專題51平行與垂直

考點聚焦

重點速記

一、垂直。

1、垂線的定義：

兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直．其中一條直

線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．

直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），讀作“AB垂直于CD”

（或“CD垂直于AB”）．

2、垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．

性質(zhì)2：連結(jié)直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡稱：垂線段最短．

3、垂直的判定：垂線的定義．

4、平行線的概念：

在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．平行用符號“∥，如“AB∥CD”，讀作

“AB平行于CD”．

5、平行線的判定方法：

（1）平行于同一條直線的兩直線平行．

（2）垂直于同一條直線的兩直線平行．

第1頁共14頁

（3）平行線的定義．

二、平行。

1、定義：在同一平面內(nèi)，永遠(yuǎn)不相交的兩條直線稱為平行線。

2、平行線間的距離：從一條平行線上的任意一點到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩

條平行線之間的距離。

3、定理：平行線間的距離處處相等。

4、平行公理：過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。

這個需要我們和垂直公理進(jìn)行辨析。

5、平行公理推論：平行于同一條直線的兩直線平行。

這個可以用來判定兩條直線平行。

三、相交與垂直。

兩條直線相交成直角時，這兩條直線互相垂直。（互相垂直：就是直線OA垂直于直線OB，

直線OB垂直于直線OA）這兩條直線的交點叫做垂足。（兩條直線互相垂直說明了這兩條

直線的位置關(guān)系：必須相交，相交還要成直角。）

①在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。垂直一定會出現(xiàn)90°。

②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線段最短。

③點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

真題專練

一．選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）

1．（2分）（2023?大東區(qū)）如圖中，直線c和直線d的位置關(guān)系是()

A．平行B．相交

C．垂直D．不平行也不相交

2．（2分）（2023?江門）小明在兩條平行線之間作了5條與平行線垂直的線段（每條線段

的端點都在平行線上），這5條垂直線段的關(guān)系是()

A．平行不相等B．相等不平行

C．平行且相等D．不平行也不相等

第2頁共14頁

3．（2分）（2020?濱州）把一張長方形的紙對折再對折，打開后兩條折痕()

A．互相平行B．互相垂直

C．可能互相平行，也可能互相垂直D．可能既不互相平行，也不互相垂直

4．（2分）（2021?江門）下面圖形中，只有一組平行線的圖形是()

A．B．C．D．

5．（2分）（2023?濰坊）下列說法正確的是()

1

A．兩條永遠(yuǎn)不相交的直線叫平行線。B．a(chǎn)是自然數(shù)，它的倒數(shù)是。

a

C．圓柱體積是圓錐的3倍。D．同時同地，物高和影長成正比例。

6．（2分）（2023?莆田）體育運動中蘊(yùn)含著許多數(shù)學(xué)知識。小方收集相關(guān)資料得出以下說

法，其中不正確的是()

A．測立定跳遠(yuǎn)成績，應(yīng)用了垂直的特征

B．拋硬幣確定誰先開球，應(yīng)用了可能性的知識

C．比賽中的比分，應(yīng)用了“兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除”的知識

D．400米跑各跑道的起跑線都不在同一條直線上，應(yīng)用了圓周長與直徑的關(guān)系

二．填空題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

7．（2分）在下面的正方形中，有組線段互相平行，正方形對角線相交所成的角度為。

8．（2分）（2022?大余縣）在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有和。

9．（2分）（2021?寧縣）圖中與線段OB垂直的線段是；與線段OA垂直的線段是。

10．（2分）（2020?青島）下圖中有組直線互相平行。

第3頁共14頁

三．判斷題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11．（2分）（2023?宣城）在同一平面內(nèi)，兩條直線如果不相交就一定平行。

