高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題教案(人教版)

集合與簡(jiǎn)易邏輯

一、考點(diǎn)回顧

1、集合的含義及其表示法，子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義；

2、集合與其它知識(shí)的聯(lián)系，如一元二次不等式、函數(shù)的定義域、值域等；

3、邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，四種命題之間的轉(zhuǎn)化，了解反證法；

4、含全稱量詞與存在量詞的命題的轉(zhuǎn)化，并會(huì)判斷真假，能寫出一個(gè)命題的否定；

5、充分條件，必要條件及充要條件的意義，能判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系；

6、學(xué)會(huì)用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。

二、經(jīng)典例題剖析

考點(diǎn)1、集合的概念

1、集合的概念：

(1)集合中元素特征，確定性，互異性，無序性；

(2)集合的分類：

①按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無限集；

②按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集｛y|y=x2｝,表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集｛(x,y)|y=x2｝表示開口向上，

以y軸為對(duì)稱軸的拋物線；

(3)集合的表示法：

①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+=｛0,1,2,3,;②描述法。

2、兩類關(guān)系：

(1)元素與集合的關(guān)系，用或表示；

(2)集合與集合的關(guān)系，用一=表示，當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的子集；當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的真子集。

3、解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對(duì)于用描述法給出的

集合｛x|xwP｝,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P;要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)

形結(jié)合直觀地解決問題

4、注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如AB,則有人=或

AH兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論

例1、下面四個(gè)命題正確的是

(A)10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)集合是｛1,3,5,7｝(B)方程x2-4x+4=0的解集是｛2,2｝

(C)0與｛0｝表示同一個(gè)集合(D)由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1)

解：選(D),最小的質(zhì)數(shù)是2,不是1,故(A)錯(cuò)；由集合的定義可知(B)(C)都錯(cuò)。

例2、已知集合A=-1,3,2-1,集合8=3,.若BA,則實(shí)數(shù)=.

解：由BA,且不可能等于-1,可知=2-1,解得：=1.

考點(diǎn)2、集合的運(yùn)算

1、交，并，補(bǔ)，定義：AOB={x|xeAHxeB),AUB={x|xGA，或XWB},CUA={x|xGU，且xA},

集合U表示全集；

2、運(yùn)算律，如AC!(BUC)=(ADB)U(ARC),CU(AAB)=(CUA)U(CUB),

CU(AUB)=(CUA)n(CUB)等。

3、學(xué)會(huì)畫Venn圖，并會(huì)用Venn圖來解決問題。

例3、設(shè)集合A={x|2x+1<3},B={x|-3<x<2},則AB等于()

(A){x|-3<x<1}(B){x[l<x<2}(C){x|x?-3}(D){x|x?l}

解：集合A={x|2x+1<3}={x|x?l}，集合A和集合B在數(shù)軸上表示如圖1所示，AB是指集合A和

集合B的公共部分，故選(A)。

例4、經(jīng)統(tǒng)計(jì)知，某村有電話的家庭有35家，有農(nóng)用三輪車的家庭有65家,既有電話又有農(nóng)用三輪車的

家庭有20家，則電話和農(nóng)用三輪車至少有一種的家庭數(shù)為()

A.60B.70C.80D.90

解：畫出Venn圖，如圖2,畫圖可得到有一種物品的家庭數(shù)為：15+20+45=80.故選(C)。

例5、(2008廣東卷)第二十九屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參

加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的運(yùn)動(dòng)員}，集合B={參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的男運(yùn)動(dòng)員}。集合C={參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的女

運(yùn)動(dòng)員},則下列關(guān)系正確的是()

A.ABB.BCC.AnB=CD.BUC=A

解：由題意可知，應(yīng)選(D)。

考點(diǎn)3、邏輯聯(lián)結(jié)詞與四種命題

1、命題分類：真命題與假命題，簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題；

2、復(fù)合命題的形式：p且q,p或q,非p；

3、復(fù)合命題的真假：對(duì)p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí),其為假。對(duì)

p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假，?當(dāng)p、q中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng)P為真時(shí)，非p為假；當(dāng)p

為假時(shí)，非P為真。

4、四種命題：記"若q則p"為原命題，則否命題為"若非p則非q",逆命題為“若q則p",逆否命題為

”若非q則非p"。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。

例6、(2008廣東高考)命題”若函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，貝『’的逆否命題是()

A、若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

B、若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù)

C、若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

D、若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)

解：逆否命題是將原命題的結(jié)論的否定作為條件，原命題的條件的否定作為結(jié)論，故應(yīng)選(A)。

例7、已知命題方程有兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根；方程無實(shí)根.若"或"為真，"且"為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：.一

或?yàn)檎妫覟榧伲妫倩蚣伲?

