PAGEPAGE1§9.3圓的方程最新考綱考情考向分析駕馭確定圓的幾何要素，駕馭圓的標準方程與一般方程.以考查圓的方程為主，與圓有關的軌跡問題、最值問題也是考查的熱點，屬中檔題.題型主要以選擇、填空題為主，要求相對較低，但內容很重要，有時也會在解答題中出現.圓的定義與方程定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標準式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心為(a，b)半徑為r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要條件：D2＋E2－4F>0圓心坐標：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)概念方法微思索1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是什么？提示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))2.已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則“E＝F＝0且D<0”是“⊙C與y軸相切于原點”的什么條件？提示由題意可知，⊙C與y軸相切于原點時，圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，0))，而D可以大于0，所以“E＝F＝0且D<0”是“⊙C與y軸相切于原點”的充分不必要條件.3.如何確定圓的方程？其步驟是怎樣的？提示確定圓的方程的主要方法是待定系數法，大致步驟：(1)依據題意，選擇標準方程或一般方程.(2)依據條件列出關于a，b，r或D，E，F的方程組.(3)解出a，b，r或D，E，F代入標準方程或一般方程.4.點與圓的位置關系有幾種？如何推斷？提示點和圓的位置關系有三種.已知圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)(1)點在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)點在圓外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)點在圓內：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.題組一思索辨析1.推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(√)(2)已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則以AB為直徑的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(√)(3)方程x2＋2ax＋y2＝0肯定表示圓.(×)(4)若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F>0.(√)(5)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓.(×)題組二教材改編2.圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2答案D解析因為圓心為(1,1)且過原點，所以該圓的半徑r＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，則該圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.3.以點(3，－1)為圓心，并且與直線3x＋4y＝0相切的圓的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1B.(x－3)2＋(y－1)2＝1C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1答案A4.圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為______________.答案(x－2)2＋y2＝10解析設圓心坐標為C(a,0)，∵點A(－1,1)和B(1,3)在圓C上，∴|CA|＝|CB|，即eq\r(a＋12＋1)＝eq\r(a－12＋9)，解得a＝2，∴圓心為C(2,0)，半徑|CA|＝eq\r(2＋12＋1)＝eq\r(10)，∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.題組三易錯自糾5.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是()A.(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)B.(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)C.(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)D.(－∞，－2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)答案B解析將x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化為圓的標準方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝eq\f(m2,4)－2.由其表示圓可得eq\f(m2,4)－2>0，解得m<－2eq\r(2)或m>2eq\r(2).6.若點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內部，則實數a的取值范圍是()A.－1<a<1 B.0<a<1C.a>1或a<－1 D.a＝±4答案A解析∵點(1,1)在圓內，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1<a<1.7.若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是()A.(x－2)2＋(y－1)2＝1B.(x－2)2＋(y＋1)2＝1C.(x＋2)2＋(y－1)2＝1D.(x－3)2＋(y－1)2＝1答案A∴eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去).∴圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.故選A.題型一圓的方程例1(1)已知圓E經過三點A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標準方程為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,4)答案C解析方法一(待定系數法)依據題意，設圓E的圓心坐標為(a,0)(a>0)，半徑為r，則圓E的標準方程為(x－a)2＋y2＝r2(a>0).由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋12＝r2，,2－a2＝r2，,a2＋－12＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,4)，,r2＝\f(25,16)，))所以圓E的標準方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).方法二(待定系數法)設圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1，))所以圓E的一般方程為x2＋y2－eq\f(3,2)x－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).方法三(幾何法)因為圓E經過點A(0,1)，B(2,0)，所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上.又圓E的圓心在x軸的正半軸上，所以圓E的圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)).則圓E的半徑為|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))2＋0－02)＝eq\f(5,4)，所以圓E的標準方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋y2＝eq\f(25,16).(2)已知圓C經過P(－2,4)，Q(3，－1)兩點，且在x軸上截得的弦長等于6，則圓C的方程為______________________________.答案x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0解析設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，將P，Q兩點的坐標分別代入得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，得D2－4F＝36，④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.