2019屆高三階段測試（二）數學（滿分：150分考試時間：150分鐘）請將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上的答案無效。選擇題：1.已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若A∪B＝B，則c的取值范圍是()A．(0,1]B．[1，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)2.下列四種說法中，正確的是()A．集合A＝{－1,0}的子集有3個B．“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為真C．“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的必要不充分條件D．命題“?x∈R，x2－3x－2≥0”的否定是“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)－3x0－2≥0”3.已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6)B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)4.已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝()A.eq\f(1,18)B.eq\f(17,18)C.eq\f(8,9) D.eq\f(\r(2),9)5.設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)6.已知隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，則P(0<X<2)＝()A．0.2B．0.3C．0.4 D．0.67.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r(2),3)，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為()A．4πB．8πC．9π D．36π8.設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x≥0，,gx，x＜0，))則g(f(－7))＝()A．3B．－3C．2 D．－29.已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13B．－15C．10 D．1510.已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點．若eq\o(FP,\s\up7(→))＝4eq\o(FQ,\s\up7(→))，則|QF|＝()A．3B.eq\f(5,2)C.eq\f(7,2) D.eq\f(3,2)11.一艘海輪從A處出發，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)海里B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里12.定義在R上的可導函數f(x)滿足f(1)＝1，且2f′(x)＞1，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))時，不等式f(2cosx)＞eq\f(3,2)－2sin2eq\f(x,2)的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))填空題：設函數f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）為奇函數，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為_______.為實數為實數，則=_______.設，則二項式的展開式中含項的系數為_______.16.已知雙曲線的左右焦點分別為，，若上存在點使為等腰三角形，且其頂角為，則的值是_______.解答題：17.已知函數（其中為正常數，）的最小正周期為．（1）求的值；（2）在△中，若，且，求．18.某架飛機載有5位空降兵依次空降到A，B，C三個地點，每位空降兵都要空降到A，B，C中的任意一個地點，且空降到每一個地點的概率都是eq\f(1,3)，用ξ表示地點C空降人數，求：(1)地點A空降1人，地點B，C各空降2人的概率；(2)隨機變量ξ的分布列．19.在直角坐標系xOy中，過點P（1，2）的直線l的參數方程為（t為參數）．以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ．（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于M，N兩點，求的值．20.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝eq\r(3)，∠BAD＝120°.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B-A1D-A的正弦值．21.已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝eq\f(lnx,x)，其中e是自然對數的底數，a∈R.(1)當a＝1時，求f(x)的極值，并證明f(x)＞g(x)＋eq\f(1,2)恒成立；(2)是否存在實數a，使f(x)的最小值為3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．22.已知焦點在y軸上的橢圓E的中心是原點O，離心率等于eq\f(\r(3),2)，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4eq\r(5).直線l：y＝kx＋m與y軸交于點P，與橢圓E相交于A，B兩點．(1)求橢圓E的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求m2的取值范圍．參考答案1.已知集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|0＜x＜c}，若A∪B＝B，則c的取值范圍是()A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)解析：選DA＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，因為A∪B＝B，所以A?B，所以c≥2.2.下列四種說法中，正確的是()A．集合A＝{－1,0}的子集有3個B．“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為真C．“命題p∨q為真”是“命題p∧q為真”的必要不充分條件D．命題“?x∈R，x2－3x－2≥0”的否定是“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)－3x0－2≥0”解析：選C對于選項A，A＝{－1,0}的子集有?，{－1}，{0}，{－1,0}，共4個，A錯；對于選項B，“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為“若a＜b，則am2＜bm2”，當m＝0時為假命題，B錯；對于選項C，“命題p∨q為真”，表示命題p與q至少有一個為真，而“命題p∧q為真”，表示命題p與q全為真，C正確；對于選項D，命題“?x∈R，x2－3x－2≥0”的否定是“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)－3x0－2＜0”，D錯．綜上，選C.3.已知sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|＜eq\f(π,2)，則θ等于()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)解析：選D因為sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，所以tanθ＝eq\r(3).