第一講：因式分解(一)

1.運用公式法

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如:

(l)a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)a3-b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

⑷a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再補充幾個常用的公式：

(5)a2-b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3-b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

(7)an-bn=(a-b)(an"+an'：!b+an-V+--?-abn-2+bn,)n為正整數：

(8)an-bn=(a+b)(an-,-an-2b+a',-3b2--+abn-2-bn-),其中n為偶數；

(9)ar，-b'-(a+b)(a11'-a^b+a"Jb2...ab'^+b"1'1),其中n為奇數.

運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、系數、指數、符號等正確恰當地選擇公式.

15H,32

例3分解因式：x+x+x+-+x+x+l.

2.拆項、添項法

因式分解是多項式乘法的逆運算.在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或將兩個僅

符號相反的同類項相互抵消為零.在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項

式中的英一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項.拆項、

添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解.

例4分解因式：x'-9x+8.

3.換元法

換元法指的是將一個較狂雜的代數式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從

而使運算過程簡明清晰.

例6分解因式：(x2+x+l)(xz+x+2)-12.

第二講：因式分解(二)

1.雙十字相乘法

分解二次三項式時，我們常用十字相乘法.對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f),我們也可以用十

字相乘法分解因式.

例如，分解因式2x27xy-22yL5x+35y-3.我們將上式按x降帚排列，并把y當作常數，于是上式可變形為

2x-(5+7y)x-(22y2-35y+3),

可以看作是關于x的二次三項式.

對于常數項而言，它是關于y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解為

2y-3

-UyXi

即：-22y2+35y-3=(2y-3)(Tly+1).

再利月十字相乘法對關于x的二次三項式分解

x(2廠3)

2xX(-Hy41)

所以，原式=[x+(2y-3)][2x+(-lly+l)]

=(x+2y-3)(2x-lly+l).

上述國式分解的過程，實施了兩次十字相乘法.如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：

它表示的是下面三個關系式：

(x+2y)(2x-lly)=2x2-7xy-22yJ；

(x-3)(2x+l)=2x°-5x-3；

(2y-3)(-lly+l)=-22y2+35y-3.

2

這就是所謂的雙十字相乘法.

用雙一字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx-i-ey+f進行因式分解的步驟是：

(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2,得到一個十字相乘圖(有兩列)；

(2)把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的ey,

第一、第三列構成的十字交叉之積的和等于原式中的dx.

例1分解因式：

(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；

2.求根法

我們把形如an-gxf…為非負整數)的代數式稱為關于x的一元多項式,并用f(x),g(x),…等記

號表示，如

f(x)=X2-3X+2,g(x)=x5+x2+6,…，

當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示.如對上面的多項式f(x)

f(l)=l2-3X1+2=0；

f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.

若f(a)=0,則稱a為多項式f(x)的一個根.

定理1(因式定理)若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a.

根據國式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的關鍵是求多項式f(x)的根.對于任意多項式f(x),要求出

它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數都是整數時，即整系數多項式時，經常用下面的定理來判

定它是否有有理根.

若既約分數a是整系數多項式

p

a

定理2f(x)-aox+ap￡Z+a/A-.+xx+a*

的根，則必有p是加的約數，q是即的約數.特別地，當加=1時，整系數多項式f(x)的整數根均為心的約數.

我們根據上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解.

例2分解因式:X3-4X2+6X-4.

3

3.待定系數法

待定系數法是數學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛，這里介紹它在因式分解中的應用.

在因式分解時，一些多項式經過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數尚未確定,

這時可以用一些字母來表示待定的系數.由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據多項式恒等的性質，兩邊對

應項系數應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數的方程（或方程組），解出待定字母

系數的值，這種因式分解的方法叫作待定系數法.

例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.

第三講實數的若干性質和應用

實數是高等數學特別是微積分的重要基礎.在初中代數中沒有系統地介紹實數理論，是因為它涉及到極限的概

念.這一概念對中學生而言，有一定難度.但是，如果中學數學里沒有實數的概念及其簡單的運算知識，中學數

學也將無法繼續學習下去了.例如，即使是一元二次方程，只有有理數的知識也是遠遠不夠用的.因此，適當學

習一些有關實數的基礎知識，以及運用這些知識解決有關問題的基本方法，不僅是為高等數學的學習打基礎，而

且也是初等數學學習所不可缺少的.本講主要介紹實數的一些基本知識及其應用.

n用于解決許多問題，例如，不難證明：任何兩個有理數

的和、差、積、商還是有理數，或者說，有理數對加、減、乘、除（零不能做除數）是封閉的.