或，故或.

考點(diǎn)4、全稱量詞與存在量詞

1,全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：對(duì)應(yīng)日常語言中的"一切"、"任意的"、"所有的“、“凡是“、”任給"、"對(duì)每一個(gè)"等詞，

用符號(hào)””表示。

(2)存在量詞：對(duì)應(yīng)日常語言中的“存在一個(gè)“、”至少有一個(gè)“、“有個(gè)"、"某個(gè)"、"有些"、“有的"等

詞，用符號(hào)""表示。

2.全稱命題與特稱命題

(1)全稱命題：含有全稱量詞的命題。”對(duì)xM,有p(x)成立“簡(jiǎn)記成"xM,p(x)\

(2)特稱命題：含有存在量詞的命題。"xM，有p(x)成立“簡(jiǎn)記成"xM,p(x)3.同一個(gè)全稱

命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可以有不同的表述方法，現(xiàn)列表如下，供參考。

命題

全稱命題xM,p(x)

特稱命題xM,p(x)

表述

方法

①所有的xM,使p(x)成立

①存在xM,使p(x)成立

②對(duì)一切xM,使p(x)成立

②至少有一個(gè)xM,使p(x)成立

③對(duì)每一個(gè)xM,使p(x)成立

③對(duì)有些xM，使p(x)成立

④任給一個(gè)xM,使p(x)成立

④對(duì)某個(gè)xM,使p(x)成立

⑤若xM,則p(x)成立

⑤有一個(gè)xM,使p(x)成立

4.常見詞語的否定如下表所示：

詞語

是

一定是

都是

大于

小于

詞語的否定

不是

一定不是

不都是

小于或等于

大于或等于

詞語

且

必有一^?

至少有n個(gè)

至多有一個(gè)

所有x成立

詞語的否定

或

一個(gè)也沒有

至多有n-1個(gè)

至少有兩個(gè)

存在一個(gè)x不成立

例8、（2007山東）命題”對(duì)任意的"的否定是（）

A.不存在B.存在

C.存在D.對(duì)任意的

解：命題的否定與否命題不同，命題的否定是將全稱量詞改為特稱量詞，或?qū)⑻胤Q量詞改為全稱量詞，

再否定結(jié)論即可，故選（C）。

例9、命題“，有”的否定是.

解：將"存在"改為"任意"，再否定結(jié)論，注意存在與任意的數(shù)學(xué)符號(hào)表示法，答案：

考點(diǎn)5、充分條件與必要條件

1、在判斷充分條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四

種情況說明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，

理解”越小越充分”的含義。

例10、（2008安徽卷）是方程至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解：當(dāng)，得a<l時(shí)方程有根。a<0時(shí)，，方程有負(fù)根，又a=l時(shí)，方程根為，所以選（B）。

例11、（2008湖北卷）若集合，則：（）

A.是的充分條件，不是的必要條件

B.不是的充分條件，是的必要條件

C是的充分條件，又是的必要條件.

D.既不是的充分條件，又不是的必要條件

解：反之不然故選A

三、方法總結(jié)與高考預(yù)測(cè)

（-）思想方法總結(jié)

1.數(shù)形結(jié)合2.分類討論

（二）高考預(yù)測(cè)

1.集合是每年高考必考的知識(shí)點(diǎn)之一。題型一般是選擇和填空的形式，主要考查集合的運(yùn)算和求

有限集合的子集及其個(gè)數(shù).

2.簡(jiǎn)易邏輯是在高考中應(yīng)一般在選擇題、填空題中出現(xiàn)，如果在解答題中出現(xiàn)，則只會(huì)是中低檔

題.

3.集合、簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)，作為一種數(shù)學(xué)工具，在函數(shù)、方程、不等式、排列組合及曲線與方程等

方面都有廣泛的運(yùn)用，高考題中常以上面內(nèi)容為載體，以集合的語言為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)考查學(xué)

生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn).

四、復(fù)習(xí)建議

1.在復(fù)習(xí)中首先把握基礎(chǔ)性知識(shí)，深刻理解本單元的基本知識(shí)點(diǎn)、基本數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)方法.重

點(diǎn)掌握集合、充分條件與必要條件的概念和運(yùn)算方法.要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想一用文氏圖解題.

