，g為的中點(diǎn).

AiB,

（【）求證：8cl〃平面ARE；

（Il）求直線AM與平面AQE所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見(jiàn)解析：（II）

【解析】

:.AB〃CnRAB=Cin，所以，四邊形A8CQ為平行四邊形，則

8C］（Z平面A￡）1E,4￡）|u平面AO|E,BC"平面ARE；

（II）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD>AB>AA,所在直線分別為工、>\z軸建立如下圖

所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyzf

設(shè)正方體48co-4瓦GQ的棱長(zhǎng)為2,則A（（）,o,o）、A（0,0,2）,2（2,0,2）、

￡（0,2,1）,AD,=（2,0,2）,AE=（0,2,1）,

設(shè)平面ADE的法向量為〃=（x,y,z）,由J〃'A"二°,得2x+2z=0

ri-AE=02y+z=0

令z=-2,則x=2,y=l,Wijn=（2,l,-2）.

一”.AA,42

cos<nAA,>=1—j-；——

yMW=-3^2=-3-

2

因此，直線4AH平面A"七所成角的正弦值為彳.

5.（2024?江蘇卷）在三棱柱月砥中，ABLAC,4CL平面月/匕E,“分別是月。,

AC的中點(diǎn).

（i）求證：",〃平面仍q：

（2）求證：平面仍C_L平面力硼.

【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析：（2）證明詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由于￡〃分別是AC片。的中點(diǎn)，所以EF〃AB「

由于石/仁平面Agq,A旦u平面Agq,所以必〃平面ABC.

（2）由于gCJ.平面ABC,ABI平面ABC,所以8c_LA8.

由于A6_LAC,ACc4c=C,所以A6_L平面A。。，

由于A8i平面所以平面平面

6.（2024?江蘇卷）在三棱錐4—8⑦中，已知小小石，陷2,〃為物的中點(diǎn)，AOL

平面比〃/仍2,￡為月。的中點(diǎn).

（1）求直線AB與場(chǎng)所成角的余弦值；

（2）若點(diǎn)?在加上，滿意聆^BC,設(shè)二面角—田。的大小為夕，求sin0的值.

4

【答案】（I）巫（2）生2

1513

【解析】

(1)連COQBC=CD、BO=OD:.COLBD

以O(shè)8,OC,Q4為x,y,z地建立空間直角坐標(biāo)系，則

4(0,0,2),B(l,0,0),C(0,2,0),D(T,0,0)/.E(0,IJ)

iimuiminunum-1_V15

AB=(1,0,-2),DE=(1,1,1)/.cos<AB,DE>=6一

從而直線A3與力E所成角的余弦值為姮

15

(2)設(shè)平面QEC?個(gè)法向量為4=(x,y,z),

-0),卜"=°.?卜+2工。

〃1?￡>￡=()(A+y+z=0

U

令y=1x=-2,z=1n1=(-2,1,1)

設(shè)平面D石廠一個(gè)法向量為

UU

%=(%,)")，

71八

171nDF=0-x+-y.=0

?：DF=DB+BF=DB+-BC=(-,-,0)A2412-'

442

n2DE=0

x,+y,+zI=0

111

令yx=-7/.A*=2,z,=5...嗎=(2,-7,5)

irm-6i

?,COS<,7b>=-7=~=-----

V6V78V13

因此如。=平=近

V1313

7.（2024?山東卷）如圖，四棱錐八月伙》的底面為正方形，即_1_底面ABCD.設(shè)平面PAD

與平面/盯的交線為1.

（1）證明：/_!_平面板

（2）已知物，加=1,0為/上的點(diǎn)，求陽(yáng)與平面仇力所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析：（2）旦.

3

【解析】

（1）證明：

在正方形ABCD中,AD//BC,

因?yàn)槠矫媸?C，3Cu平面P3C,

所以4。〃平面P3C,

又因?yàn)?）u平面PA。.平面必。「平面尸AC=/,

所以AD//1,

因?yàn)樵谒睦忮FP—A8C7?中，底面A8CD是正方形，所以AO_L_LOC,

且尸。，平面A8CQ，所以40_LPD,../_LPA

因?yàn)镃D-PD=D

所以/_L平面尸DC；

（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-Ayz,

z

因?yàn)槭?gt;=AD=1，則有。(0,0,0),C(0,l,0)M(l,0,0),P(0,0,l),B(l,l,0),

設(shè)2(/77,0,1),則有DC=(0,1,0),DQ=(w,0,l),尸8=(11,T),

設(shè)平面QCD的法向量為〃=(x,y,z),

DCn=()y=0

則《,，即《?

