2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷九年級(jí)數(shù)學(xué)考生須知：1．本試題卷共6頁(yè)，有三個(gè)大題，24個(gè)小題．全卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．2．答案必須寫在答題紙相應(yīng)的位置上，寫在本試題卷、草稿紙上均無(wú)效．3．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的“注意事項(xiàng)”，按規(guī)定答題．本次考試不能使用計(jì)算器．參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．試卷Ⅰ（選擇題，共30分）一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分．請(qǐng)選出每小題中一個(gè)最符合題意的選項(xiàng)，不選、多選、錯(cuò)選，均不給分）1.下列選項(xiàng)中的運(yùn)動(dòng)，屬于旋轉(zhuǎn)變換的是（）A.升國(guó)旗的過(guò)程 B.摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)C.汽車剎車時(shí)的滑動(dòng) D.電梯的運(yùn)行2.已知，則等于（）A. B. C. D.3.在一個(gè)不透明的口袋中有除顏色外完全相同的個(gè)黃球，個(gè)紅球，則任意摸出一球是紅球的概率是（）A. B. C. D.4.已知點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，且點(diǎn)P到圓心O的距離為5，則⊙O的半徑可能為（）A.3 B.4 C.5 D.65.在平面直角坐標(biāo)系中，平移拋物線得到，則平移方式可以是（）A.向左平移3個(gè)單位 B.向右平移3個(gè)單位C.向上平移3個(gè)單位 D.向下平移3個(gè)單位6.如圖，是的直徑，是的中點(diǎn)，連接，，若，則（）A. B. C. D.7.如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，若，則與的面積比為（）A. B. C. D.2：18.如圖，將直角三角板繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到，點(diǎn)在斜邊上，若，，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度及邊掃過(guò)的面積分別是（）A.， B.， C.， D.，9.已知拋物線，在該拋物線上到軸的距離等于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)10.等腰，，，，則（）A.3 B. C. D.4試卷Ⅱ（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題有6小題，每小題3分，共18分）11.拋物線的對(duì)稱軸是_____．12.已知線段是線段、的比例中項(xiàng)，且，，那么________．13.如圖，已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，則______．14.如圖①是小聰幫媽媽做一個(gè)鍋蓋架，圖②是它的截面圖，垂直放置的鍋蓋與架子左右兩豎桿的交點(diǎn)為，，鍋蓋直徑為，則鍋蓋最低點(diǎn)到的距離是______cm．15.如圖（1），已知扇形，作如下操作：步驟1：以，為圓心，大于的一半為半徑作兩條相等半徑圓弧，連接兩條圓弧交點(diǎn)并延長(zhǎng)成直線，記為直線；步驟2．直線與交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交直線于點(diǎn)；步驟3：連接，以為圓心，為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，（如圖②）經(jīng)過(guò)以上操作，得到扇形，若扇形面積為，則扇形的面積是______．16.已知拋物線，回答下列問(wèn)題：（1）無(wú)論取何值，拋物線恒過(guò)定點(diǎn)______和______；（2）當(dāng)且拋物線頂點(diǎn)位置最高時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，滿足，則的取值范圍是______．三、解答題（本大題有8小題，第17、18小題每小題6分，第19、20每小題8分，第21、22每小題10分，第23、24每小題12分，共72分．解答需寫出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程）17.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求二次函數(shù)圖象與軸，軸交點(diǎn)坐標(biāo)．18.2024山下湖?世界珍珠大會(huì)在浙江省諸暨市開幕，澳白、南陽(yáng)金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最熱銷的珍珠種類，現(xiàn)有四張正面印有這四種珍珠的不透明卡片，依次記為，，，，這四張卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將這四張卡片背面向上洗勻，小張從中隨機(jī)抽取進(jìn)行珍珠品類調(diào)研．（1）若隨機(jī)抽取一張，求抽到卡片概率；（2）若小張隨機(jī)抽取一張，不放回，再抽取一張，用畫樹狀圖或列表的方法求卡片和同時(shí)被抽中的概率．19.如圖所示，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)（圖中網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，請(qǐng)借助網(wǎng)格和一把無(wú)刻度直尺按要求作圖．（1）圖①中，在邊上找一點(diǎn)，連接，使得面積為面積的；（2）圖②中，在邊上找一點(diǎn)，連接，使得面積為面積的．20.如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，在上取一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，已知，．（1）求的值；（2）求長(zhǎng)．21.每年12月下旬至次年3月上旬為諸暨水果“紅美人”的采摘時(shí)間，如圖①是紅美人采摘園大棚，其橫截面可看作由矩形和拋物線構(gòu)成（如圖②），點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．以所在直線和垂直平分線所在直線建立坐標(biāo)系，為一個(gè)單位長(zhǎng)度．已知，，．（1）求拋物線解析式（不需要寫出的取值范圍）；（2）現(xiàn)需在上方至頂端部分加裝兩根關(guān)于軸對(duì)稱立柱和，若兩立柱間的距離為，求立柱的長(zhǎng)度．22.如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，連接和，是的中點(diǎn)，連接和，分別交于點(diǎn)和．（1）證明：；（2）若，，求的長(zhǎng)．23.已知二次函數(shù)（，，是常數(shù)，且）．（1）若，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)．①用含的代數(shù)式表達(dá)；②求證：不論為何值，該函數(shù)圖象與軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)．（2）若，點(diǎn)和在拋物線上，對(duì)稱軸為直線，，求的取值范圍．24.如圖，四邊形內(nèi)接于，滿足，連接，，長(zhǎng)，于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）求證：；（3）若，，，求的長(zhǎng)．

