PAGE1-第1講空間幾何體空間幾何體與三視圖[核心提煉]1．三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”．2．由三視圖還原幾何體的步驟一般先由俯視圖確定底面，再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體．[典型例題](1)(2024·溫州瑞安七中高考模擬)下列結(jié)論正確的是()A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是正六棱錐D．圓錐的頂點與底面圓周上的隨意一點的連線都是母線(2)(2024·杭州市五校聯(lián)考)一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為()【解析】(1)A.如圖(1)所示，由兩個結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐，故A錯誤；B.如圖(2)(3)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐，故B錯誤；C.若六棱錐的全部棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由過中心和頂點的截面知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必定要大于底面邊長，故C錯誤；D.依據(jù)圓錐母線的定義知，故D正確．故選D.(2)因為一個四面體的頂點在空間直角坐標系O-xyz中的坐標分別是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，幾何體的直觀圖如圖，是以正方體的頂點為頂點的一個正四面體，所以以zOx平面為投影面，則得到正視圖為A.【答案】(1)D(2)Aeq\a\vs4\al()(1)推斷與幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，熟識空間幾何體性質(zhì)，能夠依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，從而推斷命題的真假，有時也可通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析．(2)已知幾何體識別三視圖的技巧已知幾何體畫三視圖時，可先找出各個頂點在投影面上的投影，然后再確定線在投影面的實虛．[對點訓練]1．(2024·福州市綜合質(zhì)量檢測)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體各面中直角三角形的個數(shù)是()A．2B．3C．4D．5解析：選C.由三視圖知，該幾何體是如圖所示的四棱錐P-ABCD，易知四棱錐P-ABCD的四個側(cè)面都是直角三角形，即此幾何體各面中直角三角形的個數(shù)是4.2．圖①是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐A1-AB1D1后得到的幾何體，將其圍著棱DD1所在的直線逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到如圖②所示的幾何體，該幾何體的正視圖為()解析：選B.由題意可知，該幾何體的正視圖是長方形，底面對角線DB在正視圖中的長為eq\r(2)，棱CC1在正視圖中為虛線，D1A，B1A在正視圖中為實線，故該幾何體的正視圖為B.空間幾何體的表面積與體積[核心提煉]1．柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式(1)S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)；(2)S錐側(cè)＝eq\f(1,2)ch′(c為底面周長，h′為斜高)；(3)S臺側(cè)＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)．2．柱體、錐體、臺體的體積公式(1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)；(2)V錐體＝eq\f(1,3)Sh(S為底面面積，h為高)；(3)V臺＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h(S，S′分別為上下底面面積，h為高)(不要求記憶)．[典型例題](1)(2024·高考浙江卷)祖暅是我國南北朝時代的宏大科學家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A．158B．162 C．182D．324(2)(2024·浙江高校招生選考試題)如圖(1)，把棱長為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如圖(2)所示幾何體，則該幾何體的體積為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(17,24) C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)(3)(2024·寧波十校聯(lián)合模擬)如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________cm3，表面積為________cm2.【解析】(1)由三視圖可知，該幾何體是一個直五棱柱，所以其體積V＝eq\f(1,2)×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.故選B.(2)把棱長為1的正方體沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到幾何體的體積：V＝VABCD-A1B1C1D1－VA-A1B1D1－VB-A1B1C1＋VN-A1B1M＝1×1×1－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(2),2)×\f(\r(2),2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(17,24).(3)由已知三視圖得到幾何體是一個底面直角邊分別為3，4的直角三角形，高為5的三棱柱，割去一個底面與三棱柱底面相同，高為3的三棱錐，所以該幾何體的體積為：eq\f(1,2)×3×4×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝24cm3；表面積為：eq\f(1,2)×(2＋5)×4＋eq\f(1,2)×(2＋5)×3＋eq\f(1,2)×3×4＋5×5＋eq\f(\r(3),4)×52＝eq\f(111,2)＋eq\f(25,4)eq\r(3)cm2.