性質1任何一個有理數都能寫成有限小數（整數可以看作小數點后面為零的小數）或循環小數的形式,反之亦然.

例1證明循環小數2.61545454-=2.61次是有理數.

性質2設a為有理數，b為無理數，則

（l）a+b,a-b是無理數;

（2）當a/0時，a*b,；是無理數.

b

有理數和無理數統稱為實數，即

4

有限小數［有理數

實數（小物則榜

L無限小數（不循環小數——無理數

在實數集內，沒有最小的實數，也沒有最大的實數.任意兩個實數，可以比較大小.全體實數和數軸上的所有

點是一一對應的.在實數集內進行加、減、乘、除（除數不為零）運算，其結果仍是實數（即實數對四則運算的封閉

性）.任一實數都可以開奇次方，其結果仍是實數；只有當被開方數為非負數時，才能開偶次方，其結果仍是實數.

例2

1

求證是有理數.

11-122-25

個門個

第四講分式的化簡與求值

分式的有關概念和性質與分數相類似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零時才有意

義；乜像分數一樣，分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變，這一性質是分

式運算中通分和約分的理論根據.在分式運算中，主要是通過約分和通分來化簡分式，從而對分式進行求值.除

此之外，還要根據分式的具體特征靈活變形，以使問題得到迅速準確的解答.本講主要介紹分式的化簡與求值.

例3若abc=l,求獨+a+lbc+b+1ca+c+1

第五餅恒等式的證明

5

1.由繁到簡和相向趨進

恒等式證明最基木的思路是“由繁到簡”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導)和“相向趨進”(即將等式兩邊同

時轉化為同一形式).

例1已知x+y+z=xyz,證明：x(l-y2)(1-z2)+y(1-x2)(l-z2)+z(l-x2)(l-y2)=4xyz.

2.比較法

比較法利用的是：若a-b=O,則a=b(比差法)；或若;=1,則

a=b(比商法).這也是證明恒等式的重要思路之一.

例3求證：

a2-beb2-caab-c2

----------------+-----------------=-----------------

(a+b)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+b)

3.分析法與綜合法

根據推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法.分析法是從要求證的結論出發，尋求

在什么情況下結論是正確的，這樣一步一步逆向推導，尋求結論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結論正確，即

所謂“執吳索因”.而綜合法正好相反，它是“由因導果”,即從已知條件出發順向推理，得到所求結論.

例6己知a'+b'+c'+dJ4abed,且a,b,c?d都是正數,求證：a=b=c=d.

4.其他證明方法與技巧

例8已知a+b+c=O,求證2(a'+b'+c")=(&2+b2+c2)2.

6

第六講代數式的求值

1.利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一種代數恒等變形，在代數式化簡求值中，經常被采用.

例1己知x?+x=；,求6x4+15x3+10x2的值.

2.利用乘法公式求值

例3已知x+y=m,x3+y3=n,m#0,求的值.

3.設參數法與換元法求值

如果代數式字母較多，式子較繁，為了使求值簡便，有時可增設一些參數（也叫輔助未知數），以便溝通數量關

系，這叫作設參數法.有時也可把代數式中某一部分式子，用另外的一個字母來替換，這叫換元法.

例5已知仁———求x+y+z的值.

a-bb-cc-a

4.利用非負數的性質求值

若幾人非負數的和為零，則每個非負數都為零，這個性質在代數式求值中經常被使用.

例8若x2?4x+|3x?y|=?4,求y'的值.

7

5.利用分式、根式的性質求值

分式與根式的化簡求值問題，內容相當豐富，因此設有專門講座介紹，這里只分別舉一個例子略做說明.

例10已知xyzt=l,求下面代數式的值：

1+x+xy+xyz1+y+yz+yzt1+z+zt+ztx1+t+tx+txy

第七講根式及其運算

二次根式的概念：式子加(a>0)叫作二次根式.

二次根式的性質：

(1)(6)2=a(a>0)；

a,當a〉0時，

(2)7?-|a|-0,當a=0時，

-a,當a<0時.