12．（2分）（2023?臺兒莊區(qū)）如圖，直線a是直線b的垂線。

13．（2分）（2023?淅川縣）兩條平行線中的其中一條直線繞一個點順時針旋轉(zhuǎn)90度后和

另一條直線垂直．

14．（2分）（2021?沾益區(qū)）在同一平面內(nèi)，兩條直線相交組成的4個角中如果有一個角是

直角，那么其它3個角也一定是直角。

15．（2分）（2023?成武縣）把一張長方形紙片對折兩次后，折痕一定互相垂直．．

16．兩條直線相交組成的四個角中如果有一個角是直角，那么其它三個角也是直角．．

17．（2分）（2022?嘉魚縣）兩條平行線長都是4厘米．

18．（2分）兩條直線相交，其中一個角是90°，其余三個角一定是直角。

19．（2分）（2023?威信縣）小明將一張紙平放在桌面上，分別畫了3條直線a、b、c。已

知a^b，c//b，那么a//c。

20．（2分）兩條直線相交的四個角中，如果有一個直角，那么其它三個角也是直角．．

四．操作題（共6小題，滿分36分，每小題6分）

21．（6分）（2023?龍崗區(qū)）過點A，畫直線m的垂線和平行線。

22．（6分）（2023?長春）某地即將舉辦馬拉松比賽，比賽所需的補(bǔ)給物品放在了正方形M

區(qū)域內(nèi)，要將補(bǔ)給物品配送到P點，請你在AC邊上確定一個出口N，使得配送的路線最短；

第4頁共14頁

再在P點建一條與AC邊平行的通道，便于補(bǔ)給物品的有序發(fā)放。請在圖中畫一畫。

23．（6分）（2023?武陵區(qū)）請過點a畫出與射線b平行的直線c和與射線b垂直的直線d。

24．（6分）（2023?廉江市）過A點畫出直線L的一條平行線和一條垂線。

25．（6分）（2023?石家莊）過P點分別作OA的垂線和OB的平行線。

?

26．（6分）（2022?沙河口區(qū)）按要求畫圖。

（1）作直線AB的平行線，使平行線間的距離是2厘米。

（2）再畫出以AB為底，高2厘米的直角三角形和鈍角三角形。

五．解答題（共4小題，滿分24分，每小題6分）

27．（6分）（2023?沈丘縣）量出D1的度數(shù)：D1=。過點P分別作射線OM的垂線和ON

的平行線。

第5頁共14頁

28．（6分）（2021?江門）四個小朋友做“搶椅子”的游戲，他們的位置如圖。誰最有可能

先坐在椅子上？你能說出理由嗎？

答：最有可能先坐在椅子上。

理由是：。

29．（6分）（2020?礦區(qū)）如果兩條平行線被一條直線所截（如圖），會產(chǎn)生很多個有聯(lián)系

的角。

（1）請用量角器測量D1、D2，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（2）根據(jù)上面得到的結(jié)論，觀察D3、D5，通過推理說明D3和D5的關(guān)系。

30．（6分）（2020?沈陽）操作與計算

（1）如圖，O是直線上的一點，請過點O畫出已知直線的垂線．

（2）以點O為圓心畫一個直徑為4厘米的圓．

（3）在圓上畫一個最大的正方形．（剩下的用陰影表示）

（4）計算這個陰影部分的面積．

第6頁共14頁

專題51平行與垂直

參考答案

一．選擇題（共6小題，滿分12分，每小題2分）

1．【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有平行或相交兩種進(jìn)行判斷。

【解答】解：如圖中，直線c和直線d的位置關(guān)系是相交。故選：B。

【點評】本題主要考查了同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系，注意垂直是相交的一種特殊情

況，不能單獨作為一類。

2．【分析】根據(jù)“在兩條平行線之間的線段中，垂直兩條平行線的線段最短，這條線段的長

叫做平行線之間的距離”可知：這5條線段都相等；進(jìn)而根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一直線