【答案】(1)B(2)B(3)24eq\f(111,2)＋eq\f(25\r(3),4)eq\a\vs4\al()(1)求解幾何體的表面積及體積的技巧①求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在．求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．②求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解．(2)依據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟第一步：依據(jù)給出的三視圖推斷該幾何體的形態(tài)．其次步：由三視圖中的大小標示確定該幾何體的各個度量．第三步：套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計算求解．[對點訓練]1．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1 B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1 D.eq\f(3π,2)＋3解析：選A.由幾何體的三視圖可得，該幾何體是由半個圓錐和一個三棱錐組成的，故該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1，故選A.2．(2024·浙江名校協(xié)作體高三聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是eq\r(3)cm3，則正視圖中的x的值是________cm，該幾何體的表面積是________cm2.解析：由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，其直觀圖如圖所示，由棱錐的體積公式得，eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(3)x＝eq\r(3)?x＝2，側(cè)面ADS，CDS，ABS為直角三角形，側(cè)面BCS是以BC為底的等腰三角形，所以該幾何體的表面積為S＝eq\f(1,2)[(1＋2)×eq\r(3)＋2×2＋eq\r(3)×2＋1×eq\r(7)＋2×eq\r(7)]＝eq\f(5\r(3)＋3\r(7)＋4,2).答案：2eq\f(5\r(3)＋3\r(7)＋4,2)多面體與球的切接問題[核心提煉]與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要仔細分析圖形，明準確點和接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．[典型例題](1)(2024·浙江高考沖刺卷)已知一個棱長為4的正方體，過正方體中兩條互為異面直線的棱的中點作直線，則該直線被正方體的外接球球面截在球內(nèi)的線段長是()A．2eq\r(11) B．2eq\r(10)C．6 D．4eq\r(2)(2)已知三棱錐S-ABC的全部頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．【解析】(1)如圖所示，球的半徑為2eq\r(3)，球心(2，2，2)，M(4，0，2)，N(0，2，4)，MN的中點(2，1，3)，球心到MN的距離為eq\r(2)，所以該直線被正方體的外接球球面截在球內(nèi)的線段長是2eq\r(12－2)＝2eq\r(10)，故選B.(2)設(shè)球O的半徑為R，因為SC為球O的直徑，所以點O為SC的中點，連接AO，OB，因為SA＝AC，SB＝BC，所以AO⊥SC，BO⊥SC，因為平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，所以AO⊥平面SCB，所以VS-ABC＝VA-SBC＝eq\f(1,3)×S△SBC×AO＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×SC×OB)×AO，即9＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2R×R)×R，解得R＝3，所以球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π.【答案】(1)B(2)36πeq\a\vs4\al()多面體與球接、切問題的求解策略(1)涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特別點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何學問找尋幾何體中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)接、外切的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩相互垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，則4R2＝a2＋b2＋c2求解．[對點訓練]1．(2024·嘉興一模)如圖，這是某幾何體的三視圖，正視圖是等邊三角形，側(cè)視圖和俯視圖為直角三角形，則該幾何體外接球的表面積為()A.eq\f(20π,3) B．8πC．9π D.eq\f(19π,3)解析：選D.如圖，該幾何體為三棱錐A-BCD，設(shè)三棱錐外接球的球心為O，O1，O2分別為△BCD，△ABD的外心，依題意得，OO1＝eq\f(\r(3),6)AB＝eq\f(\r(3),3)，O1D＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(\r(5),2)，所以球的半徑R＝eq\r(OOeq\o\al(2,1)＋O1D2)＝eq\r(\f(19,12))，所以該幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(19π,3).2．(2024·金華十校聯(lián)考)在正三棱錐S-ABC中，M是SC的中點，且AM⊥SB，底面邊長AB＝2eq\r(2)，則正三棱錐S-ABC的體積為________，其外接球的表面積為________．解析：取AC中點D，則SD⊥AC，DB⊥AC，又因為SD∩BD＝D，所以AC⊥平面SDB，因為SB?平面SBD，所以AC⊥SB，又因為AM⊥SB，AM∩AC＝A，所以SB⊥平面SAC，所以SA⊥SB，SC⊥SB，依據(jù)對稱性可知SA⊥SC，從而可知SA，SB，SC兩兩垂直，將其補為立方體，其棱長為2，所以VS-ABC＝SC-ASB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，其外接球即為立方體的外接球，半徑r＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，表面積S＝4π×3＝12π.