單調性與最值試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.設函數f(x)=x^3-3x+2，則函數f(x)在區間[-1,2]上的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

2.函數y=ax^2+bx+c在x=0處取得最小值，則a，b，c應滿足（）

A.a>0,b<0,c>0B.a>0,b>0,c>0

C.a<0,b<0,c<0D.a<0,b>0,c<0

3.設函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)<f(b)，則f(x)在區間[a,b]上（）

A.必有極大值B.必有極小值C.必有最大值D.必有最小值

4.函數y=x^2-4x+4在區間[-2,2]上的（）

A.最大值為0，最小值為-4B.最大值為0，最小值為0

C.最大值為4，最小值為-4D.最大值為4，最小值為0

5.設函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f'(x)在[a,b]上恒大于0，則f(x)在區間[a,b]上（）

A.必有極大值B.必有極小值C.必有最大值D.必有最小值

6.函數y=2x^3-3x^2+12x+6在x=0處取得（）

A.極大值B.極小值C.駐點D.無極值

7.函數y=-x^4+4x^2在x=0處取得（）

A.極大值B.極小值C.駐點D.無極值

8.函數y=x^3-6x^2+9x在x=3處取得（）

A.極大值B.極小值C.駐點D.無極值

9.函數y=3x^2-12x+9在x=2處取得（）

A.極大值B.極小值C.駐點D.無極值

10.函數y=x^3-9x^2+27x-27在x=3處取得（）

A.極大值B.極小值C.駐點D.無極值

二、填空題（每題4分，共40分）

1.函數y=x^3-3x在x=0處的導數是__________。

2.函數y=2x^2-4x+3在x=1處的極值是__________。

3.函數y=-x^4+4x^2在x=0處的導數是__________。

4.函數y=x^3-6x^2+9x在x=3處的二階導數是__________。

5.函數y=3x^2-12x+9在x=2處的導數是__________。

6.函數y=x^3-9x^2+27x-27在x=3處的二階導數是__________。

7.函數y=2x^3-3x^2+12x+6在x=0處的二階導數是__________。

8.函數y=-x^4+4x^2在x=2處的導數是__________。

9.函數y=x^3-6x^2+9x在x=0處的二階導數是__________。

10.函數y=3x^2-12x+9在x=1處的導數是__________。

三、解答題（每題10分，共40分）

1.求函數f(x)=x^3-6x^2+9x-27在區間[0,4]上的最大值和最小值。

2.求函數y=2x^3-3x^2+12x+6的導數，并求其在x=0處的極值。

3.求函數y=-x^4+4x^2的導數，并求其在x=0處的極值。

4.求函數y=x^3-9x^2+27x-27的導數，并求其在x=3處的極值。

四、計算題（每題10分，共20分）

1.求函數f(x)=x^4-8x^3+18x^2-24x+3在x=2處的導數和二階導數。

2.求函數y=3x^4-4x^3+3x^2-4x+1在x=0處的導數和三階導數。

五、應用題（每題10分，共20分）

1.一家工廠生產某種產品，其生產成本函數為C(x)=2x^3-3x^2+12x+10，其中x為生產的數量（單位：件）。求生產100件產品的平均成本和邊際成本。

2.一個物體的運動方程為s(t)=t^3-6t^2+9t，其中s(t)為t時刻物體的位移（單位：米）。求物體在t=2秒時的速度和加速度。

六、證明題（每題10分，共10分）

1.證明：若函數f(x)在區間[a,b]上連續，且f(a)<f(b)，則f(x)在區間[a,b]上必有最大值和最小值。

2.證明：若函數f(x)在區間[a,b]上可導，且f'(x)在區間[a,b]上恒大于0（或恒小于0），則f(x)在區間[a,b]上單調遞增（或單調遞減）。

試卷答案如下：

一、選擇題（每題3分，共30分）

1.A

解析思路：對函數f(x)求導得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，在x=-1時，f(x)取最大值0；在x=1時，f(x)取最小值0。在區間[-1,2]上，f(x)的最大值為0。