因為|θ|＜eq\f(π,2)，所以θ＝eq\f(π,3).4.已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，則sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝()A.eq\f(1,18) B.eq\f(17,18)C.eq\f(8,9) D.eq\f(\r(2),9)解析：選B由sinα＋cosα＝eq\f(1,3)兩邊平方，得1＋sin2α＝eq\f(1,9)，解得sin2α＝－eq\f(8,9)，所以sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α)),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1＋\f(8,9),2)＝eq\f(17,18).5.設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是()A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)解析：選A因為f(x)是偶函數，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因為函數f(x)在[0，＋∞)上是增函數，所以f(π)＞f(3)＞f(2)，即f(π)＞f(－3)＞f(－2)．6.已知隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，則P(0<X<2)＝()A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.6解析：選C∵隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，∴P(2<X<4)＝0.9－0.5＝0.4，∴P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故選C.7.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosC＝eq\f(2\r(2),3)，bcosA＋acosB＝2，則△ABC的外接圓面積為()A．4π B．8πC．9π D．36π解析：選C由余弦定理得b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2.即eq\f(b2＋c2－a2＋a2＋c2－b2,2c)＝2，整理得c＝2，由cosC＝eq\f(2\r(2),3)得sinC＝eq\f(1,3)，再由正弦定理可得2R＝eq\f(c,sinC)＝6，所以△ABC的外接圓面積為πR2＝9π.8.設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x≥0，,gx，x＜0，))則g(f(－7))＝()A．3 B．－3C．2 D．－2解析：選D因為函數f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x≥0，,gx，x＜0，))所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3，所以g(f(－7))＝g(－3)＝f(－3)＝－f(3)＝－log2(3＋1)＝－2，故選D.9.已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是()A．－13 B．－15C．10 D．15解析：選A求導得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函數f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，所以a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在[－1,0)上單調遞減，在(0,1]上單調遞增，所以當m∈[－1,1]時，f(m)min＝f(0)＝－4.又因為f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對稱軸為x＝1，所以當n∈[－1,1]時，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值為－13.10.已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點．若eq\o(FP,\s\up7(→))＝4eq\o(FQ,\s\up7(→))，則|QF|＝()A．3 B.eq\f(5,2)C.eq\f(7,2) D.eq\f(3,2)解析：選A已知F(2,0)，設P(－2，t)，Q(x0，y0)，則eq\o(FP,\s\up7(→))＝(－4，t)，eq\o(FQ,\s\up7(→))＝(x0－2，y0)．由題設可得4(x0－2)＝－4，即x0＝1，所以|QF|＝x0＋2＝3.11.一艘海輪從A處出發，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)海里B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：選A畫出示意圖如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．12.定義在R上的可導函數f(x)滿足f(1)＝1，且2f′(x)＞1，當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))時，不等式f(2cosx)＞eq\f(3,2)－2sin2eq\f(x,2)的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(4π,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3)))解析：選D令g(x)＝f(x)－eq\f(x,2)－eq\f(1,2)，則g′(x)＝f′(x)－eq\f(1,2)＞0，∴g(x)在R上單調遞增，且g(1)＝f(1)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，∵f(2cosx)－eq\f(3,2)＋2sin2eq\f(x,2)＝f(2cosx)－eq\f(2cosx,2)－eq\f(1,2)＝g(2cosx)，∴f(2cosx)＞eq\f(3,2)－2sin2eq\f(x,2)，即g(2cosx)＞0，∴2cosx＞1.又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,3))).填空題：設函數f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）為奇函數，則曲線y=f（x）在點（0，0）處的切線方程為_______.答案：y=x為實數為實數，則=_______.答案：設，則二項式的展開式中含項的系數為_______.答案：1216.已知雙曲線的左右焦點分別為，，若上存在點使為等腰三角形，且其頂角為，則的值是_______.答案：解答題：17.已知函數（其中為正常數，）的最小正周期為．（1）求的值；（2）在△中，若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）∵．∵的最小正周期為，為正常數，∴，∴．由（1）可知．設是三角形的內角，則∵，∴．令，得，∴或，解得或．由已知，是△的內角，且，∴，，∴．由正弦定理，得18.某架飛機載有5位空降兵依次空降到A，B，C三個地點，每位空降兵都要空降到A，B，C中的任意一個地點，且空降到每一個地點的概率都是eq\f(1,3)，用ξ表示地點C空降人數，求：(1)地點A空降1人，地點B，C各空降2人的概率；(2)隨機變量ξ的分布列．