的兩條直線互相平行；可以得出這5條線段平行；據(jù)此選擇即可。

【解答】解：小明在兩條平行線之間作了5條與平行線垂直的線段（每條線段的端點都在平

行線上），這5條垂直線段的關(guān)系是平行且相等。故選：C。

【點評】此題考查了垂直和平行的特征和性質(zhì)，注意基礎(chǔ)知識的靈活運用。

3．【分析】把一張長方形的紙對折兩次，兩次折痕的位置關(guān)系，取決于對折的方向，一種情

況是沿一條邊的同一個方向?qū)φ蹆纱危瑑蓷l折痕是互相平行的；另一種情況是沿兩條邊的兩

個方向?qū)φ?，兩條折痕是互相垂直的；由此得出結(jié)論。

【解答】解：把一張長方形的紙對折再對折，打開后兩條折痕可能互相平行，也可能互相垂

直。故選：C。

【點評】解答此題的關(guān)鍵在于要從不同的折疊方向考慮，具體操作一下會更簡捷。

4．【分析】根據(jù)梯形的定義：只有一組對邊平行的四邊形是梯形，而平行四邊形、菱形有兩

組平行線，正六邊形有3組平行線；據(jù)此解答。

【解答】解：正六邊形有3組平行線；正五邊形沒有平行線；菱形有兩組平行線；梯形有一

組平行線。故選：D。

【點評】本題考查了梯形的特征。

5．【分析】同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；自然數(shù)0沒有倒數(shù)；等底等高的圓

柱形的體積是圓錐形體積的3倍；同時同地，物體的高度和影子長成正比例。

【解答】解：根據(jù)分析可知，同時同地，物高和影長成正比例，說法正確。故選：D。

【點評】本題考查了平行線的意義、倒數(shù)的意義、圓柱與圓錐的關(guān)系及正反比例的判斷方法。

6．【分析】根據(jù)垂直的特征、可能性以及圓周長與直徑的關(guān)系、比的意義等知識，結(jié)合題意

分析解答即可。注意比賽中的比分，表示比分，不是相除關(guān)系，不是比。

【解答】解：A．測立定跳遠(yuǎn)成績，應(yīng)用了垂直的特征，所以本選項說法正確；

第7頁共14頁

B．拋硬幣確定誰先開球，應(yīng)用了可能性的知識，所以本選項說法正確；

C．比賽中的比分，表示比分，不是相除關(guān)系，不是比，所以本選項說法錯誤；

D．400米跑各跑道的起跑線都不在同一條直線上，應(yīng)用了圓周長與直徑的關(guān)系，所以本選

項說法正確。故選：C。

【點評】本題考查了垂直的特征、可能性以及圓周長與直徑的關(guān)系、比的意義等知識，結(jié)合

題意分析解答即可。

二．填空題（共4小題，滿分8分，每小題2分）

7．【分析】根據(jù)垂直和平行的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)相交成直角的兩條直線叫做互相垂直，不

相交的兩條直線叫做平行線；據(jù)此解答即可。

【解答】解：圖中正方形中，有2組線段互相平行，正方形對角線相交所成的角

度為90°。故答案為：2，90°。

【點評】此題考查了垂直和平行的特征和性質(zhì)，根據(jù)意義判斷即可.。

8．【分析】在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有平行或相交兩種，垂直是相交的一種特殊情

況。

【解答】解：在同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有平行或相交兩種情況。

故答案為：平行，相交。

【點評】本題主要考查了同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系，注意垂直是相交的一種特殊情

況，不能單獨作為一類。

9．【分析】根據(jù)垂直的意義結(jié)合圖示完成填空。

【解答】解：圖中與線段OB垂直的線段是OD；與線段OA垂直的線段是OC。

故答案為：OD，OC。

【點評】本題主要考查垂直的應(yīng)用。

10．【分析】在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，據(jù)此判斷。

【解答】解：圖中有1和2平行，5和6平行，所以有2組直線互相平行。故答案為：2。

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，結(jié)合題意分析解答即可。

三．判斷題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11．【分析】根據(jù)平行線的定義判斷：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

