解三角形-山東各地市2025屆高三數學一模模擬試題匯編14.（2025·山東青島·一模）已知的內角對邊分別為，邊上的高為h，，則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】首先根據余弦定理，并結合三角形面積公式求出與的關系；通過幾何圖形作輔助線，構造可得，求出的范圍，進而根據二倍角公式，求得的取值范圍.【詳解】在中，，，即；又，，即，又；故，如圖，在中，過作的垂線，且使，則，，即，可得，，即，，,設，，在區間單調遞減，，即,，當且僅當時，即三點共線時等號成立.驗證：如下圖中，若時，滿足，此時，，故存在這樣的，使得成立.因此的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解決此題關鍵有二，一是通過已知條件結合面積公式與余弦定理得到等量關系；二是構造幾何圖形求解的范圍，進而利用二倍角公式求解的范圍.13.（2025·山東淄博·一模）在中，內角所對的邊分別為，且角為銳角，，則的值為______．【答案】【解析】【分析】先根據二倍角公式求出的值，進而求出的值，再利用正弦定理求出的值，判斷的范圍并求出的值，最后根據三角函數的兩角和公式求出的值.【詳解】已知，根據二倍角公式，則有.因為為銳角，即，等式兩邊同時除以可得：.已知，將其代入可得：，解得.因為為銳角，根據，可得.由正弦定理，已知，，，則.因為，根據大邊對大角可知，又因為為銳角，所以也為銳角.根據，可得.因為，所以，則.故答案為：10.（2025·山東濟寧·一模）在中，內角的對邊分別為，且，則下列結論正確的是（）A. B.外接圓的面積為C.面積的最大值為 D.周長的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A：利用余弦定理邊角轉化即可；對于B：利用正弦定理求三角形外接圓半徑，即可得結果；對于CD：根據選項A中結論，結合基本不等式運算求解.【詳解】對于選項A：因為，由余弦定理可得，整理可得，則，且，所以，故A錯誤；對于選項B：由正弦定理可得外接圓的半徑，所以外接圓的面積為，故B正確；對于選項C：由可得，且，即，解得，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為，故C正確；對于選項D：由可得，即，且，即，解得，即，當且僅當時，等號成立，所以周長的最大值為，故D正確；故選：BCD.3.（2025·山東菏澤·一模）已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理將轉化為，再由正弦和差角公式求出及，再由求解即可.【詳解】因為，所以由正弦定理可得：，所以，即，又因為，，所以，故，解得，又因為，所以，所以，所以.故選：D.13.（2025·山東聊城·一模）在中，已知，，，則的面積為______________.【答案】##【解析】【分析】數形結合，將分為兩角，再運用余弦定理和三角形面積公式計算即得.【詳解】因，故，如圖，過點作射線交線段于點，使，則，則，在中利用余弦定理得，，解得，在中利用余弦定理得，，則，則.故答案為：.5.（2025·山東煙臺·一模）在中，，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先得出向量線性關系，結合向量數量積公式計算求解模長即可.【詳解】在中，，所以，則.故選：C.16.（2025·山師附中·一模）在銳角中，角的對邊分別為，已知（1）求角；（2）若，求面積的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用正弦定理邊角互化，結合三角恒等計算；（2）運用正弦定理，結合三角函數計算值域即可.【小問1詳解】由正弦定理得：，即，，，，又；【小問2詳解】由正弦定理得：,,，在銳角中：，解得：，，,，則.15.（2025·山東威?！ひ荒＃┰谥?，角所對的邊分別為，已知.（1）求；（2）已知是邊上的點，，求的最小值.【答案】（1）（2）最小值為9【解析】【1】因為，所以，即，可得，因為，所以.【2】由可得，即，可得，所以，當且僅當時等號成立，所以的最小值為9.15.（2025·山東泰安·一模）在中，內角所對的邊分別為.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意及正弦定理可得，根據兩角和的正弦可得，根據誘導公式和內角和定理計算即可；（2）由（1）的結論結合余弦定理列方程組求解即可；【小問1詳解】由題意得即，.，，，，；【小問2詳解】由（1）可得，，，又，，由得或，。15.（2025·山東日照·一模）在中，角的對邊分別為，且．（1）求角；（2）若為邊上一點，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，利用正弦定理和倍角公式化簡，結合同角三角函數的商數關系或輔助角公式，求得或，可求角；（2）由已知可得為等邊三角形，則，中由余弦定理求得的值．【小問1詳解】依題意，，由正弦定理可得，因為，所以，所以，法一：即，因為，所以，所以，所以：，所以，即．法二：即，所以，即，因為，所以，所以，即．【小問2詳解】因為，又因為，所以為等邊三角形，則，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），故．15.（2025·山東臨沂·一模）已知分別為三個內角的對邊，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式可得，由此即可得解；（2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解.【小問1詳解】由正弦定理邊化角可得，即，所以，因為，所以，又，解得；【小問2詳解】若，則，這里是三角形外接圓的半徑，解得，由余弦定理可得.16.（2025·山東濰坊·一模）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，．（1）求；（2）若面積為，是上的點，且，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得出，利用余弦定理結合可得出，再利用余弦定理可求得的值；（2）利用三角形的面積公式結合（1）中的結論可求出、、的值，求出的值，利用正弦定理可求出的長.【小問1詳解】因為，所以，，即，因為，則，即，故，由余弦定理可得.【小問2詳解】因為，則，