2.涉及本單元知識(shí)點(diǎn)的高考題，綜合性大題不多.所以在復(fù)習(xí)中不宜做過多過高的要求，只要靈活掌

握小型綜合題型（如集合與映射，集合與自然數(shù)集，集合與不等式，集合與方程等，充分條件與必要條件與三

角、立幾、解幾中的知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合等）映射的概念以選擇題型出現(xiàn)，難度不大。就可以了

3.活用“定義法”解題。定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點(diǎn)。利用定義，可直接判

斷所給的對(duì)應(yīng)是否滿足映射或函數(shù)的條件，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等。

4.重視“數(shù)形結(jié)合”滲透。"數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”。當(dāng)你所研究的問題較為抽象時(shí)，當(dāng)你的

思維陷入困境時(shí)，當(dāng)你對(duì)雜亂無章的條件感到頭緒混亂時(shí)，一個(gè)很好的建議便是：畫個(gè)圖!利用圖形的直觀性,

可迅速地破解問題，乃至最終解決問題。

5.實(shí)施"定義域優(yōu)先"原則。函數(shù)的定義域是函數(shù)最基本的組成部分，任何對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究都離不開函

數(shù)的定義域。例如，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須在定義域范圍內(nèi)；通過求出反函數(shù)的定義域，可得到原函數(shù)的

值域；定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件。為此，應(yīng)熟練掌握求函數(shù)定義域的原則

與方法，并貫徹到解題中去。

6.強(qiáng)化"分類思想”應(yīng)用。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)均與其底數(shù)是否大于1有關(guān)；對(duì)于根式的意義及

其性質(zhì)的討論要分清n是奇數(shù)還是偶數(shù)等。

不等式

一、考點(diǎn)知識(shí)回顧

不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)。

不等式的基本性質(zhì)有：

對(duì)稱性：a>bb<a;傳遞性:若a>b,b>c,貝!Ia>c;可加性：a>ba+c>b+c;

可乘性:a>b,當(dāng)c>0時(shí),ac>bc;當(dāng)c<0時(shí),ac<bc.<p="">

不等式運(yùn)算性質(zhì)：

(1)同向相加：若a>b,c>d,則a+c>b+d;(2)異向相減：，.

(3)正數(shù)同向相乘：若a>b>0,c>d>0,貝[]ac>bdo(4)乘方法則：若a>b>0,neN+,貝1J;

(5)開方法則：若a>b>0,neN+,則；(6)倒數(shù)法則：若ab>0,a>b,則。

2、基本不等式(或均值不等式)；利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b2>2ab(a,beR),該不等式

可推廣為a2+b2221ab|;或變形為|ab|4;當(dāng)a,b20時(shí)，a+b2或ab4.

3、不等式的證明：

不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；

在不等式證明過程中，應(yīng)注重與不等式的運(yùn)算性質(zhì)聯(lián)合使用；

證明不等式的過程中，放大或縮小應(yīng)適度。

不等式的解法：

解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。

一元二次不等式(組)是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。一元二次不等式與

相應(yīng)的函數(shù)，方程的聯(lián)系

求一般的一元二次不等式或的解集，要結(jié)合的根及二次函數(shù)圖象確定解集.

對(duì)于一元二次方程，設(shè)，它的解按照可分為三種情況.相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為

三種情況.因此，我們分三種情況討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集，注意三個(gè)“二次”的聯(lián)系。

含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類討論。

5、不等式的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研究函數(shù)單調(diào)性等。在解決問題過程中，應(yīng)當(dāng)

善于發(fā)現(xiàn)具體問題背景下的不等式模型。

用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一。

研究不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)變換思想等。

6、線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟

解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即借助直線(線性目標(biāo)函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線)與

平面區(qū)域(可行域)有交點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距的最大值或最小值求解。它的步驟如下：

(1)設(shè)出未知數(shù)，確定目標(biāo)函數(shù)。

(2)確定線性約束條件，并在直角坐標(biāo)系中畫出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域。

(3)由目標(biāo)函數(shù)z=ax+by變形為y=-x+，所以，求z的最值可看成是求直線y=-x+在y軸

上截距的最值(其中a、b是常數(shù)，z隨x,y的變化而變化)。

(4)作平行線：將直線ax+by=0平移(即作ax+by=0的平行線)，使直線與可行域有交點(diǎn),且觀

察在可行域中使最大(或最小)時(shí)所經(jīng)過的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。

(5)求出最優(yōu)解：將(4)中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出z的最大(或最小)值。

7、絕對(duì)值不等式

(1)|x|<a(a>0)的解集為:{x|-a<x<a};

Ix|>a(a>0)的解集為：{x[x>a或x<-a}。

（2）

二、考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一：不等關(guān)系與不等式

【命題規(guī)律】高考中，對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查，主要放在不等式的性質(zhì)上，題型多為選擇題或填空題，屬容

易題。

例1、（2008廣東文）設(shè)，若，則下列不等式中正確的是（）

A.B.C,D.