答案：eq\f(4,3)12π專題強化訓練1.《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬．設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是()A．4 B．8C．12 D．16解析：選D.如圖，以AA1為底面矩形一邊的四邊形有AA1C1C、AA1B1B、AA1D1D、AA1E1E這4個，每一個面都有4個頂點，所以陽馬的個數(shù)為16個．故選D.2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(如圖)，用過點A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的正視圖為()解析：選C.過點A，E，C1的平面與棱DD1相交于點F，且F是棱DD1的中點，截去正方體的上半部分，剩余幾何體的直觀圖如圖所示，則其正視圖應(yīng)為選項C.3．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是()A．8cm3 B．12cm3C．eq\f(32,3)cm3 D．eq\f(40,3)cm3解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是由一個正方體和一個正四棱錐構(gòu)成的組合體．下面是棱長為2cm的正方體，體積V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面邊長為2cm，高為2cm的正四棱錐，體積V2＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)(cm3)，所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝eq\f(32,3)(cm3)．4．(2024·臺州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體最長的棱長等于()A．eq\r(34) B．eq\r(41)C．5eq\r(2) D．2eq\r(15)解析：選C.由正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的形態(tài)，可推斷該幾何體為三棱錐，形態(tài)如圖，其中SC⊥平面ABC，AC⊥AB，所以最長的棱長為SB＝5eq\r(2).5．(2024·金華十校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A．eq\f(15π,2)B．8π C.eq\f(17π,2)D．9π解析：選B.依題意，題中的幾何體是由兩個完全相同的圓柱各自用一個不平行于其軸的平面去截后所得的部分拼接而成的組合體(各自截后所得的部分也完全相同)，其中一個截后所得的部分的底面半徑為1，最短母線長為3、最長母線長為5，將這兩個截后所得的部分拼接恰好形成一個底面半徑為1，母線長為5＋3＝8的圓柱，因此題中的幾何體的體積為π×12×8＝8π，選B.6.如圖，圓柱內(nèi)有一個直三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，且底面是正三角形．假如三棱柱的體積為12eq\r(3)，圓柱的底面直徑與母線長相等，則圓柱的側(cè)面積為()A．12πB．14π C．16πD．18π解析：選C.設(shè)圓柱的底面半徑為R，則三棱柱的底面邊長為eq\r(3)R，由eq\f(\r(3),4)(eq\r(3)R)2·2R＝12eq\r(3)，得R＝2，S圓柱側(cè)＝2πR·2R＝16π.故選C.7．(2024·石家莊市第一次模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(網(wǎng)格線中每個小正方形的邊長為1)，則該幾何體的表面積為()A．48B．54 C．64D．60解析：選D.依據(jù)三視圖還原直觀圖，如圖所示，則該幾何體的表面積S＝6×3＋eq\f(1,2)×6×4＋2×eq\f(1,2)×3×5＋eq\f(1,2)×6×5＝60，故選D.8．在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()A.4πB.eq\f(9π,2) C.6πD.eq\f(32π,3)解析：選B.由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球放不進去，則球可與上下底面相切，此時球的半徑R＝eq\f(3,2)，該球的體積最大，Vmax＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4π,3)×eq\f(27,8)＝eq\f(9π,2).9．(2024·溫州八校聯(lián)考)某幾何體是直三棱柱與圓錐的組合體，其直觀圖和三視圖如圖所示，正視圖為正方形，其中俯視圖中橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),4) C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：選C.依題意得，題中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，設(shè)其直角邊長為a，則斜邊長為eq\r(2)a，圓錐的底面半徑為eq\f(\r(2),2)a、母線長為a，因此其俯視圖中橢圓的長軸長為eq\r(2)a、短軸長為a，其離心率e＝eq\r(1－（\f(a,\r(2)a)）2)＝eq\f(\r(2),2)，選C.10.已知圓柱OO1的底面半徑為1，高為π，ABCD是圓柱的一個軸截面．動點M從點B動身沿著圓柱的側(cè)面到達點D，其距離最短時在側(cè)面留下的曲線Γ如圖所示．現(xiàn)將軸截面ABCD圍著軸OO1逆時針旋轉(zhuǎn)θ(0＜θ≤π)后，邊B1C1與曲線Γ相交于點P，設(shè)BP的長度為f(θ)，則y＝f(θ)的圖象大致為()解析：選A.將圓柱的側(cè)面沿軸截面ABCD展平，則曲線Γ是綻開圖形(即矩形)的對角線，依據(jù)題意，將軸截面ABCD圍著軸OO1逆時針旋轉(zhuǎn)θ(0＜θ≤π)后，邊B1C1與曲線Γ相交于點P，設(shè)BP的長度為f(θ)，則f(θ)應(yīng)當是一次函數(shù)的一段，故選A.11．(2024·浙江省重點中學高三12月期末熱身聯(lián)考)某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是________；表面積是________．