DQ-zi=0nix+z=0

令x=l,則2=一陽(yáng)，所以平面QCO的一個(gè)法向量為〃=(1,0,-〃?)，則

n-PB1+0+ni

cos<〃，PB>=

,網(wǎng)―",癡+1

依據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的肯定直即為直線與平面所成角的

正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于

ruur11+/wI6

Icos<n,m>|=」/?=火1i2minr

5ylm?+\3nr+1

2m

,當(dāng)且僅當(dāng)加=1時(shí)取等號(hào),

T-fin2+1

所以直線網(wǎng)與平面QC。所成角的正弦值的最大值為逅

3

8.(2024?天津卷)如圖，在三棱柱ABC-AqG中，CG1平面

ABC,ACLBaAC=BC=2,CJ=3,點(diǎn)D,七分別在棱4A和棱cq上，且

AD=\CE=2,M為棱AG的中點(diǎn).

(I)求證：C.MIB.D；

(ii)求二面角3-4七—。的正弦值：

(1H)求直線AB與平面DB、E所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析：(II)叵；(III)亙

63

【解析】依題意，以c為原點(diǎn)，分別以CA、CB、cc；的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的

正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，

可得。(0,0,0)、A(2,Q0)、3(0,2,。)、0(0,0,3)、

4(2,0,3)、4(023)、。(2,0,1)、E(0,0,2),M(l,l,3).

(【)依題意，=(1,1,0),4。=(2,-2,-2),

從而。附由。=2-2+0=0，所以GM_L&。：

(II)依題意，C4=(2,0,0)足平面84后的一個(gè)法向量，

EB}=(0,2,1),ED=(2,0,-l).

設(shè)〃=(x,y,z)為平面E的法向量,

?

n-EBy-02>+z=0

則《即.

n-ED=02x-z=0

不妨設(shè)x=l,可得〃=(1,-1,2).

個(gè)人CAn2R

cos<CA,n>=---；~；~~7=---產(chǎn)=—

叫〃|2XV66，

/j30

sin<CAji>=vl-cos2<CAji>=----

v6

所以，二面角B-ME-D的正弦值為y”；

6

(HI)依題意，AB=(-2,2,0).

由（II）知〃=（1,—1,2）為平面。片￡的個(gè)法向量，于是

A3〃_-4__>/3

cos<AB,n>=

/\B|.|n|-2V2xV6--T-

所以，直線AB與平面。與E所成角的正弦值為立.

3

9.（2024?浙江卷）如圖，三極臺(tái)DEJABC中,面月Z*C_L面月比；NA?NAC*45°,

DC=2BC.

（I）證明：EFLDB：

（II）求如與面〃叱所戊角的正弦值.

【答案】（【）證明見(jiàn)解析；（II）

3

【解析】

（I）作。"_1_4。交47于“，連接8”.

???平面ADFC±平面人3C，而平面ADFC1平面ABC=AC,DHu平面AOFC，

.??O"_L平面ABC，而5Cu平面A3C,即有。HJ.BC.

丁ZAC8=NACZ）=45。，

:?CD=yliCH=2BCnCH=6BC.

在ACB"中，BH2=CH2+BC2-2CH-BCcos450=BC2，即有

BH2+BC2=CH2^:?BH工BC.

由棱臺(tái)的定義可知，EFIIBC,所以DH工EF，BH1EF,而=

???石尸_1_平面W〃），而B(niǎo)Du平面BHD，；.EF工DB.

（ID因?yàn)镺fV/C”,所以。產(chǎn)與平面04c所成角即為與C”平面OBC所成角.

作HG上BD于G，連接CG,由（1）可知，3C_L平面R/D，

因?yàn)樗云矫鍮CD±平面BHD,而平面88。平面BHD=BD.