2.A

解析思路：因為函數在x=0處取得最小值，所以導數f'(x)=2ax+b在x=0處為0，即b=0。又因為最小值，所以a>0。

3.C

解析思路：函數在區間[a,b]上連續，且f(a)<f(b)，根據連續函數的性質，函數在區間[a,b]上必有最大值和最小值。

4.B

解析思路：對函數y=x^2-4x+4求導得y'=2x-4，令y'=0得x=2，在x=2時，y取最小值0。在區間[-2,2]上，y的最大值為0。

5.C

解析思路：函數f'(x)在[a,b]上恒大于0，根據可導函數的性質，函數f(x)在區間[a,b]上單調遞增，必有最大值。

6.A

解析思路：對函數y=2x^3-3x^2+12x+6求導得y'=6x^2-6x+12，令y'=0得x=1，在x=1時，y取極大值13。

7.A

解析思路：對函數y=-x^4+4x^2求導得y'=-4x^3+8x，令y'=0得x=0，在x=0時，y取極大值0。

8.C

解析思路：對函數y=x^3-6x^2+9x求導得y'=3x^2-12x+9，令y'=0得x=3，在x=3時，y取極小值0。

9.B

解析思路：對函數y=3x^2-12x+9求導得y'=6x-12，令y'=0得x=2，在x=2時，y取極小值3。

10.B

解析思路：對函數y=x^3-9x^2+27x-27求導得y'=3x^2-18x+27，令y'=0得x=3，在x=3時，y取極小值0。

二、填空題（每題4分，共40分）

1.0

解析思路：對函數f(x)=x^3-3x求導得f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=0，在x=0處的導數為0。

2.2

解析思路：對函數y=2x^2-4x+3求導得y'=4x-4，令y'=0得x=1，在x=1處的極值為y=2。

3.0

解析思路：對函數y=-x^4+4x^2求導得y'=-4x^3+8x，令y'=0得x=0，在x=0處的導數為0。

4.0

解析思路：對函數y=x^3-6x^2+9x求導得y'=3x^2-12x+9，令y'=0得x=3，在x=3處的二階導數為0。

5.0

解析思路：對函數y=3x^2-12x+9求導得y'=6x-12，令y'=0得x=2，在x=2處的導數為0。

6.0

解析思路：對函數y=x^3-9x^2+27x-27求導得y'=3x^2-18x+27，令y'=0得x=3，在x=3處的二階導數為0。

7.0

解析思路：對函數y=2x^3-3x^2+12x+6求導得y'=6x^2-6x+12，令y'=0得x=1，在x=1處的二階導數為0。

8.0

解析思路：對函數y=-x^4+4x^2求導得y'=-4x^3+8x，令y'=0得x=0，在x=0處的導數為0。

9.0

解析思路：對函數y=x^3-6x^2+9x求導得y'=3x^2-12x+9，令y'=0得x=3，在x=3處的二階導數為0。

10.0

解析思路：對函數y=3x^2-12x+9求導得y'=6x-12，令y'=0得x=2，在x=2處的導數為0。

三、解答題（每題10分，共40分）

1.最大值：0，最小值：-27

解析思路：對函數f(x)=x^3-6x^2+9x-27求導得f'(x)=3x^2-12x+9，令f'(x)=0得x=3，在x=3處，f(x)取最小值-27。在區間[0,4]上，f(x)的最大值為0。

2.極值：13

解析思路：對函數y=2x^3-3x^2+12x+6求導得y'=6x^2-6x+12，令y'=0得x=1，在x=1處，y取極大值13。

3.極值：0

解析思路：對函數y=-x^4+4x^2求導得y'=-4x^3+8x，令y'=0得x=0，在x=0處，y取極大值0。

4.極小值：0

解析思路：對函數y=x^3-9x^2+27x-27求導得y'=3x^2-18x+27，令y'=0得x=3，在x=3處，y取極小值0。

四、計算題（每題10分，共20分）

1.導數：-12x^2+24x-24，二階導數：-24x+24

解析思路：對函數f(x)=x^4-8x^3+18x^2-24x+3求導得f'(x)=4x^3-24x^2+36x-24，令f'(x)=0得x=2，在x=2處的導數為-12x^2+24x-24。對f'(x)求導得f''(x)=12x^2-48x+24，在x=2處的二階導數為-24x+24。

2.導數：12x^3-12x^2+6x-4，三階導數：36x^2-24x+6

解析思路：對函數y=3x^4-4x^3+3x^2-4x+1求導得y'=12x^3-12x^2+6x-4，令y'=0得x=0，在x=0處的導數為12x^3-12x^2+6x-4。對y'求導得y''=36x^2-24x+6，在x=0處的三階導數為36x^2-24x+6。

五、應用題（每題10分，共20分）

1.平均成本：6，邊際成本：4

解析思路：平均成本C(x)=C(x)/x=(2x^3-3x^2+12x+10)/x=2x^2-3x+12+10/x，當x=100時，平均成本C(x)=6。邊際成本C'(x)=6x^2-6x+12，當x=100時，邊際成本C'(x)=4。

2.速度：-2，加速度：-4

解析思路：速度v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9，當t=2時，速度v(2)=-2。加速度a(t)=v'(t)=6t-12，當t=2時，加速度a(