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷九年級(jí)數(shù)學(xué)考生須知：1．本試題卷共6頁(yè)，有三個(gè)大題，24個(gè)小題．全卷滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．2．答案必須寫在答題紙相應(yīng)的位置上，寫在本試題卷、草稿紙上均無(wú)效．3．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的“注意事項(xiàng)”，按規(guī)定答題．本次考試不能使用計(jì)算器．參考公式：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．試卷Ⅰ（選擇題，共30分）一、選擇題（本大題有10小題，每小題3分，共30分．請(qǐng)選出每小題中一個(gè)最符合題意的選項(xiàng)，不選、多選、錯(cuò)選，均不給分）1.下列選項(xiàng)中的運(yùn)動(dòng)，屬于旋轉(zhuǎn)變換的是（）A.升國(guó)旗的過(guò)程 B.摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)C.汽車剎車時(shí)的滑動(dòng) D.電梯的運(yùn)行【答案】B【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的定義，熟記旋轉(zhuǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．升旗的過(guò)程屬于平移，不屬于旋轉(zhuǎn)，故該選項(xiàng)不符合題意；B．摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)屬于旋轉(zhuǎn)，故該選項(xiàng)符合題意；C．汽車剎車時(shí)的滑動(dòng)屬于平移，不屬于旋轉(zhuǎn)，故該選項(xiàng)不符合題意；D．電梯的運(yùn)行屬于平移，不屬于旋轉(zhuǎn)，故該選項(xiàng)不符合題故選：B

．2.已知，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)，代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，設(shè)，，故選：A．3.在一個(gè)不透明的口袋中有除顏色外完全相同的個(gè)黃球，個(gè)紅球，則任意摸出一球是紅球的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了概率計(jì)算，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)題意得任意摸出一球是紅球的概率是，故選：C．4.已知點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，且點(diǎn)P到圓心O的距離為5，則⊙O的半徑可能為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷得出即可．【詳解】解：設(shè)半徑為r，根據(jù)題意得，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離，則有：①點(diǎn)P在圓外，②點(diǎn)P在圓上，③點(diǎn)P在圓內(nèi)．5.在平面直角坐標(biāo)系中，平移拋物線得到，則平移方式可以是（）A.向左平移3個(gè)單位 B.向右平移3個(gè)單位C.向上平移3個(gè)單位 D.向下平移3個(gè)單位【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，即可得到答案．【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，平移拋物線得到，拋物線向上平移3個(gè)單位得到，平移方式是向上平移3個(gè)單位，故選：C．6.如圖，是的直徑，是的中點(diǎn)，連接，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．連接，得到，得出，即可得到答案．【詳解】如圖，連接，是的中點(diǎn)，，，，故選：A．7.如圖，與位似，點(diǎn)為位似中心，若，則與的面積比為（）A. B. C. D.2：1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)位似圖形的概念求出與的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似的兩個(gè)三角形是相似三角形、相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：與是位似圖形，，與的位似比是．與的相似比為，與的面積比為，故選：B．8.如圖，將直角三角板繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到，點(diǎn)在斜邊上，若，，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度及邊掃過(guò)的面積分別是（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度及邊掃過(guò)的面積即可．【詳解】解：直角三角板繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到，點(diǎn)在斜邊上，，，，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為，邊掃過(guò)的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9.