”Gu平面兇/D,平面BCQ.

即CH在平而DBC內(nèi)的射影為CG,NHCG即為所求角.

BHDH41aa

則。”二扃，

在Rf/XHGC中,設(shè)=〃HGBD一瓜一耳”

sin/HCG二挺」=走

故OQ與平面Q8C所成角的正弦值為立

3

【2024年】

1.[2024?全國(guó)I卷文數(shù)】如圖，直四棱柱力優(yōu)〃-4/G4的底面是菱形，[4=4,/I分2,

N的場(chǎng)60°,瓦M(jìn)網(wǎng)分別是a；B氏,4〃的中點(diǎn).

（1）證明：楸〃平面。破

（2）求點(diǎn)C到平面CM的距離.

【答案】（1）見(jiàn)解析：（2）勺叵.

17

【解析】（1）連結(jié)片CME.

因?yàn)镸吩別為84，8c的中點(diǎn)，所以ME〃4C,且A1E=；BC

又因?yàn)榘藶锳。的中點(diǎn)，所以NO=；A。.

由題設(shè)知4與4DC、可得4C&A。，WME&ND、

因此四邊形加注為平行四邊形，MN//ED.

又平面。］。石，所以以〃平面GDE.

（2）過(guò)飾G國(guó)勺垂線，垂足為〃

由已知可得OE_L8C，DELC.C,所以〃反1平面GCE,故應(yīng)一必

從而C7/1平面C.DE,故（那J長(zhǎng)即為儂J平面CQE的距離，

由已知可得上1,Ge4,所以GE=J萬(wàn)，故677=生”.

從而點(diǎn)行“平面GOE的距離為士票.

A

2.12024?全國(guó)II卷文數(shù)】如圖，長(zhǎng)方體力伙力-力心G〃的底面力物是正方形，點(diǎn)￡

在棱上，BE1EG.

（1）證明：阻L平面E8C；

（2）若力后4發(fā)力廬3,求四棱錐E-84GC的體積.

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）18.

【解析】（1）由已知得4G_1平面力微4,原u平面月微兒

故B￡\工BE.

乂BE_LEG，所以跖J■平面EB?.

（2）由（1）知/跖％9。°.

由題設(shè)知Ri△月?tīng)㏑14.4必反所以NAE8=NAE4=45",

故小心3,A%=2AE=6.

作EF工垂足為無(wú)則￡71平面8/CC，W.EF=AB=3.

所以，四枝錐E-BB”的體積V=gx3x6x3=18.

3.[2024?全國(guó)HI卷文數(shù)】圖1是由矩形力〃力況砥和菱形秘訛’組成的一個(gè)平

面圖形，其中//任1,BE=B42.

/小60°.將其沿/區(qū)應(yīng)、折起使得跖與“重合，連結(jié)施，如圖2.

(1)訐明：圖2中的4C,G,〃四點(diǎn)共面.日平面力應(yīng)、平面BCGF：

(2)求圖2中的四邊形4a；〃的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析：(2)4.

【解析】(1)由已知得4羽跖，C'G”跖，所以，仞，故W，C6確定一個(gè)平面，從而力,

C,G,那I點(diǎn)共面.

由已知得仍_|_/步，仍優(yōu)，故/0J_平面及匯￡.

乂因?yàn)?出u平面71成；所以平面/儀J.平面伙上萬(wàn).

(2)取。的中點(diǎn)J/,連結(jié)為MDM

因?yàn)锳B〃DE,//J_平面優(yōu)值；所以〃少_L平面龐U7:；故〃G：

由己知，四邊形應(yīng)是菱形，且N/:比三60"得川小①，故訪L平面"湖

因此〃歸.CG.

在RtZ\a?仲，般1，￡「退，故為六2.

所以四邊形力。切的面積為4.

4.12024?北京卷文數(shù)】如圖，在四棱錐P—A8C。中，月4_1平面/心⑺，底部/IZO

為菱形，夕為⑺的中點(diǎn).

(1)求證：M_L平面PAC,

(2)若/力砥60°,求證：平面必反L平面為展

(3)棱陽(yáng)上是否存在點(diǎn)“使得6F〃平面必以說(shuō)明理日.