解：由知，，所以，故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值的概念和絕對(duì)值的性質(zhì)，如果用特殊值法也能求解。

例2、（2007上海理科）已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是（）

A、B、C、D、

解：取a=-3,b=2,由（A）（B）（D）都錯(cuò)，故（C）.

點(diǎn)評(píng)：特殊值法是解選擇題的一種技巧，在應(yīng)試時(shí)要時(shí)刻牢記有這么一種方法。這晨a,b沒有說明符

號(hào)，注意不要錯(cuò)用性質(zhì)。

考點(diǎn)二：一元二次不等式及其解法

【命題規(guī)律】高考命題中，對(duì)一元二次不等式解法的考查，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，則會(huì)對(duì)不等式直

接求解，或經(jīng)常地與集合、充要條件相結(jié)合，難度不大。若以解答題出現(xiàn)，T殳會(huì)與參數(shù)有關(guān)，或?qū)?shù)分

類討論，或求參數(shù)范圍，難度以中檔題為主。

例3、（2007湖南）不等式的解集是（）

A.B.C.D.

解：原不等式可化為x2-x>0,即x（x-l）>0,所以x<0或x>1,選（D）.

例4、（2007福建）""是""的什么條件……（）

A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要

解：由|x|<2,得：-2<x<2,由得:-2<x<3,

-2<x<2成立，貝U-2<x<3—做立，反之貝!］不一定成立，所以，選（A）。

點(diǎn)評(píng)：本題是不等式與充要條件結(jié)合的考題，先解出不等式的解集來，再由充分必要條件的判斷方法可

得。

例5、（2008江西文）不等式的解集為.

解：原不等式變?yōu)椋芍笖?shù)函數(shù)的增減性，得：

,所以填：.

點(diǎn)評(píng)：不等式與指數(shù)函數(shù)交匯、不等式與對(duì)數(shù)函數(shù)交匯、不等式與數(shù)列交匯是經(jīng)常考查的內(nèi)容，應(yīng)加強(qiáng)

訓(xùn)練。

例6、已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：.

設(shè)，它的圖象是一條開口向上的拋物線.

(1)若，滿足條件，此時(shí)，即，解得；

(2)若，設(shè)拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，欲使，應(yīng)有，

結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得即解得.

綜上，的取值范圍是.

點(diǎn)評(píng)：本題是一元二次不等式與集合結(jié)合的綜合題，考查含參數(shù)一元二次不等式的解法，注意分類討論

思想的應(yīng)用，分類時(shí)做到不遺漏。

考點(diǎn)三：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃

【命題規(guī)律】線性規(guī)劃問題時(shí)多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，題型以容易題、中檔題為主，考查平面區(qū)

域的面積、最優(yōu)解的問題；隨著課改的深入，近年來，以解答題的形式來考查的試題也時(shí)有出現(xiàn)，考查學(xué)生

解決實(shí)際問題的能力。

例7、(2008安徽文)若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從-2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線

掃過中的那部分區(qū)域的面積為()

A.B.1C.D.5

解：如圖知區(qū)域的面積是AOAB去掉一個(gè)小直角三角形。

(陰影部分面積比1大，比小，故選G不需要算出來)

點(diǎn)評(píng)：給出不等式組，畫出平面區(qū)域，求平面區(qū)域的面積的問題是經(jīng)常考查的試題之一，如果區(qū)域是不

規(guī)節(jié)圖形，將它分割成規(guī)節(jié)圖形分別求它的面積即可。

例8、(2008廣東理)若變量x,y滿足,則z=3x+2y的最大值是()

A.90B.80

C.70D.40

解:做出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)化為：y=-，令z=0,畫y=-,及其平行線，如右圖，當(dāng)它經(jīng)

過兩直線的交點(diǎn)時(shí)，取得取大值。

解方程組彳導(dǎo).所以，故答C.

點(diǎn)評(píng)：求最優(yōu)解，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，再令z=0,畫它的平行線，看y軸上的截距

的最值，就是最優(yōu)解。

例9、(2007山東)本公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告

總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)

為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙

兩個(gè)電視臺(tái)的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

解：設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得

目標(biāo)函數(shù)為.