【解答】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線如果不相交就一定平行。原題說法正確。

第8頁共14頁

故答案為：?。

【點評】解答此題抓住在同一平面內(nèi)理解兩條直線的位置：平行或相交。

12．【分析】根據(jù)垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交成90度時，這兩條直線就互相垂直，這兩條

直線的交點即垂足，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，據(jù)此解答即可。

【解答】解：由圖可知，a^b，所以直線a是直線b的垂線。即原題說法正確。

故答案為：?。

【點評】解答本題需明確：兩條直線垂直是互相的，所以不能獨立地說哪條直線是垂線。

13．【分析】一條直線繞某點旋轉(zhuǎn)90度，這樣兩條直線就相交成90度，它們互相垂直，由

此求解．

【解答】解：如圖：直線a繞O點順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到直線b，這兩條直線相交成直角，

它們互相垂直，所以本題說法正確；

故答案為：?．

【點評】解決本題關(guān)鍵是明確垂直的概念，畫出圖比較容易解決．

14．【分析】兩條直線相交，有兩種情況，垂直或不垂直，如果其中一個角是90°，那么其它

各個角都是90°，這兩條直線就相互垂直。

【解答】解：在同一平面內(nèi)，兩條直線相交組成的4個角中如果有一個角是直角，那么其它3

個角也一定是直角，說法正確。故答案為：?。

【點評】此題考查了垂直的含義，注意對一些基礎(chǔ)概念和性質(zhì)的理解。

15．【分析】把一張長方形的紙對折兩次，兩次折痕的位置關(guān)系，取決于對折的方向，一種

情況是沿一條邊的同一個方向?qū)φ蹆纱?，三條折痕是互相平行的；另一種情況是沿兩條邊的

兩個相反方向?qū)φ郏瑑蓷l折痕是互相垂直的；由此得出結(jié)論．

【解答】解：由分析可知：把一張長方形的紙對折兩次后，

折痕的關(guān)系是可能互相平行，也可能互相垂直；故答案為：′．

【點評】解答此題的關(guān)鍵在于要從不同的折疊方向考慮，具體操作一下會更簡捷．

16．【分析】兩條直線相交，有兩種情況，垂直或不垂直，如果其中一個角是90°，那么其它

第9頁共14頁

各個角都是90°，這兩條直線就相互垂直．

【解答】解：由垂直的含義可知：兩條直線相交組成的四個角中如果有一個角是直角，那么

其它三個角也是直角，所以原題說法正確；故答案為：正確．

【點評】此題考查了垂直的含義，注意對一些基礎(chǔ)概念和性質(zhì)的理解．

17．【分析】根據(jù)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線；由此可知：

兩條平行線都是直線，無限長；據(jù)此判斷．

【解答】解：兩條平行線都是4厘米，說法錯誤，因為平行線都是直線，無限長；

故答案為：′．

【點評】明確平行線的含義和直線的含義，是解答此題的關(guān)鍵．

18．【分析】因兩條直線相交，如果有一個角是直角，我們就說這兩條直線互相垂直，形成

的四個角都是直角，據(jù)此解答。

【解答】解：如圖：

兩條線相交，其中一個角是90°，其余三個角一定是90°，說法正確。故答案為：?。

【點評】本題主要考查了學(xué)生對互相垂直的兩條直線，形成的角和度數(shù)是多少知識的掌握情

況。

19．【分析】通過兩條直線的垂直關(guān)系，可以得出結(jié)論：當(dāng)直線a和直線b互相垂直，而直線

b和直線c互相平行時，直線a和直線c必然也是相互垂直的。據(jù)此解答。

【解答】解：根據(jù)分析得，已知a^b，若c//b，則a^c。故原題說法錯誤。故答案為：′。

【點評】本題主要考查平行和垂直的特性，屬于基礎(chǔ)知識，要熟練掌握。

20．【分析】兩條直線相交，有兩種情況，垂直或不垂直，如果其中一個角是90°，那么其它

各個角都是90°，這兩條直線就相互垂直．

【解答】解：由垂直的含義可知：兩條直線相交組成的四個角中如果有一個角是直角，那么

其它三個角也是直角，所以原題說法正確；故答案為：?．

【點評】此題考查了垂直的含義，注意對一些基礎(chǔ)概念和性質(zhì)的理解．