【答案】(1)見(jiàn)解析：(2)見(jiàn)解析：(3)存在，理由見(jiàn)解圻.

【解析】(1)因?yàn)?4_1_平面力/》，

所以P4J_8D.

又因?yàn)榈酌嬖驴印窞榱庑危?/p>

所以3D1AC.

所以8￡>_1,平而陽(yáng)0.

(2)因?yàn)?_1_平面力加"A￡u平面力比〃

所以為_(kāi)L力反

因?yàn)榈锥鴳?yīng)兀媯菱形，/力吐60°,且￡為以的中點(diǎn)，

所以力￡LS

所以力反L力反

所以力￡1平面片歷.

所以平面EIZLL平面如￡.

（3）棱陽(yáng)上存在點(diǎn)￡使得"'〃平面處反

取防陽(yáng)的中點(diǎn)，取效用的中點(diǎn)，連結(jié)硒FG,EG.

則收7〃/必\\.F（｝=-AB.

2

因?yàn)榈酌?%洶菱形，且陰成的中點(diǎn)，

所以四〃仍且公L歷

2

所以FG〃CE,且FG=CE.

所以四邊形陽(yáng)花為平行四邊形.

所以CF〃EG.

因?yàn)橛谩镀矫嫠摹?％u平面為￡

所以華〃平面月1￡

5.12024?天津卷文數(shù)】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形,

△PCD為等邊三角形,平面B4C_L平而尸CO,PA1CD,CD=2,AD=3.

（1）設(shè)G,〃分別為外，力。的中點(diǎn)，求證：G“〃平面B4O；

（2）求證；/%_!_平面PC。；

（3）求直線力〃與平面尸AC所成角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析：（2）見(jiàn)解析；（3）正.

3

【解析】(1)連接8￡>,易知力C「BD=H,BH=DH.

又由BG二尸G,故GH!/PD.

又因?yàn)镚H<Z平面PAD,PDu平面PAD,

所以GH〃平而PAD.

(2)取棱％的中點(diǎn)A；連接〃M依題意，得〃歸

又因?yàn)槠矫鍾4C_L平面打?yàn)椋矫鍼AC。平面PC。=PC，

所以DN±平面PAC,

又尸Au平面力。，故DV_L24.

又已知PAJ_C。，CD(}DN=D,

所以R4_L平面也Z

(3)連接/LM由(2)中ON_L平面四。，可知/DAN為直線40與平面川。所成的

角，

因?yàn)椤魇珻Q為等邊三角形，。次2且內(nèi)為％的中點(diǎn)，

所以QN=JL

又DNA.AN,

在Rt^ANO中，sinZDAN=—=—.

AD3

所以，直線/I。與平而月匕所成角的正弦值為且.

3

6.12024?江蘇卷】如圖，在直三棱柱4%一/山G中，&,￡'分別為必，47的中點(diǎn),

力廬比.

求證：(1)/園〃平面%G；

(2)BEIGE.

W8

c

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】（I）因?yàn)椤ǎ攴謩e為應(yīng)；/1C的中點(diǎn)，

所以EI）//AB.

在直三棱柱4加HAG中，/仍〃力出，

所以/I歸〃

乂因?yàn)椤?七平面〃匹C.AR①平面DEG,

所以/I右〃平面DE&.

（2）因?yàn)锳和BC,夕為力。的中點(diǎn)，所以做14￡

因?yàn)槿庵Τ蒚心G是直棱柱，所以緇平面袱C：

又因?yàn)楸?u平面4%；所以CGJL應(yīng)：

因?yàn)镚位平面/MS,“z平面44Z；,GCnAC=C,

所以8EL平面AM.

因?yàn)?所平面AyACCx,所以BE工C、E.

7.12024?浙江卷】如圖，已知三棱柱48。一446，平面44。6_1平面48。,

ZABC=90°,/期。=30。，4A=4。=4。,￡尸分別是月。，48的中點(diǎn).

（1）證明：EFtBC：

（2）求直線"'與平而力回所成角的余弦值.

【解析】方法一：

（1）連接4月，因?yàn)?片/1￡夕是/16的中點(diǎn)，所以4層L/fC.

