高考試題分類解析PAGE考點16正弦定理和余弦定理選擇題1.(2017·全國乙卷文科·T11)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=QUOTE2,則C=()A.QUOTEπ12 B.QUOTEπ6 C.QUOTEπ4 D.QUOTEπ3【命題意圖】本題主要考查三角公式的應(yīng)用,重點考查正弦定理在解決三角形問題中的應(yīng)用.【解析】選B.由題意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA)=QUOTE2sinCsinQUOTEA+π4=0,所以A=QUOTE3π4.由正弦定理QUOTEasinA=QUOTEcsinC得=QUOTE2sinC,即sinC=QUOTE12,得C=QUOTEπ6,故選B.【反思總結(jié)】在解有關(guān)三角形的題目時,要有意識地考慮用哪個定理更合適,或是兩個定理都要用,要抓住能夠利用某個定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時,要考慮用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時,則考慮用正弦定理;以上特征都不明顯時,則要考慮兩個定理都有可能用到.2.(2017·山東高考理科·T9)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若△ABC為銳角三角形,且滿足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A【命題意圖】本題考查三角恒等變換及正弦定理的應(yīng)用,意在考查考生對數(shù)學(xué)式子的變形能力與運算推理能力.【解析】選sinAcosC=2sinBcosC,由于△ABC為銳角三角形,所以cosC≠0,sinA=2sinB,由正弦定理可得a=2b.二、填空題3.(2017·全國丙卷·文科·T15)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=.【命題意圖】本題考查正弦定理,考查學(xué)生運算求解的能力.【解析】由題意:=,即sinB===,結(jié)合b<c可得B=45°,則A=180°-B-C=75°.答案:75°4.(2017·全國甲卷文·T16)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,則B=.【命題意圖】正弦定理和三角恒等變換,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化和化歸能力及運算求解能力.【解析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,所以cosB=,又因為0<B<π,所以B=.答案:【方法技巧】有關(guān)解三角形的問題(1)此題型為高考高頻考點,命題大多放在解答題的第一題,主要利用三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題.(2)解題時要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”.三、解答題5.(2017·北京高考理科·T15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值.(2)若a=7,求△ABC的面積.【命題意圖】本題主要考查解三角形的內(nèi)容,意在培養(yǎng)學(xué)生的計算能力與分析圖形的能力.【解析】(1)根據(jù)正弦定理=,所以sinC==×sin60°=×QUOTE32=QUOTE3314.(2)當a=7時,c=QUOTE37a=3,因為sinC=,c<a,所以cosC=QUOTE1-sin2C=,在△ABC中,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinA×cosC+cosA×sinC=×+QUOTE12×=,所以S△ABC=ac×sinB=QUOTE12×7×3×=6.【答題模版】1.看到邊角混合等式,想到利用正弦、余弦定理將“邊、角相混合”的等式轉(zhuǎn)化為“邊和角的單一”形式.2.看到邊a,b,c的平方關(guān)系想到余弦定理的變形形式.6.(2017·全國丙卷·理科·T174)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+QUOTE3cosA=0,a=2QUOTE7,b=2.(1)求c.(2)設(shè)D為BC邊上一點,且AD⊥AC,求△ABD的面積.【命題意圖】本題主要考查正弦定理和余弦定理,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.【解析】(1)因為sinA+QUOTE3cosA=0,所以sinA=-QUOTE3cosA,所以tanA=-QUOTE3.因為A∈(0,π),所以A=QUOTE2π3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,代入a=2QUOTE7,b=2得c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去)或c=4,所以c=4.(2)由(1)知c=4.因為c2=a2+b2-2abcosC,所以16=28+4-2×2×2×cosC,所以cosC=QUOTE277,所以sinC=QUOTE217,所以tanC=QUOTE32.在Rt△CAD中,tanC=QUOTEADAC,所以QUOTE32=QUOTEAD2,即AD=QUOTE3.則S△ADC=QUOTE12×2×QUOTE3=QUOTE3,由(1)知S△ABC=QUOTE12·bc·sinA=QUOTE12×2×4×QUOTE32=2QUOTE3,所以S△ABD=S△ABC-S△ADC=2QUOTE3-QUOTE3=QUOTE3.7.(2017·全國甲卷理科·T17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB.(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b.【命題意圖】考查三角恒等變換、三角形面積公式以及余弦定理,意在考查學(xué)生的化歸思想方法和求解運算能力.