四．操作題（共6小題，滿分36分，每小題6分）

21．【分析】用三角板的一條直角邊與已知直線重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板

的另一條直角邊和A點重合，過A點沿直角邊向已知直線畫垂線即可；把三角板的一條直角

邊與已知直線重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動三角板，使三角板的原

第10頁共14頁

來和已知直線重合的直角邊和A點重合，過A點沿三角板的直角邊畫平行線即可。

【解答】解：作圖如下：

【點評】本題考查了學(xué)生利用直尺和三角板作垂線和作平行線的能力，結(jié)合題意分析解答即

可。

22．【分析】因為直線外一點與這條直線所有點的連線中，垂線段最短，所以，只要作出P

點到AC的垂線段即可；

用三角板的一條直角邊和AC重合，移動三角板使另一條直角邊和P點重合，用直尺靠緊和P

點重合的直角邊，按住直尺不動，沿直尺移動三角板，過P點畫直線即可。

【解答】解：作圖如下：

【點評】本題考查了垂線和平行線的畫法，結(jié)合題意分析解答即可。

23．【分析】用三角板的一條直角邊和已知射線b，移動三角板使另一條直角邊和a點重合，

用直尺靠緊和a點重合的直角邊，按住直尺不動，沿直尺移動三角板，過a點畫直線即可；

用三角板的一條直角邊的已知射線b重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板的另一條直

角邊和a點重合，過a沿直角邊向已知直線畫直線即可。

【解答】解：作圖如下：

【點評】本題考查了作已知直線的平行線和垂線的畫法，結(jié)合題意分析解答即可。

24．【分析】把三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，

沿直尺移動三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和A點重合，過A點沿三角板

的直角邊畫直線即可；把三角板的一條直角邊與已知直線重合，沿直線移動三角板，使三角

板的另一條直角邊和A點重合，過A點沿三角板的直角邊，向已知直線畫直線即可。

第11頁共14頁

【解答】解：作圖如下：

【點評】本題考查了學(xué)生過已知直線外一點畫已知直線的平行線和垂線的能力，結(jié)合題意分

析解答即可。

25．【分析】用三角板的一條直角邊與已知直線OA重合，沿重合的直線平移三角板，使三角

板的另一條直角邊和P點重合，過P沿直角邊向已知直線畫直線即可。

把三角板的一條直角邊與已知直線OB重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動

三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和P點重合，過P點沿三角板的直角邊畫

直線即可。

【解答】解：過點P畫出OA的垂線、OB的平行線如下：

【點評】本題考查了學(xué)生利用直尺和三角板作垂線和作平行線的能力，結(jié)合題意分析解答即

可。

26．【分析】（1）先作出直線AB的垂線，在直線的垂線上截取與直線AB的距離是2厘米的

一點，過該點作出直線AB的平行線。

（2）根據(jù)它們的定義：有一個角是直角的三角形，叫做直角三角形；有一個角是鈍角的三角

形，是鈍角三角形，進(jìn)而畫出即可。

【解答】解：根據(jù)要求，作圖如下：（答案不唯一）

【點評】此題考查了平行線的畫法及三角形按角分類的方法，根據(jù)題意畫圖解答即可。

五．解答題（共4小題，滿分24分，每小題6分）

27．【分析】用量角器量角即可，量角要注意：量角器的中心和角的頂點對齊，角的一邊與

量角器的0刻度線重合。

用三角板的一條直角邊的已知直線OM重合，沿重合的直線平移三角板，使三角板的另一條

第12頁共14頁

直角邊和P點重合，過P沿直角邊向已知直線畫直線即可畫出OM的垂線；

把三角板的一條直角邊分別與已知直線ON重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺

移動三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和