已知拋物線，在該拋物線上到軸的距離等于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，確定拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線開口向上，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即可得到答案．【詳解】解：拋物線，拋物線的開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的頂點(diǎn)在軸下方，到的距離等于，在軸的上方到的距離等于的點(diǎn)有個(gè)，在該拋物線上到軸的距離等于的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè)，故選：C．10.等腰，，，，則（）A.3 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確作輔助線是解題的關(guān)鍵.將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則，，得到，可求出，，可證明，得到，可證明，，則，得出，，則，求出，即可得到結(jié)論.【詳解】解：如圖，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，，，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，，，或（不符合題意，舍去），故選：B.試卷Ⅱ（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題有6小題，每小題3分，共18分）11.拋物線的對(duì)稱軸是_____．【答案】直線【解析】【分析】由二次函數(shù)頂點(diǎn)式可得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求解．【詳解】解：，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，故答案為：直線．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式．12.已知線段是線段、的比例中項(xiàng)，且，，那么________．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，可得，可得，即可得到的值，注意線段的長(zhǎng)為正數(shù)．【詳解】解：∵線段是線段、的比例中項(xiàng)，且，，∴，∴，解得，又∵線段的長(zhǎng)度是正數(shù)，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了比例中項(xiàng)的概念，注意：求兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)的時(shí)候，應(yīng)開平方；求兩條線段的比例中項(xiàng)的時(shí)候，負(fù)數(shù)應(yīng)舍去．根據(jù)比例中項(xiàng)的概念列出比例式是解答本題的關(guān)鍵．13.如圖，已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義即點(diǎn)把線段分成兩條線段，較長(zhǎng)線段是較短線段和全長(zhǎng)線段的比例中項(xiàng)，這個(gè)點(diǎn)就是線段的黃金分割點(diǎn)，列式判斷即可．本題考查了黃金分割點(diǎn)的定義，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，，，∴，故答案為：．14.如圖①是小聰幫媽媽做的一個(gè)鍋蓋架，圖②是它的截面圖，垂直放置的鍋蓋與架子左右兩豎桿的交點(diǎn)為，，鍋蓋直徑為，則鍋蓋最低點(diǎn)到的距離是______cm．【答案】【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．設(shè)圓的圓心為，連接，交于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：如圖，設(shè)圓的圓心為，連接，交于點(diǎn)，根據(jù)題意得，，，，，，鍋蓋最低點(diǎn)到的距離是，故答案為：．15.如圖（1），已知扇形，作如下操作：步驟1：以，為圓心，大于的一半為半徑作兩條相等半徑圓弧，連接兩條圓弧交點(diǎn)并延長(zhǎng)成直線，記為直線；步驟2．直線與交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作弧交直線于點(diǎn)；步驟3：連接，以為圓心，為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，（如圖②）經(jīng)過(guò)以上操作，得到扇形，若扇形面積為，則扇形的面積是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了扇形面積計(jì)算，線段垂直平分線的定義和尺規(guī)作圖，勾股定理，根據(jù)題意可得直線l垂直平分，則，，由勾股定理得到，再由扇形面積計(jì)算公式得到，則．【詳解】解：由作圖方法可知，直線l垂直平分，∴，，由作圖方法可知，∴，設(shè)，∵扇形面積為，∴，∴，故答案為：．16.已知拋物線，回答下列問(wèn)題：（1）無(wú)論取何值，拋物線恒過(guò)定點(diǎn)______和______；（2）當(dāng)且拋物線的頂點(diǎn)位置最高時(shí)，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，滿足，則的取值范圍是______．【答案】①.②.③.或【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意由，令得到或，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而得到無(wú)論取何值，拋物線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）根據(jù)題意得到對(duì)稱軸為直線【詳解】解：（1）根據(jù)題意，，令，則或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，無(wú)論取何值，拋物線恒過(guò)定點(diǎn)，，故答案為：，；(2)由題意，先將拋物線化為頂點(diǎn)式：，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為，展開．因?yàn)闀r(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，對(duì)于，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，拋物線為，其對(duì)稱軸．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大．已知拋物線經(jīng)過(guò)，且，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以或．故答案：或．