又平面A4X；J_平面/8C,A￡u平面44a；,

平面4/久n平面/哈力仁

所以，4￡1平面4%；則4八比、.

又因?yàn)闆r/力HC三9。°,故BC1AF

所以成工平面4分：

因此例」成：

（-2）取比中點(diǎn)6,連接防GF,則附琳是平行四邊形.

由于4區(qū)L平面月4G故/心EG,所以平行四邊形的%為矩形.

由（1）得8C_L平面龐則平面48C_L平面戈加九

所以廳在平面4a上的射影在直線4G上.

連接4皎牙于0,則/故是直線"與平面4a所成的角（或其補(bǔ)角）.

不妨設(shè)力e4,則在RtZ\4綺卜，A、E=26,EG=j3.

由于媯40KJ中點(diǎn)，故后。=06=4叵=蟲(chóng)，

22

FO2-OG2-FG13

所以cosNEOG=―—―—.

2E00G5

3

因此，直線夕電平面4a所成角的余弦值是

方法二：

（1）連接4區(qū)因?yàn)?片/1￡6是46的中點(diǎn)，所以4層L”：

乂平面4/①_1_平面/仍。，4￡u平面4/緇，

平面44冤n平面力除〃；所以，平面/比：

如圖，以點(diǎn)￡為原點(diǎn)，分別以射線比,朗為y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系夕-燈z.

不妨設(shè)月小4,則

4(0,0,26),6(6，1,0),爾石,3,26)，等,|,2百)，C(0,2,

0).

因此，EF=(W~，B，26)，BC=(-73,1,0).

由E尸ICMO得以7_LBC

（2）設(shè)直線標(biāo)與平面4a所成角為0.

由⑴可得30（—6，1，0），4。=（0,2,—26）.

設(shè)平面4a的法向量為A=（x，y,z）,

RCn=O\-\/3x+y=0

由《，得，/-，

AiC-n=Oy—yj^z=0

\EFn\^4

取〃=(i,61),故sin6=|cos,EF,知二

?H〃「于

3

因此，直線杼與平面4a所成的角的余弦值為《.

【2024年】

1.12024?全國(guó)I卷文數(shù)】如圖，在平行四邊形"CM中，AB=AC=3,

NACM=90。，以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)。的位置，且A3_LD4.

（1）證明：平面ACD_L平面A8C；

9

（2）。為線段A。上一點(diǎn)，P為線段8C上一點(diǎn)，且8尸=OQ=§OA,求三棱錐

Q-AB尸的體枳.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1.

【解析】（1）由已知可得，ZBAC=90°,BALAC.

又班U。,所以4?_1_平面水力.

又月〃u平面ABC,

(2)由已知可得，DC=C-DA=3日

2

乂BP=DQ=^DA,所以BP=2JJ.

作L”；垂足為區(qū)則

-3

由已知及(1)可得加工平面4%,所以Q?_L平面4%;Q&1.

因此，三極錐Q-A8P的體積為

0

VQ_ABP=-xQExSAABP=-xlx-x3x2>/2sin45=l.

332

2.12024?全國(guó)II卷文數(shù)】如圖，在三棱錐P—A8C中，AB=BC=26,

PA=PB=PC=AC=4,。為AC的中點(diǎn).

(1)證明：PO_L平面A8C；

(2)若點(diǎn)M在棱8c上，且MC=2M8,求點(diǎn)C到平面PQM的距離.

【解析】(1)因?yàn)榱ζ！椤钡闹悬c(diǎn)，所以。且0片26.

[Q1

連結(jié)我因?yàn)锳&BO—AC，所以△/%、為等腰直角三角形，且OBLAC,0和一AC:2.

22

由OP?+042=252知，OPLOB.

由OPA.OB,知ZUL平面ABC.

（2）作。垂足為〃又由（1）可得02L。/,所以。/_L平面/預(yù)/.

故（7/的長(zhǎng)為點(diǎn)。到平面P0M的距離.

由題設(shè)可知妗，AC=2,以上2BC=逑，ZJ6^45°.

233

所以神辿,小"心必風(fēng)任

3OM5

所以點(diǎn)C到平面內(nèi)必的距離為處.