【解析】(1)由題設(shè)及A+B+C=π得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB),上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=QUOTE1517,(2)由cosB=QUOTE1517得sinB=,故S△ABC=QUOTE12acsinB=QUOTE417ac,又S△ABC=2,則ac=,由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2××=4,所以b=2.【方法技巧】有關(guān)解三角形的問題(1)此題型為高考高頻考點,命題大多放在解答題的第一題,主要利用三角形的內(nèi)角和定理,正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題.(2)解題時要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”,另外要注意a+c,ac,a2+c2三者的關(guān)系.8..(1)求sinBsinC.(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)及其變換,正弦定理,余弦定理等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用.【解析】(1)因為△ABC面積S=QUOTEa23sinA且S=bcsinA,所以QUOTEa23sinA=QUOTE12bcsinA,所以a2=bcsin2A,由正弦定理得sin2A=sinBsinCsin2A,由sinA≠0得sinBsinC=.(2)由(1)得sinBsinC=QUOTE23,又cosBcosC=,因為A+B+C=π,所以cosA=cosQUOTEπ-B-C=-cosQUOTEB+C=sinBsinC-cosBcosC=,又因為A∈QUOTE0,π,所以A=QUOTEπ3,sinA=,cosA=,由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9①,由正弦定理得b=QUOTEasinA·sinB,c=QUOTEasinA·sinC,所以bc=QUOTEa2sin2A·sinBsinC=8②由①②得b+c=QUOTE33,所以a+b+c=3+QUOTE33,即△ABC的周長為3+QUOTE33.【反思總結(jié)】在處理解三角形問題時,要注意抓住題目所給的條件,當題設(shè)中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角,求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角,再有另外一個條件,求面積或周長的值”,這類問題通法思路是:全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系,建立函數(shù)關(guān)系式,如y=Asin(ωx+φ)+b,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍;求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.9.(2017·天津高考理科·T15)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=QUOTE35.(1)求b和sinA的值.(2)求sinQUOTE2A+π4的值.【命題意圖】本題考查正、余弦定理的應(yīng)用及三角恒等變換.考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.【解析】(1)△ABC中,a>b,sinB=QUOTE35,所以cosB=QUOTE45,由余弦定理得,b2=a2+c2-2accosB=13,所以,b=QUOTE13,由正弦定理得,sinA=QUOTEasinBb=QUOTE31313.(2)由(1)知sinA=QUOTE31313,又a<c,cosA=QUOTE21313,sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1-2sin2A=-,所以,sinQUOTE2A+π4=sin2AcosQUOTEπ4+cos2AsinQUOTEπ4=QUOTE7226.【誤區(qū)警示】在上述解題過程中,若忽略了大邊對大角這一性質(zhì),就會出現(xiàn)角A、角B的余弦值為負值的情況,從而導(dǎo)致錯誤的結(jié)果.10.(2017·天津高考理科·T15)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值.(2)求sin(2B-A)的值.【命題意圖】本題考查正、余弦定理的應(yīng)用及三角恒等變換.考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力.【解析】(1)由asinA=4bsinB,及QUOTEasinA=QUOTEbsinB,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=QUOTEb2+c2-a22bc=QUOTE-55acac=-QUOTE55.(2)由(1)可得sinA=QUOTE255,代入asinA=4bsinB,得sinB=QUOTEasinA4b=.由(1)知,A為鈍角,所以cosB=QUOTE1-sin2B=QUOTE255,于是sin2B=2sinBcosB=QUOTE45,cos2B=1-2sin2B=QUOTE35,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=QUOTE45×QUOTE-55-QUOTE35×QUOTE255=-QUOTE255.11.(2017·山東高考文科·T17)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a.【命題意圖】本題考查向量的數(shù)量積公式、三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用,意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力和運算求解能力.【解析】因為·=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=,又b=3,所以c=2,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×2×=29,所以a=.12.(2017·浙江高考·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△BDC的面積是,cos∠BDC=.【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)和正