二元一次不等式組等價(jià)于

作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域.

如圖：

作直線，即.

平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.

聯(lián)立解得?點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（元）

答：該公司在甲電視臺(tái)做100分鐘廣告，在乙電視臺(tái)做200分鐘廣告,公司的收益最大，收益是70萬

元.

點(diǎn)評(píng)：用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類

試題應(yīng)該是高考的熱點(diǎn)題型之一。

考點(diǎn)四：基本不等關(guān)系

【內(nèi)容解讀】了解基本不等式的證明過程，會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題，理解用綜合法、分析

法、比較法證明不等式。

利用基本不等式可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題：

合理拆分項(xiàng)或配湊因式是經(jīng)常用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條件（兩數(shù)都為

正）；二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號(hào)成立的條件（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立），它具有一

定的靈活性和變形技巧，高考中常被設(shè)計(jì)為一個(gè)難點(diǎn).

【命題規(guī)律】高考命題重點(diǎn)考查均值不等式和證明不等式的常用方法，單純不等式的命題，主要出現(xiàn)在

選擇題或填空題，一般難度不太大。

例10、（2007上海理）已知，且，則的最大值是.

解：，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=時(shí)取等號(hào).

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式求最值的問題，注意變形后使用基本不等式。

例11、（2008浙江文）已知（）

（A）（B）（C）（D）

解：由，且，???，???。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查不等式的重要不等式知識(shí)的運(yùn)用。

例12、（2008江蘇）已知，，則的最小值.

解：由得

代入得，當(dāng)且僅當(dāng)=3時(shí)取.

點(diǎn)評(píng)：本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用.題目有有三個(gè)未知數(shù)，通過已知代數(shù)式，對(duì)所求式子消去一

個(gè)未知數(shù)，用基本不等式求解。

考點(diǎn)五：絕對(duì)值不等式

【內(nèi)容解讀】掌握絕對(duì)值不等式|x|<a,|x|>a（a>0）的解法，了解絕對(duì)值不等式與其它內(nèi)容的

孑小口。

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容多以選擇、填空題為主，有時(shí)與充分必要條件相結(jié)合來考查，難度不大。

例13、（2008湖南文）"卜-1|<2"是\<3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.即不充分也不必要條件

解：由|x-l|<2得-1<x<3，在-1<x<3的數(shù)都有乂<3，但當(dāng)x<3時(shí)，不一定有-1<x<3,

如x=-5，所以選（A）.

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法和充分條件必要條件，可以用特殊值法來驗(yàn)證，充分性與必要性的

成立。

例14、（2008四川文）不等式的解集為（）

（A）（B）（C）（D）

解：??????即即故選A;

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考察絕對(duì)值不等式的解法；準(zhǔn)確進(jìn)行不等式的轉(zhuǎn)化去掉絕對(duì)值符號(hào)為解題的關(guān)鍵，可用

公式法，平方法，特值驗(yàn)證淘汰法；

考點(diǎn)六：不等式的綜合應(yīng)用

【命題規(guī)律】不等式的綜合應(yīng)用多以應(yīng)用題為主，屬解答題，有一定的難度。

例15、（2008江蘇模擬）如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為（單位:

米）的矩形，上部是斜邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米.

（I）求的關(guān)系式，并求的取值范圍；

（n）問分別為多少時(shí)用料最省？

解：（I）由題意得：

（H）設(shè)框架用料長(zhǎng)度為，則

當(dāng)且僅當(dāng)滿足

答：當(dāng)米，米時(shí)，用料最少.

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用基本不等式解決實(shí)際問題，是面積固定，求周長(zhǎng)最省料的模型，解題時(shí)，列出一個(gè)

面積的等式，代入周長(zhǎng)所表示的代數(shù)式中，消去一個(gè)未知數(shù)，這是常用的解題方法。

例16、（2008江蘇模擬）某化工企業(yè)2007年底投入100萬元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備

每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，

以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元.

（1）求該企業(yè)使用該設(shè)備年的年平均污水處理費(fèi)用（萬元）；

（2）問為使該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低，該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水

處理設(shè)備？

解：（1）即（）；

（2）由均值不等式得：

（萬元），當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào).

答：該企業(yè)10年后需要重新更換新設(shè)備.

點(diǎn)評(píng)：本題又是基本不等式的一個(gè)應(yīng)用，第一問求出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，第二問難度不大。

考點(diǎn)七：不等式的證明

【內(nèi)容解讀】證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法.要

依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)

的步驟，技巧和語言特點(diǎn).比較法的一般步驟是：作差（商）T變形T判斷符號(hào)（值）.

