4.2換元積分法和分部積分法第四章一、第一類換元積分法三、分部積分法（IntegrationbySubstitutionandIntegrationbyParts

）二、第二類換元積分法第1頁(yè)第二類換元法第一類換元法設(shè)可導(dǎo),則有基本思緒

第2頁(yè)在上次課中，我們學(xué)習(xí)了“不定積分概念和性質(zhì)”給出了“基本積分公式表”。不過(guò)，對(duì)于形如這么積分，利用不定積分性質(zhì)和基本積分公式表我們就無(wú)能為力了。為此，……第3頁(yè)一、第一類換元積分法定理4.2.1

則有換元公式(也稱配元法,湊微分法)證實(shí)過(guò)程請(qǐng)看書(shū)!第4頁(yè)例4.2.11）求2）求補(bǔ)充例題1求解:令則故原式=第5頁(yè)補(bǔ)充例題2求答案：補(bǔ)充例題3求答案：例4.2.4求解:例4.2.5求答案：第6頁(yè)萬(wàn)能湊冪法慣用幾個(gè)配元形式:

第7頁(yè)解:原式=補(bǔ)充例題4求自主學(xué)習(xí)書(shū)本P141例4.2.6、例4.2.7、例4.2.8第8頁(yè)例4.2.9

求解:例4.2.10

解:第9頁(yè)解法2（與書(shū)本解法不一樣）第10頁(yè)補(bǔ)充例題5求解:原式=補(bǔ)充例題6求或第11頁(yè)解補(bǔ)充例題7第12頁(yè)補(bǔ)充例題8解:第13頁(yè)補(bǔ)充例題9解:第14頁(yè)解:補(bǔ)充例題10自主學(xué)習(xí)書(shū)本P141例4.2.11—例4.2.13第15頁(yè)二、第二類換元法第一類換元法處理問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則用第二類換元積分法.難求，第16頁(yè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且含有原函數(shù),證實(shí)略,詳細(xì)過(guò)程可參見(jiàn)書(shū)本P142則有換元公式定理4.2.2

設(shè)反函數(shù)第17頁(yè)例4.2.14計(jì)算1）解:第18頁(yè)第19頁(yè)補(bǔ)充例題11解:第20頁(yè)第21頁(yè)解:令則∴原式補(bǔ)充例題12求自主學(xué)習(xí)書(shū)本P142例4.2.142）第22頁(yè)解:令則∴原式補(bǔ)充例題13

求自主學(xué)習(xí)書(shū)本P142例4.2.15第23頁(yè)解:令則∴原式補(bǔ)充例題14

求第24頁(yè)令于是自主學(xué)習(xí)書(shū)本P143例4.2.16第25頁(yè)或從上面三個(gè)例子，能夠看出假如被積函數(shù)含有：可作代換可作代換可作代換第26頁(yè)解

于是第27頁(yè)第二類換元法常見(jiàn)類型:令令令或令或令或第三節(jié)講第28頁(yè)(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令2.慣用基本積分公式補(bǔ)充

第29頁(yè)第30頁(yè)前面，我們利用復(fù)合函數(shù)求到法則得到了“換元積分法”

。不過(guò)，對(duì)于形如積分用直接積分法或換元積分法都無(wú)法計(jì)算.注意到，這些積分被積函數(shù)都有共同特點(diǎn)——都是兩種不一樣類型函數(shù)乘積。這就啟發(fā)我們把兩個(gè)這就是另一個(gè)基本積分方法：分部積分法.

函數(shù)乘積微分法則反過(guò)來(lái)用于求這類不定積分，第31頁(yè)積分得:分部積分公式或1)v輕易求得;輕易計(jì)算.由導(dǎo)數(shù)乘法公式：第32頁(yè)第四章（IntegrationbyParts）補(bǔ)充例題16解:令則∴原式另解:令則∴原式三、分部積分法答案第33頁(yè)普通說(shuō)來(lái),當(dāng)被積函數(shù)為以下形式之一時(shí),可考慮利用分部積分法進(jìn)行計(jì)算:冪函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)(或反三角函數(shù))之積,冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之積,一個(gè)函數(shù)難于用其它方法積分,兩個(gè)函數(shù)乘積.第34頁(yè)把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積,按“反對(duì)冪指三”

次序,前者為后者為補(bǔ)充例題18求解:令,則原式=反:反三角函數(shù)對(duì):對(duì)數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)解題技巧:自主學(xué)習(xí)書(shū)本P144-P145例4.2.18與例4.2.19第35頁(yè)答案：

.答案：

補(bǔ)充例題22答案：

補(bǔ)充例題23答案：

第36頁(yè)解:令則∴原式補(bǔ)充例題24第37頁(yè)解:令,則∴原式