二次根式的運算法則：

(1)a而+b赤'=(a+b)右？(m>0)；

(2)-/a--7b-Tab(a^O,b>0);

(3),/(a>0,b>0)；

(4)而、朽(a>0).

若a〉b〉O,則

設a,b,c,d,m是有理數，且m不是完全平方數，則當且僅當a=c,b=d時，a+b^T=c+d&L

形如x=a+赤y=a-6的兩個根式互稱為共箱根式

當兩個含有二次根式的代數式相乘時，如果它們的積不含有二次根式，則這兩個代數式互為有理化因式.

例1叱簡：

(1)Vx2-4x+4+|1-x|,其中l<x<2;

(2)Ja-b?Ja-b-yj(b~a)2-|b-a|.

8

例4比簡:

⑴14-辰⑵63-6而+443-2、也.

第八講非負數

所謂非負數，是指零和正實數.非負數的性質在解題中頗有用處.常見的非負數有三種：實數的偶次幕、實數

的絕對值和算術根.

1.實數的偶次累是非負數

若a是任意實數，則a2n20(n為正整數)，特別地，當n=l時，有a?2。.

2.實數的絕對值是非負數

若a是實數，則

a,當a〉0時?

0,當a=0時;

-a,當a<0時

性質絕對值最小的實數是零.'

3.一個正實數的算術根是非負數

性質襲實數，則好=Ial>0.

4.非負數的其他性質

(1)數軸上，原點和原點右邊的點表示的數都是非負數.(2)有限個非負數的和仍為非負數，即若秘，加，…，

心為非負數，則

ai+a2H-----l-an^O.

(3)有限個非負數的和為零,那么每一個加數也必為零，即若小,&,…，金為非負數,且ai+a?+…+a0=0,則

必有ai=a2=***=an=0.

在利月非負數解決問題的過程中，這條性質使用的最多.

(4)非負數的積和商(除數不為零)仍為非負數.

(5)最小非負數為零，沒有最大的非負數.

(6)一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)有實數根的充要條件是判別式△:b??4ac為非負數.

應用非負數解決問題的關鍵在于能否識別并揭示出題目中的非負數，正確運用非負數的有關概念及其性質，巧

妙地進行相應關系的轉化，從而使問題得到解決.

例1已知Ia-3l+./b+2=0,求竺微的值.

a-b

9

數學思維的教育

第九講一元二次方程

一元二次方程是中學代數的重要內容之一，是進一步學習其他方程、不等式、函數等的基礎，其內容非常豐富,

本講主要介紹一元二次方程的基本解法.

方程ax2+bx+c=0(aW0)稱為一元二次方程.

一元二次方程的基本解法有開平方法、配方法、公式法和國式分解法.

對于方程ax2+bx+c=0(aW0),△:b/ac稱為該方程的根的判別式.當△>()時，方程有兩個不相等的實數根，

即

-b±7△

肛2=~；

當△=()時，方程有兩個相等的實數根，即

b

—五;

當avo時，方程無實數根.

例5解方程：X2-3IxI-4=0.

第十講三角形的全等及其應用

例4如圖2-6所示.ZA=90°,AB=AC,M是AC邊的中點,AD_LBM交BC于D,交BM于E.求證:

圖2-6

ZAMB=ZDMC.

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第十一講勾股定理與應用

勾股定理宜角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊。的平方，即

勾股定理逆定理如果三角形三邊長a,b,c有下面關系：

a2+b2=c2

那么這個三角形是直角三角形.

早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法.

關于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的.下面的證法1是歐幾里得證法.

定理在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一

邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍.

例1如圖2-21所示.已知：在正方形ABCD中，NBAC的平分線交BC于E,作EFJLAC于F,作FGJLAB于G.求

證：AB2=2FG2.

第十二講平行四邊形

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

(1)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

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數學思維的教育

例6如圖2-37所示.正方形ABCD中，在AD的延長線上取點E,F,使DE=AD,DF=BD,連接BF分別交CD,CE

于H,G.求證：△GHD是等腰三角形.

第十三講梯形

例6如圖2-48所示.等腰梯形ABCD中，AB〃CD,對角線AC,BD所成的角NA0B=60°,P,Q,R分別是OA,BC,

01）的中點,求證：APOR是等邊三角形.