【命題規(guī)律】不等式的證明多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中等偏難的試題。文科考查的可能性不大。

例17、已知，求證

證明：只需證：

即證：成立

原不等式成立.

點(diǎn)評(píng)：用分析法證明不等式也是常用的證明方法，通過分析法，能夠找到證明的思路。

三、方法總結(jié)與高考預(yù)測(cè)

（-）方法總結(jié)

1,熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，常見不等式（如一元二次不等式，絕對(duì)值不等式等）的解法，不等式在

實(shí)際問題中的應(yīng)，不等式的常用證明方法

2.數(shù)學(xué)中有許多相似性，如數(shù)式相似，圖形相似，命題結(jié)論的相似等，利用這些相似性，通過構(gòu)造輔

助模型，促進(jìn)轉(zhuǎn)化，以期不等式得到證明。可以構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量、復(fù)數(shù)和圖形等數(shù)學(xué)模型，針

對(duì)欲證不等式的構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停瑢⒉坏仁絾栴}轉(zhuǎn)化為上述數(shù)學(xué)模型問題，順利解決不等式的有關(guān)

問題。

（二）高考預(yù)測(cè)

在近年的高考中，不等式的考查有選擇題、填空題、解答題都有，不僅考查不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，基本技

能，基本方法，而且還考查了分析問題、解決問題的能力。解答題以函數(shù)、不等式、數(shù)列導(dǎo)數(shù)相交匯處命題，

函數(shù)與不等式相結(jié)合的題多以導(dǎo)數(shù)的處理方式解答，函數(shù)不等式相結(jié)合的題目，多是先以直覺思維方式定方

向，以遞推、數(shù)學(xué)歸納法等方法解決，具有一定的靈活性。

由上述分析，預(yù)計(jì)不等式的性質(zhì)，不等式的解法及重要不等知識(shí)將以選擇題或填空的形式出現(xiàn)；解答題

可能出現(xiàn)解不等與證不等式。如果是解不等式含參數(shù)的不等式可能性比較大，如果是證明題將是不等式與數(shù)

列、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、向量等相結(jié)合的綜合問題，用導(dǎo)數(shù)解答這類問題仍然值得重視。

五、復(fù)習(xí)建議

1.在復(fù)習(xí)中應(yīng)掌握證明不等式的常用思想方法：比較思想；綜合思想；分析思想；放縮思想；反證思

想；函數(shù)思想；換元思想；導(dǎo)數(shù)思想.

2、在復(fù)習(xí)解不等式過程中，注意培養(yǎng)、強(qiáng)化與提高函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)

學(xué)思想和方法，逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高分析解決綜合問題的能力.能根據(jù)各類不等式的特點(diǎn)，變形的特殊

性，歸納出各類不等式的解法和思路以及具體解法。

函數(shù)

一、考點(diǎn)回顧

1.理解函數(shù)的概念，了解映射的概念.

2.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)

的性質(zhì)簡(jiǎn)化函數(shù)圖像的繪制過程.

3.了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系.

4.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念，掌握有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

5.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

6.能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

7、掌握函數(shù)零點(diǎn)的概念，用二分法求函數(shù)的近似解，會(huì)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決一些實(shí)際問題。

二、經(jīng)典例題剖析

考點(diǎn)一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.在復(fù)習(xí)中要對(duì)定義深入理解.

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從"數(shù)"和"形"兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證

明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化.具

體要求是：

1,正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，

能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.

2.從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)

求函數(shù)最大值和最小值的常用方法.

3.培養(yǎng)學(xué)生用變化的觀點(diǎn)分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能

力.

函數(shù)的圖象是函數(shù)性質(zhì)的直觀載體，函數(shù)的性質(zhì)可以通過函數(shù)的圖像直觀地表現(xiàn)出來。

因此，掌握函數(shù)的圖像是學(xué)好函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵，這也正是"數(shù)形結(jié)合思想”的體現(xiàn)。復(fù)習(xí)函數(shù)圖像要注意

以下方面。

1.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法一描點(diǎn)法和圖象變換法.

2.會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題.

3.用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.

4.掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力.