解析：依據(jù)三視圖可得，該幾何體是長方體中的四棱錐C-BB1D1D，由三視圖可得：AB＝2，BC＝2，BB1＝4，VC-BB1D1D＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×2×2×4＝eq\f(16,3)，SC-BB1D1D＝eq\f(1,2)×2×2＋2eq\r(2)×4＋eq\f(1,2)×2×4＋eq\f(1,2)×2×4＋eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(18)＝16＋8eq\r(2).答案：eq\f(16,3)16＋8eq\r(2)12.(2024·寧波市余姚中學期中檢測)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為________cm3，表面積為________cm2.解析：由三視圖可知：該幾何體是由一個半球去掉eq\f(1,4)后得到的幾何體．所以該幾何體的體積＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×π×13＝eq\f(π,2)cm3.表面積＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×4π×12＋eq\f(1,2)×π×12＋eq\f(3,4)×π×12＝eq\f(11π,4)cm2.答案：eq\f(π,2)eq\f(11π,4)13．(2024·河北省“五校聯(lián)盟”質(zhì)量檢測)已知球O的表面積為25π，長方體的八個頂點都在球O的球面上，則這個長方體的表面積的最大值等于________．解析：設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝25π，所以R＝eq\f(5,2)，所以球的直徑為2R＝5，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，則長方體的表面積S＝2ab＋2ac＋2bc≤a2＋b2＋a2＋c2＋b2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)＝50.答案：5014．(2024·浙江省高三考前質(zhì)量檢測)某幾何體的三視圖如圖所示，當xy取得最大值時，該幾何體的體積是____________．解析：分析題意可知，該幾何體為如圖所示的四棱錐P-ABCD，CD＝eq\f(y,2)，AB＝y(tǒng)，AC＝5，CP＝eq\r(7)，BP＝x，所以BP2＝BC2＋CP2，即x2＝25－y2＋7，x2＋y2＝32≥2xy，則xy≤16，當且僅當x＝y(tǒng)＝4時，等號成立．此時該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(2＋4,2)×3×eq\r(7)＝3eq\r(7).答案：3eq\r(7)15．(2024·杭州市高考數(shù)學二模)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中點，則異面直線BE與B1D1所成角的余弦值等于________，若正方體棱長為1，則四面體B-EB1D1的體積為________．解析：取CC1中點F，連接D1F，B1F，則BE綊D1F，所以∠B1D1F為異面直線BE與B1D1所成的角．設(shè)正方體棱長為1，則B1D1＝eq\r(2)，B1F＝D1F＝eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(5),2).所以cos∠B1D1F＝eq\f(\f(1,2)B1D1,D1F)＝eq\f(\f(\r(2),2),\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(10),5).VB-EB1D1＝VD1-BB1E＝eq\f(1,3)S△BB1E·A1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(\r(10),5)eq\f(1,6)16．已知棱長均為a的正三棱柱ABC-A1B1C1的六個頂點都在半徑為eq\f(\r(21),6)的球面上，則a的值為________．解析：設(shè)O是球心，D是等邊三角形A1B1C1的中心，則OA1＝eq\f(\r(21),6)，因為正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長均為a，所以A1D＝eq\f(\r(3),2)a×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3)a，OD＝eq\f(a,2)，故A1D2＋OD2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(21),6)))eq\s\up12(2)，得eq\f(7,12)a2＝eq\f(21,36)，即a2＝1，得a＝1.答案：117．(2024·瑞安四校聯(lián)考)已知底面為正三角形的三棱柱內(nèi)接于半徑為1的球，則此三棱柱的體積的最大值為________．解析：如圖，設(shè)球心為O，三棱柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，底面正三角形的邊長為a，則AO1＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),3)a.由已知得O1O2⊥底面，在Rt△OAO1中，由勾股定理得OO1＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3)·\r(3－a2),3)，所以V三棱柱＝eq\f(\r(3),4)a2×2×eq\f(\r(3)·\r(3－a2),3)＝eq\f(\r(3a4－a6),2)，令f(a)＝3a4－a6(0＜a＜2)，則f′(a)＝12a3－6a5＝－6a3(a2－2)，令f′(a)＝0，解得a＝eq\r(2).因為當a∈(0，eq\r(2))時，f′(a)＞0；當a∈(eq\r(2)，2)時，f′(a)＜0，所以函數(shù)f(a)在(0，eq\r(2))上單調(diào)遞增，在(eq\r(2)，2)上單調(diào)遞減．所以f(a)在a＝eq\r(2)處取得極大值．因為函數(shù)f(a)在區(qū)間(0，2)上有唯一的極值點，所以a＝eq\r(2)也是最大值點．所以(V三棱柱)max＝eq\f(\r(3×4－8),2)＝1.答案：118.如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD,∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)證明：直線BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面積為2eq\r(7)，求四棱錐P-ABCD的體積．解：(1)證明：在平面ABC