第十四講中位線及其應用

中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的

計算及證明中有著廣泛的應用.

例5如圖2-59所示.梯形ABCD中,例〃CD,E為BC的中點,AD=DC+AB.求證：DEJ_AE.

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第十五講相似三角形（一）

例1如圖2-64所示，已知AB〃EF〃CD,若AB=6厘米，CD=9厘米.求EF.

111

NBAC交BC于D.求證:AD=AB+AC

例3如圖2?66所示.在aABC中，ZBAC=120°,AD平分

例5（梅內勞斯定理）一條直線與三角形ABC的三邊BC,CA,AB（或其延長線）分別交于D,E,F（如圖2-68所示）.求

BDCEAF,

證:----X-----X—=1.

DCEAFB

第十六講相似三角形（二）

例3如圖2-78所示.在aABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：4.

求證'AB+AC'BC

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第十七講*集合與簡易邏輯

1.集合的描述方法

(1)列舉法

當一人集合所含元素個數較少時，一個最笥單的描述方法就是把它所含的每個元素都列舉出來，這叫列舉法.用

列舉法表示集合，通常是將這個集合的每個元素一一填寫在｛｝中，每個元素之間用逗點隔開.填寫集合的元素時,

與元素的排列次序無關.例如：

(i)由a,b,c,d,e五個小寫字母組成的集合A,記作

A={a,b,c,d,e),

(2)特征性質描述法

當一人集合所含元素較多時，用列舉法描述很麻煩，這就要用到特征性質描述法.

所謂特征性質是指集合中元素的特征性質，即：(i)這個集合中每個元素都具有這些性質；(ii)具有這些性質的

事物都是這個集合的元素.

例如，集合=｛1,-1)用特征性質描述法表示就是

A={x|x2=l},

2.集合之間的關系和運算

(D包含與子集

設有集合A^B,若任何屬于A的元素也必定屬于B,則稱A為B

的一個子集或B包含A,我們用符號AuB或BnA表達上述關系(也

可用AqB或BqA表示).如果集合A,B分別用兩個圓表示，那

么AuB可表示成圖2-87,這種圖稱為文氏圖.例如，

圖2-87

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數學思維的教育

例1發人={1,2,3,4},試寫出A的所有子集.

(3)并集運算

對于給定的兩個集合A,B,把它們所含的元素合并起來所構成的集合，叫作集合A,B的并集，我們用符號A

UB表示A,B的并集(圖2-92).例如

圖2-92

(i)設M,N分別表示你班上男生、女生的集合，那么MUN就是你班上同學的集合.

(ii)設

A=(1,3,5,7,9},B={2,3,4,5,6),

則AUB={1,2,3,4,5,6,7,9).

注意在求上述集合A,B的并集時，雖然在A,B中都有3和5,但在AUB中，3,5只取一次.

(5)設￡={x|x是實數，且x24},

F={xx是實數，且xW-4},G={x|X2^16).

則EUF=G.

一般地說，如果a,B分別是集合A,B的特征性質，即

A={x|x具有性質a},B={x|x具有性質8},則AUB就是那些具有性質a或性質B的元素組成的集合，也

就是

AUB={x|x具有性質a或B},

例3沒人={1,a,a2),B={1,a,b),假定A,B中的元素都是整數，并且ACB={1,3},AUB={1,a,2a,

3a},求a,b的值.

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數學思維的教育

簡易邏輯

邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一門學科.數學和邏輯的關系非常密切，在此，對邏輯知識做

?些初步介紹.

1.推出關系

如果設A={x|x是4的倍數},B={x|x是2的倍數},則A中元素具有性質Q一—4的倍數；B中元素具有性質

B——2的倍數.我們知道：如果某元素x是4的倍數，那么x一定是2的倍數，即具有性質a的元素，一定具有性質B.