5

3.[2024?全國(guó)III卷文數(shù)】如圖，矩形A8CO所在平面與半圓弧CO所在平面垂直，M

是C。上異于C，。的點(diǎn).

（1）證明：平面平面8WC：

（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC〃平面/>80?說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析：（2）存在，理由見(jiàn)解析.

【解析】（1）由題設(shè)知，平面G/Z〃?平面月空9,交線為⑦.

因?yàn)楸裙の穑珺Cu平面RBCD,所以比工平面CM9,故BCIDM.

因?yàn)?"為C。上異于GD的點(diǎn)，且正為直徑，所以//_!_0￡

又BCCC的C,所以〃歸_平面冽依

而〃"<=平面AMD,故平面4M平面BMC.

（2）當(dāng)/）為月必的中點(diǎn)時(shí)，<”平面做.

證明如下：連結(jié)力。交做于。因?yàn)樵耑O為矩形，所以。為力。中點(diǎn).

連結(jié)因?yàn)橄?例中點(diǎn)，斫以MC〃0P.

JfC<ZT<PBD,平面臉，所以眈〃平面依〃

V

4.12024?北京卷文數(shù)】如圖，在四棱錐中，底而用TO為矩形，平面力平

面力及力，PALPD,P歸PD,E,少分別為月〃，%的中點(diǎn).

（I）求證：PELBCx

（2）求證：平面為8L平面門(mén)力：

（3）求證：EF〃平面P0）.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】（1）,:PA=PD、且E為AO的中點(diǎn)，，在;J.AD.

???底面ABCD為矩形，，BC//AD,

???PE1BC.

（2）?.?底面A8co為矩形，???A3_L4X

;平面PADJ_平面ABCD,，A8_L平面/X。.

???又F4_L/￥），

???PD_L平面PAB????立面PAB_L平面PC。.

（3）如圖，取PC中點(diǎn)G,連接/GGD.

???RG分別為總和PC的中點(diǎn)，.?.FG〃8C,RFG二一BC.

2

;四邊形A8s為矩形，且E為的中點(diǎn)，

:.ED〃BC,DE=、BC,

2

:,ED〃FG,且匹=FG,.??四邊形七FGO為平行四邊形，

:.EF//GD.

又所0平面尸CO,GDu平面PCD,

?\族〃平面PCD.

5.12024?天津卷文數(shù)】如圖，在四面體/仍切中，△?1%是等邊三角形，平面平

而月弧點(diǎn)"為極月4的中點(diǎn)，力廬2,力獷2石，NBA廬90".

（1）求證：ADLBCx

（2）求異面直線歐與勉所成角的余弦值；

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）巫；（3）巫.

264

【解析】（1）由平面月必L平面月劭，平面月比ri平面43gl8,AD工AB,可得業(yè)〃"平

面月84報(bào)ADLBC

（2）取枝"的中點(diǎn)M連接曲M屹又因?yàn)镴/為棱/傷的中點(diǎn)，故.MV〃式：所以N〃MV

（或其補(bǔ)角）為異面直線勿與所成的角.

在RtZXZMW中，力加1,故D宙J。。2+AM、9.因?yàn)樵略隆銎矫嬖挛穑柿Ψ?_力￡

在Rl△/內(nèi)中，A￥=l,故.3JAD2+⑷V2=舊.

_MN

在等腰三角形刎V,中，吩1,可得/AA.9V13.

cosNDMN=-....=----

DM26

所以，異面直線弦與血所成角的余弦值為巫.

26

（3）連接a/.因?yàn)椤髁W為等邊三角形，必為邊/心的中點(diǎn)，故以/L佃。戶6.又

因?yàn)槠矫?出C_L平面力劭，而平面4%故C/L平面/出〃.所以，N6ZW為直線。與平

面力8〃所成的角.

在RtZk。〃中，gACAD?=4.

在RtZ\a7中，sinZCDM=—=—

CD4

所以，直線（〃馬平面加W所成角的正弦值為立

4

6.12024?江蘇卷】在平行六面體ABCO-AMGA中，AA]=AB,AB}1.

求證：（1）44〃平面Age：

(2)平面ABLAJ■平面ABC.

【答案】<1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.

【解析】（1）在平行六面體力及中，AB"A\B\.