例1、（2008廣東汕頭二模）設(shè)集合A={x|x<-1或x>l},B={x|log2x>0},貝UACIB=（）

A.{x|x>l}B.{x|x>0}C.{x|x<-l}D.{x|x<-l或x>l}

【解析】:由集合B得x>l,\AnB={x|x>l},故選（A）。

［點(diǎn)評(píng)］本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的性質(zhì)，是函數(shù)與集合結(jié)合的試題，難度不大，屬基礎(chǔ)題。

例2、（2008廣東惠州一模）"龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲

起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…

用SLS2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（）

【解析】：選（B），在（B）中，烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子在同一時(shí)間的路程比烏龜短。

［點(diǎn)評(píng)］函數(shù)圖象是近年高考的熱點(diǎn)的試題，考查函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問題、分析問題

的能力，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視。

例3、（2008全國(guó)一）汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車

的行駛路程看作時(shí)間的函數(shù)，其圖像可能是（）

【解析】根據(jù)汽車加速行駛，勻速行駛，減速行駛結(jié)合函數(shù)圖象可知選A.

例4、（2008福建文）函數(shù)，若，則的值為（）

A.3B.OC.-lD.-2

【解析】：為奇函數(shù)，又故即.

［點(diǎn)評(píng)］本題考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生觀察問題的能力，通過觀察能夠發(fā)現(xiàn)如何通過變換式子與學(xué)

過的知識(shí)相聯(lián)系，使問題迎刃而解。

例5、（2008廣東高考試題）設(shè)，函數(shù)，

,，試討論函數(shù)的單調(diào)性.

【解析】

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

［點(diǎn)評(píng)］在處理函數(shù)單調(diào)性的證明時(shí)，可以充分利用基本函數(shù)的性質(zhì)直接處理，但學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)后，函數(shù)

的單調(diào)性就經(jīng)常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系在一起，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來處理函數(shù)的單調(diào)進(jìn)性，顯得更加簡(jiǎn)單、方便。

考點(diǎn)二：二次函數(shù)

二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延.作為最基本的初等函數(shù)，可

以以它為素材來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；

作為拋物線，可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間關(guān)系.這些縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出層出

不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題.同時(shí)，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容又與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是學(xué)生進(jìn)入高校

繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ).因此，從這個(gè)意義上說，有關(guān)二次函數(shù)的問題在高考中頻繁出現(xiàn)，也就不足為奇

了.學(xué)習(xí)二次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖像特征.從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)

推理，這種代數(shù)推理、論證的能力反映出一個(gè)人的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)；從圖像特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然

結(jié)合，這正是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的思想方法.

例6.若函數(shù)（常數(shù)）是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)椋?/p>

則該函數(shù)的解析式.

【解析】是偶函數(shù)，則其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，（不合題意）或

且值域?yàn)椋?/p>

考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù)，高考中既考查雙基，又考查對(duì)蘊(yùn)含其中的函數(shù)思想、等

價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運(yùn)用.因此應(yīng)做到能熟練掌握它們的圖象與性質(zhì)并能進(jìn)行一定的綜合

運(yùn)用.

例8、（2008山東文科高考試題）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（）

A.B.C.D.

【解析】：由圖易得取特殊點(diǎn)

.選A.

［點(diǎn)評(píng)］:本小題主要考查正確利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小。

例9、（2007全國(guó)I）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則（）

A.B.C.D.

【解析】：設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為

它們的差為，；.，4,選D。

例10、（2008全國(guó)II高考試題）若，則（）

A.<<B.<<C.<<D.<<

【解析】：由，令且取知<<

考點(diǎn)四：反函數(shù)

反函數(shù)在高考試卷中一般為選擇題或填空題，難度不大。通常是求反函數(shù)或考察互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)

的性質(zhì)應(yīng)用和圖象關(guān)系。主要利用方法為：

互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系：注意：在定義域內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù)，但存在反函數(shù)

的函數(shù)在定義域內(nèi)不一定嚴(yán)格單調(diào)，如y=。

例11.（2007北京高考試題）函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.C.D.

【解析】：函數(shù)的反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域，原函數(shù)的值域?yàn)椋xB。

［點(diǎn)評(píng)］:本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)性質(zhì)之間的關(guān)系，即：反函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域。

例12、（2008湖南高考試題）設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)的圖象過點(diǎn)（L2）,則函數(shù)的圖象一定過點(diǎn).