思維升華(1)干脆法：干脆求出圓心坐標和半徑，寫出方程.(2)待定系數法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D，E，F的方程組，進而求出D，E，F的值.跟蹤訓練1已知圓心在x軸上，半徑為eq\r(5)的圓位于y軸右側，且截直線x＋2y＝0所得弦的長為2，則圓的方程為__________.答案(x－2eq\r(5))2＋y2＝5解析依據題意，設圓的圓心坐標為(a,0)(a>0)，則圓的標準方程為(x－a)2＋y2＝5(a>0)，則圓心到直線x＋2y＝0的距離d＝eq\f(|a＋2×0|,\r(12＋22))＝eq\f(\r(5),5)a.又該圓截直線x＋2y＝0所得弦的長為2，所以可得12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)a))2＝5，解得a＝2eq\r(5).故圓的方程為(x－2eq\r(5))2＋y2＝5.題型二與圓有關的軌跡問題例2已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0).求：(1)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.解(1)方法一設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).方法二設A由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點).所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)設M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3,0)，M是線段BC的中點，由中點坐標公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).思維升華求與圓有關的軌跡問題時，依據題設條件的不同常采納以下方法：①干脆法：干脆依據題目供應的條件列出方程.②定義法：依據圓、直線等定義列方程.③幾何法：利用圓的幾何性質列方程.④相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿意的關系式.跟蹤訓練2設定點M(－3,4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為兩邊作平行四邊形MONP，求點P的軌跡方程.解如圖，設P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).因為平行四邊形的對角線相互平分，所以eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4，))又點N(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以點P的軌跡是以(－3,4)為圓心，2為半徑的圓，直線OM與軌跡相交于兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))，不符合題意，舍去，所以點P的軌跡為(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5))).題型三與圓有關的最值問題例3已知點(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值.解設t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2＋－3－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值為eq\r(2)－1，最小值為－eq\r(2)－1.引申探究1.在本例的條件下，求eq\f(y,x)的最大值和最小值.解eq\f(y,x)可視為點(x，y)與原點連線的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率.解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3)，∴eq\f(y,x)的最大值為－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值為－2－eq\f(2\r(3),3).2.在本例的條件下，求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值.解eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r(x＋12＋y－22)，求它的最值可視為求點(x，y)到定點(－1,2)的距離的最值，可轉化為求圓心(2，－3)到定點(－1,2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(－1,2)的距離為eq\r(34)，∴eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值為eq\r(34)＋1，最小值為eq\r(34)－1.思維升華與圓有關的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關的長度或距離的最值問題的解法.一般依據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解.(2)與圓上點(x，y)有關代數式的最值的常見類型及解法.①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題，可轉化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by型的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題跟蹤訓練3已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上隨意一點，且點Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值；(3)求y－x的最大值和最小值.解(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圓心C的坐標為(2,7)，半徑r＝2eq\r(2).又|QC|＝eq\r(2＋22＋7－32)＝4eq\r(2)，∴|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(y－3,x＋2)表示直線MQ的斜率k.設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直線MQ與圓C有交點，∴eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，∴eq\f(y－3,x＋2)的最大值為2＋eq\r(3)，最小值為2－eq\r(3).(3)設y－x＝b，則x－y＋b＝0.當直線y＝x＋b與圓C相切時，截距b取到最值，∴eq\f(|2－7＋b|,\r(12＋－12))＝2eq\r(2)，∴b＝9或b＝1.∴y－x的最大值為9，最小值為1.1.若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(3,4)))，則方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圓的個數為()A.0B.1C.2D.3答案B解析方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓的條件為a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<eq\f(2,3).又a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(3,4)))，∴僅當a＝0時，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，故選B.2.已知點A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝eq\r(2)C.x2＋y2＝1 D.x2＋y2＝4答案A解析AB的中點坐標為(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，∴圓的方程為x2＋y2＝2.3.以(a,1)為圓心，且與兩條直線2x－y＋4＝0,2x－y－6＝0同時相切的圓的標準方程為()A.(x－1)2＋(y－1)2＝5B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C.(x－1)2＋y2＝5D.x2＋(y－1)2＝5答案A解析由題意得，點(a,1)到兩條直線的距離相等，且為圓的半徑r.∴eq\f(|2a－1＋4|,\r(22＋－12))＝eq\f(|2a－1－6|,\r(22＋－12))，解得a＝1.∴r＝eq\f(|2×1－1＋4|,\r(22＋－12))＝eq\r(5)，∴所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝5.4.