因?yàn)锳BJ平面A必a46<Z平面AM,

所以的〃平面力由c.

（2）在平行六面體力及力■力心G〃中，四邊形力跖4為平行四邊形.

又因?yàn)锳AX=AB,所以四邊形ABBxAx為菱形，

因此月3_1_4氏

又因?yàn)锽C"BG、

所以力臺(tái)_LH7.

又因?yàn)?/n於反力/u平面力由。，6Cu平面48C,

所以4?」平面A.BC.

因?yàn)?13u平面A8BA，

所以平面/以44_L平面AiBC.

7.【2024?浙江卷】如圖，已知多面體/版“5G，/M,BBG。均垂直于平面加。,

N/1於120°,,仍=於8岳2.

A

B

（1）證明：月4_1_平面力￡4；

（2）求直線/G與平面期所成的角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）叵.

13

【解析】（1）由A8=2,A4,=4,8g=2,/141_148,8q_48得/14=44=2公，

所以AB：+A8：=A4：.?

故Ag_LA4.

由BC=2，=2,CC,=1,BBi上BC,CG人BC得BCi=6

由66=AC=2,NA5C=I2O〃^AC=2>/L

由CR_LAC,得AG=A，所以48；+&G2=AC：,故A^_14G.

因此AgJL平面4局6.

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)G作C|O_LA/,交直線A4于點(diǎn)。，連結(jié)AO.

由A片1平面A瓦G得平而A4GJ?平而ABB],

由G。，A4得COJ■平面，

所以ZC.AD是AC｝與平面ABB,所成的角.

*sin4A41

由4G=后,A4=20,AG=萬(wàn)得cosNGA4=F

所以GD=J5,

…心親嚕.

因此，直線AG與平面A84所成的角的正弦值是叵.

13

【2024年】

1.12024?全國(guó)I文數(shù)】如圖，在四極錐〃T6G9中，AB//CD,目./R4P=/CDP=90.

Q

（2）若PA=PIAAFDC,NAP/）=90，旦四棱錐〃乂優(yōu)〃的體積為屋求該四棱錐的側(cè)

面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）6+26.

【解析】（I）由已知NA4P=NC￡>P=90。，得CD1PD.

由于A8〃CD,故ABLPD,從而人B_L平面PAD.

又43u平面248，所以平面抬4_1_平面尸/1。.

（2）在平面P4Z）內(nèi)作PEJ.4），垂足為E.

由（1）知I,A3J_平面PAO，故AB_LPE.可得PE_L平面A8CQ.

設(shè)4B二X,則由已知可得4。=Jir，PE=—x.

2

3

故四棱錐P-ABCD的體枳VP_ABCD=^ABADPE=^-X.

JJ

I8

由題設(shè)得；V=7,故x=2.

33

從而處=?。=2，AD=BC=272-PB=PC=272.

可得四棱錐P—A3CO的側(cè)面積為

-PAPD+-PAAB+-PDDC+-BC2sin60°=6+2x/3.

2222

2.12024?全國(guó)U卷文數(shù)】如圖，四棱錐尸一448中，側(cè)面PAD為等邊三角形且

垂直于底面ABCD,AB=BC=-4。,NBAD=ZABC=90°.

2

（1）證明：直線8（7〃平面Q4O;

（2）若△PCO的面積為25，求四棱錐尸—ABC。的體積.

【答案】⑴見(jiàn)解析；（2）4G.

【解析】（I）在平面力磔內(nèi)，因?yàn)镹"1P=N月叱90°,所以8%/以

又8C（Z平面PA。，4）匚平面24。，

故607平面PAD.

（2）取初的中點(diǎn)也連結(jié)〃M,□/,

由AB=BC=>AD及BC〃八D,//叱90°得四邊形/吃必為正方形，則4/1.力〃

2

因?yàn)閭?cè)而〃為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD。平面ABCD=AD,

所以〃歸_/[〃，網(wǎng)J_底面々O,

因?yàn)镃Mu底面ABC。.所以9

設(shè)BOx,則。上*,C伉舊,f眸瓜,PC=Pl）=2x.

取。的中點(diǎn)M連結(jié)AV,則月歸_b所以PN=X^x.

2

因?yàn)榈?/p>