三、解答題（本大題有8小題，第17、18小題每小題6分，第19、20每小題8分，第21、22每小題10分，第23、24每小題12分，共72分．解答需寫出必要的文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程）17.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求二次函數(shù)圖象與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2）和；【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)解析式求二次函數(shù)圖象與軸，軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．本題考查了待定系數(shù)法，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．∴，解得，∴．【小問(wèn)2詳解】解：由，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和．18.2024山下湖?世界珍珠大會(huì)在浙江省諸暨市開幕，澳白、南陽(yáng)金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最熱銷的珍珠種類，現(xiàn)有四張正面印有這四種珍珠的不透明卡片，依次記為，，，，這四張卡片除正面圖案不同外，其余均相同．將這四張卡片背面向上洗勻，小張從中隨機(jī)抽取進(jìn)行珍珠品類調(diào)研．（1）若隨機(jī)抽取一張，求抽到卡片的概率；（2）若小張隨機(jī)抽取一張，不放回，再抽取一張，用畫樹狀圖或列表的方法求卡片和同時(shí)被抽中的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用簡(jiǎn)單地概率公式計(jì)算即可；（2）用畫樹狀圖的方法解答即可．本題考查了簡(jiǎn)單地概率公式，畫樹狀圖法其余概率，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：共有4種等可能的結(jié)果，A有1種，故抽到卡片的概率為．【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中A”和B的有2種，∴恰好選中和同時(shí)被抽中的概率．19.如圖所示，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)（圖中網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，請(qǐng)借助網(wǎng)格和一把無(wú)刻度直尺按要求作圖．（1）圖①中，在邊上找一點(diǎn)，連接，使得面積為面積的；（2）圖②中，在邊上找一點(diǎn)，連接，使得面積為面積的．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了基本作圖，平行四邊形判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形的面積性質(zhì)，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵．（1）圖①中，利用同高的兩個(gè)三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)底的比，取畫圖即可；（2）利用平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，使得即可．本題考查了基本作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理【小問(wèn)1詳解】解：如圖，使得，連接.則面積為面積的；則點(diǎn)D即為所求．【小問(wèn)2詳解】解：如圖，構(gòu)造平行四邊形，且，使得，設(shè)與交于點(diǎn)E．∵，∴，則面積為面積的；則點(diǎn)E即為所求．20.如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，在上取一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，已知，．（1）求的值；（2）求的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，熟知平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)和的長(zhǎng)度，再結(jié)合平行線分線段成比例即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)題意得出，進(jìn)而得出，再結(jié)合的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕蚀鸢笧椋海弧拘?wèn)2詳解】解：因，所以，因?yàn)椋裕忠驗(yàn)椋裕?1.每年12月下旬至次年3月上旬為諸暨水果“紅美人”的采摘時(shí)間，如圖①是紅美人采摘園大棚，其橫截面可看作由矩形和拋物線構(gòu)成（如圖②），點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．以所在直線和垂直平分線所在直線建立坐標(biāo)系，為一個(gè)單位長(zhǎng)度．已知，，．（1）求拋物線解析式（不需要寫出的取值范圍）；（2）現(xiàn)需在上方至頂端部分加裝兩根關(guān)于軸對(duì)稱立柱和，若兩立柱間的距離為，求立柱的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）米【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，得到拋物線的對(duì)稱軸為，設(shè)拋物線的解析式為，把代入解析式，解方程即可求拋物線的解析式．（2）根據(jù)題意，兩立柱間的距離為，則，，把代入解析式，再計(jì)算的值，解答即可．本題考查了拋物線的頂點(diǎn)式坐標(biāo)求解析式，矩形的性質(zhì)，根據(jù)自變量的值求函數(shù)的值，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．【小問(wèn)1詳解】解：∵矩形，上部近似為一條拋物線．，，．∴，，，，故拋物線的對(duì)稱軸為，則，設(shè)拋物線的解析式為，把代入解析式，∴，解得，故拋物線的解析式為：．【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，兩立柱間的距離為，則，，把代入解析式，得，故．故立柱長(zhǎng)度為米．22.如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，連接和，是的中點(diǎn)，連接和，分別交于點(diǎn)和．（1）證明：；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似