(2024·錦州調研)圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()A.x2＋y2＋10y＝0 B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0 D.x2＋y2－10x＝0答案B解析依據題意，設圓心坐標為(0，r)，半徑為r，則32＋(r－1)2＝r2，解得r＝5，可得圓的方程為x2＋y2－10y＝0.5.已知圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圓C2與圓C1關于直線x－y－1＝0對稱，則圓C2的方程為()A.(x＋2)2＋(y－2)2＝4B.(x－2)2＋(y＋2)2＝4C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝4D.(x－2)2＋(y－2)2＝4答案B解析依據題意，設圓C2的圓心為(a，b)，圓C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圓心為(－1,1)，半徑為2，若圓C2與圓C1關于直線x－y－1＝0對稱，則圓C1與C2的圓心關于直線x－y－1＝0對稱，且圓C2的半徑為2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－1,a＋1)＝－1，,\f(a－1,2)－\f(b＋1,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))則圓C2的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝4.6.圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是()A.1＋eq\r(2) B.2C.1＋eq\f(\r(2),2) D.2＋2eq\r(2)答案A解析將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝eq\f(|1－1－2|,\r(2))＝eq\r(2)，故圓上的點到直線x－y＝2的距離的最大值為d＋1＝eq\r(2)＋1，故選A.7.已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是____________，半徑是________.答案(－2，－4)5解析由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當a＝2時，方程不滿意表示圓的條件，故舍去.當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，5為半徑的圓.8.已知圓C：x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，當圓C的面積取最大值時，圓心C的坐標為__________.答案(0，－1)解析圓C的方程可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝－eq\f(3,4)k2＋1，所以當k＝0時，圓C的面積最大，此時圓心C的坐標為(0，－1).9.若圓C經過坐標原點與點(4,0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是__________________.答案(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4)解析因為圓的弦的垂直平分線必過圓心且圓經過點(0,0)和(4,0)，所以設圓心為(2，m).又因為圓與直線y＝1相切，所以eq\r(22＋m2)＝|1－m|，解得m＝－eq\f(3,2).所以圓C的方程為(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4).10.平面內動點P到兩點A，B的距離之比為常數λ(λ>0，且λ≠1)，則動點P的軌跡叫做阿波羅尼斯圓，若已知A(－2,0)，B(2,0)，λ＝eq\f(1,2)，則此阿波羅尼斯圓的方程為____________.答案x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0解析由題意，設P(x，y)，則eq\f(\r(x＋22＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(1,2)，化簡可得x2＋y2＋eq\f(20,3)x＋4＝0.11.已知點P(x，y)在圓C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值.解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可變形為(x－3)2＋(y－3)2＝4，則圓C的半徑為2.(1)(轉化為斜率的最值問題求解)eq\f(y,x)表示圓上的點P與原點連線的斜率，明顯當PO(O為原點)與圓C相切時，斜率最大或最小，如圖所示.設切線方程為y＝kx，即kx－y＝0，由圓心C(3,3)到切線的距離等于圓C的半徑，可得eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(9±2\r(14),5).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\f(9＋2\r(14),5)，最小值為eq\f(9－2\r(14),5).(2)(轉化為截距的最值問題求解)設x＋y＝b，則b表示動直線y＝－x＋b在y軸上的截距，明顯當動直線y＝－x＋b與圓C相切時，b取得最大值或最小值，如圖所示.由圓心C(3,3)到切線x＋y＝b的距離等于圓C的半徑，可得eq\f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq\r(2)，解得b＝6±2eq\r(2)，所以x＋y的最大值為6＋2eq\r(2)，最小值為6－2eq\r(2).12.在平面直角坐標系xOy中，已知圓P在x軸上截得的線段長為2eq\r(2)，在y軸上截得的線段長為2eq\r(3).(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程.解(1)設P(x，y)，圓P的半徑為r，則y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.∴P點的軌跡方程為y2－x2＝1.(2)設P點的坐標為(x0，y0)，則eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，即|x0－y0|＝1.∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.①當y0＝x0＋1時，由yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1，得(x0＋1)2－xeq\o\al(2,0)＝1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1，))∴r2＝3.∴圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3.②當y0＝x0－1時，由yeq\o\al(2,0)－xeq\o\al(2,0)＝1，得(x0－1)2－xeq\o\al(2,0)＝1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1，))∴r2＝3.∴圓P的方程為x2＋(y＋1)2＝3.綜上所述，圓P的方程為x2＋(y±1)2＝3.13.已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設點P是圓C上的動點.記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，則d的最大值為________.答案74解析設P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝xeq\o\al(2,0)＋(y0＋1)2＋xeq\o\al(2,0)＋(y0－1)2＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2.xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)為圓上任一點到原點距離的平方，∴(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.14.已知動點P(x，y)滿意x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O為坐標原點，則eq\r(x2＋y2)的最大值為________.答案2eq\r(2)解析eq\r(x2＋y2)表示曲線上的隨意一點(x，y)到原點的距離.當x≥0，y≥0時，x2＋y2－2x－2y＝0化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝2，曲線上的點到原點的距離的最大值為2×eq\r(2)＝2eq\r(2)，當x<0，y<0時，x2＋y2＋2x＋2y＝0化為eq\