【解析】由函數(shù)的圖象過點(diǎn)Q,2）得：即函數(shù)過點(diǎn)則其反函數(shù)過點(diǎn)所以函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)

［點(diǎn)評(píng)］：本題考查互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系以及圖象的平移。

考點(diǎn)五：抽象函數(shù)

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像，只給出一些函數(shù)符號(hào)及其滿足的條件的函數(shù)，如函數(shù)

的定義域，解析遞推式，特定點(diǎn)的函數(shù)值，特定的運(yùn)算性質(zhì)等，它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn)，也是大學(xué)高等數(shù)

學(xué)函數(shù)部分的一個(gè)銜接點(diǎn)，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體，因此理解研究起來比較困難.但由

于此類試題即能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，又能考查學(xué)生的思維能力，所以備受命題者的青睞，那么，怎樣求

解抽象函數(shù)問題呢，我們可以利用特殊模型法，函數(shù)性質(zhì)法，特殊化方法，聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化法，等多種方法從

多角度，多層面去分析研究抽象函數(shù)問題，

（-）函數(shù)性質(zhì)法

函數(shù)的特征是通過其性質(zhì)（如奇偶性，單調(diào)性周期性，特殊點(diǎn)等）反應(yīng)出來的，抽象函數(shù)也是如此，只有

充分挖掘和利用題設(shè)條件和隱含的性質(zhì)，靈活進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，抽象函數(shù)問題才能轉(zhuǎn)化，化難為易，常用的解

題方法有：1，利用奇偶性整體思考;2，利用單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化;3，利用周期性回歸已知4;利用對(duì)稱性數(shù)形結(jié)合;5,

借助特殊點(diǎn)，布列方程等.

（二）特殊化方法

1、在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí),一般用代換的方法，將x換成-x等

2、在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值代入

3、研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函數(shù)對(duì)綜合題，的解答提

供思路和方法.

總之，抽象函數(shù)問題求解，用常規(guī)方法一般很難湊效，但我們?nèi)绻芡ㄟ^對(duì)題目的信息分析與研究，采

用特殊的方法和手段求解，往往會(huì)收到事半功倍之功效，真有些山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村的快感.

例13、（2008陜西文）定義在上的函數(shù)滿足（），，則等于（）

A.2B.3C.6D.9

?

令得

考點(diǎn)六：函數(shù)的綜合應(yīng)用（導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用）

函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、思想和方法綜合解決問題.函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)

系，是對(duì)問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)

特征，建立函數(shù)關(guān)系.因此，運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)是運(yùn)用

函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識(shí)是

運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.

例14、（2008廣東高考試題）某單位用2160萬元購(gòu)得一塊空地,計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少

10層、每層2000平方米的樓房。經(jīng)測(cè)算如果將樓房建為乂X10層則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560+48X

（單位：元）。為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？

（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=）

【解析】：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元，依題意得

則，令，即，解得

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，元.

答：為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層。

［點(diǎn)評(píng)］:這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來解決問題。利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)

值域或最值是一種常用的方法.

例15、（2007湖北文科高考試題）某商品每件成本9元，售價(jià)為30元，每星期賣出432件如果

降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值（單位：元，）的平方成正比.

已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件.

（I）將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成的函數(shù)；

(II)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大？

【解析】：(I)設(shè)商品降價(jià)元，則多賣的商品數(shù)為，若記商品在一個(gè)星期的獲利為，

則依題意有，

又由已知條件，，于是有，

所以.

(n)根據(jù)(I),我們有.

2

12

0

0

極小

極大

故時(shí)，達(dá)到極大值.因?yàn)椋?/p>

所以定價(jià)為元能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大.

［點(diǎn)評(píng)］:本小題主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問題的能

力.

考點(diǎn)七、函數(shù)的零點(diǎn)

四、方法總結(jié)與高考預(yù)測(cè)

(-)思想方法總結(jié)

1.數(shù)形結(jié)合2.分類討論3.函數(shù)與方程

(二)高考預(yù)測(cè)

1.考查有關(guān)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的試題，從試題上看，抽象函數(shù)和具體函數(shù)都有，有向抽象函數(shù)發(fā)展的

趨勢(shì)，另外試題注重對(duì)轉(zhuǎn)化思想的考查，且都綜合地考查單調(diào)性與奇偶性.

2.考查與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中(或列表中)讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、

對(duì)稱變換，注意函數(shù)的對(duì)稱性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題的能力.

3.考查與指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的試題.對(duì)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依

托，結(jié)合運(yùn)算推理來解決.

4加強(qiáng)函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想的考查是高考的一個(gè)重點(diǎn).善于轉(zhuǎn)化命題，引進(jìn)變量建立函數(shù)，運(yùn)用變化的方

法、觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)試題以提高數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展能力.

5、注意與導(dǎo)數(shù)結(jié)合考查函數(shù)的性質(zhì).

6、函數(shù)的應(yīng)用，是與實(shí)際生活結(jié)