一般地說，如果具有性質a的元素也具有性質B,我們便說由a推

2.命題和證明

例2某校數學競賽，A,B,C,D,E,F,G,H八位同學獲得了前八名，老師叫他們猜一下誰是第一名.A說：

”或者F,或者H是第一名.”B說：“我是第一名.”C說：“G是第一名.”D說：“B不是第一名.”E說：“A

說的不對.”F說：“我不是第一名.”G說：“C不是第一名.”H說：“我同意A的意見.”老師說八個人中有

三人猜對7,那么試問第一名是誰？

第十八講歸納與發現

歸納的方法是認識事物內在聯系和規律性的一種重要思考方法，也是數學中發現命題與發現解題思路的一種重

要手段.這里的歸納指的是常用的經驗歸納，也就是在求解數學問題時，首先從筒單的特殊情況的觀察入手，取得

一些局部的經驗結果，然后以這些經驗作基礎，分析概括這些經驗的共同特征，從而發現解題的一般途徑或新的命

題的思考方法.下面舉幾個例題，以見一般.

例1如圖2?99,有一個六邊形點陣，它的中心是一個點，算作第一層；第二層每邊有兩個點（相鄰兩邊公用一

個點）；第三層每邊有三個點，…這個六邊形點陣共有n層，試問第n層有多少個點？這個點陣共有多少個點？

圖2-99

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數學思維的教育

例2在平面上有過同一點P,并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無

其他公共點，那么試問：

圖2TOO

(1)這n個圓把平面劃分成多少個平面區域?

(2)這n個圓共有多少個交點?

第二十二講面積問題與面積方法

幾何學的產生，源于人們測量土地面積的需要.面積不僅是幾何學研究的一個重要內容，而且也是用來研究幾

何學的一個有力工具.

下面，我們把常用的一些面積公式和定理列舉如下.

(1)三角形的面積

(D三角形的面積公式

S=g嘰=Jp(p_a)(p_b)(F-c)-pr,

其中a,b,c是△ABC的三邊長，\是邊a上的高，P=f(a+

b+c)是半周長，r是aABC的內切圓半徑.

(ii)等底等高的兩個三角形面積相等.

(iii)兩個等底三角形的面積之比等于高之比；兩個等高三角形的面積之比等于底邊之比；兩個三角形面積之比

等于底、高乘積之比.

(iv)相似三角形的面積之比等于相似比的平方.

(2)梯形的面積

梯形的面積等于上、下底之和與高的乘積的一半.

17

數學思維的教育

（3）扇形面積

e

260^

其中r為半徑，1為弧長，0為弧1所對的圓心角的度數，a是弧度數.

1.有關圖形面積的計算和證明

例2已知凸四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,且△ABC,AACD,AABD的面積分別為Si=5,S2=10,S3=6.求

△ABO的面積（圖2-128）.

例5在一個面積為1的正方形中構造一個如圖2-131所示的正方形：將單位正方形的每一條邊n等分，然后將

每個頂點和它相對的頂點最接近的分點連接起來.如果小正方形（圖中陰影部分）的面積恰為擊’我的值.

2.利用面積解題

例8如圖2?134,已知D,E,F分別是銳角三角形ABC的三邊BC,CA,AB上的點，且AD,BE,CF相交于

點P,AP=BP=CP=6,設PD=x,PE=y,PF=z,若xy+yz+zx=28,求xyz的值.

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數學思維的教育

第二十三講幾何不等式

定理1在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊.

定理2同一個三角形中，大邊對大角，小邊對小角，反之亦然.

定理3在兩邊對應相等的兩個三角形中，第三邊大的，所對的角也大，反之亦然.

定理4三角形內任一點到兩頂點距離之和，小于另一頂點到這兩頂點距離之和.

定理5自直線1外一點P引直線1的斜線，射影較長的斜線也較長，反之，斜線長的射影也較長.

定理6在△ABC中，點P是邊BC上任意一點，則有

PA這max{AB,AC},

例2已知P是△ABC內任意一點(圖2-138).

(1)求證：

g(a+b+c)<PA+PB+PC

Va+b+c；

(2)若aABC為正三角形，且邊長為1,求證：

PA+PB+PCV2.

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第二十四講話整數的整除性

1.整除的基本概念與性質

所謂整除，就是一個整數被另一個整數除盡，其數學定義如下.

定義設a,b是整數，bKO.如果有一個整數q,使得a=bq,那么稱a能被b整除，或稱b整除a,并記作bI

a.如果不存在這樣的整數q,使得a=bq,則稱a不能被b整除，或稱b不整除a,記作bXa.

關于整數的整除，有如下一些基本性質：

性質1若bIa,cIb,則cIa.

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數學思維的教育

性質2若cIa,cIb,則cI(a±b).

性質3若cIa,cXb,則cX(a土b