解：(1)設“地點A空降1人，地點B，C各空降2人”為事件M，易知基本事件的總數n＝35＝243個，事件M發生包含的基本事件M＝Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30個．故所求事件M的概率P(M)＝eq\f(m,n)＝eq\f(30,243)＝eq\f(10,81).(2)依題意，5位空降兵空降到地點C相當于5次獨立重復試驗．∴ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，且ξ的取值可能為0,1,2,3,4,5.則P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))5－k.∴P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))5＝eq\f(32,243)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))4＝eq\f(80,243)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝eq\f(80,243)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(40,243)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(10,243)，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(5,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))5＝eq\f(1,243).∴隨機變量ξ的分布列為ξ012345Peq\f(32,243)eq\f(80,243)eq\f(80,243)eq\f(40,243)eq\f(10,243)eq\f(1,243)19.在直角坐標系xOy中，過點P（1，2）的直線l的參數方程為（t為參數）．以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ．（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）若直線l與曲線C相交于M，N兩點，求的值．解：（1）由已知得：，消去t得，∴化為一般方程為：，即：l：．曲線C：ρ=4sinθ得，ρ2=4ρsinθ，即x2+y2=4y，整理得x2+（y﹣2）2=4，即：C：x2+（y﹣2）2=4．（2）把直線l的參數方程（t為參數）代入曲線C的直角坐標方程中得：，即t2+t﹣3=0，設M，N兩點對應的參數分別為t1，t2，則，∴===．20.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝eq\r(3)，∠BAD＝120°.(1)求異面直線A1B與AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B-A1D-A的正弦值．解：(1)在平面ABCD內，過點A作AE⊥AD，交BC于點E.因為AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD.故以AE，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.因為AB＝AD＝2，AA1＝eq\r(3)，∠BAD＝120°，則A(0,0,0)，B(eq\r(3)，－1,0)，D(0,2,0)，E(eq\r(3)，0,0)，A1(0，0，eq\r(3))，C1(eq\r(3)，1，eq\r(3))．(1)eq\o(A1B,\s\up7(→))＝(eq\r(3)，－1，－eq\r(3))，eq\o(AC1,\s\up7(→))＝(eq\r(3)，1，eq\r(3))．則cos〈eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(AC1,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(A1B,\s\up7(→))·eq\o(AC1,\s\up7(→)),|eq\o(A1B,\s\up7(→))||eq\o(AC1,\s\up7(→))|)＝eq\f(3－1－3,\r(7)×\r(7))＝－eq\f(1,7).因此異面直線A1B與AC1所成角的余弦值為eq\f(1,7).(2)可知平面A1DA的一個法向量為eq\o(AE,\s\up7(→))＝(eq\r(3)，0,0)．設m＝(x，y，z)為平面BA1D的一個法向量，又eq\o(A1B,\s\up7(→))＝(eq\r(3)，－1，－eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up7(→))＝(－eq\r(3)，3,0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·eq\o(A1B,\s\up7(→))＝0，,m·eq\o(BD,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x－y－\r(3)z＝0，,－\r(3)x＋3y＝0.))不妨取x＝3，則y＝eq\r(3)，z＝2，所以m＝(3，eq\r(3)，2)為平面BA1D的一個法向量，從而cos〈eq\o(AE,\s\up7(→))，m〉＝eq\f(eq\o(AE,\s\up7(→))·m,|eq\o(AE,\s\up7(→))||m|)＝eq\f(3\r(3),\r(3)×4)＝eq\f(3,4).設二面角B-A1D-A的大小為θ，則|cosθ|＝eq\f(3,4).因為θ∈[0，π]，所以sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(\r(7),4).因此二面角B-A1D-A的正弦值為eq\f(\r(7),4).21.已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝eq\f(lnx,x)，其中e是自然對數的底數，a∈R.(1)當a＝1時，求f(x)的極值，并證明f(x)＞g(x)＋eq\f(1,2)恒成立；(2)是否存在實數a，使f(x)的最小值為3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．解：(1)∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x).∴當0＜x＜1時，f′(x)＜0，此時f(x)單調遞減；當1＜x＜e時，f′(x)＞0，此時f(x)單調遞增．∴f(x)的極小值為f(1)＝1，即f(x)在(0，e]上的最小值為1，令h(x)＝g(x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(lnx,x)＋eq\f(1,2)，則h′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，當0＜x＜e時，h′(x)＞0，h(x)在(0，e]上單調遞增，∴h(x)max＝h(e)＝eq\f(1,e)＋eq\f(1,2)＜eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1＝f(x)min.∴f(x)＞g(x)＋eq\f(1,2)恒成立．(2)假設存在實數a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，f′(x)＝a－eq\f(1,x)＝eq\f(ax－1,x).①當a≤0時，f(x)在(0，e]上單調遞減，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝eq\f(4,e)(舍去)，∴a≤0時，不存在a使f(x)的最小值為3.②當0＜eq\f(1,a)＜e，即a＞eq\f(1,e)時，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上單調遞減，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，e))上單調遞增，