第1頁/共1頁湖南省常德市津市第一中學2024-2025學年高一下學期開學考試數學試題一、單選題1.已知集合，，則中元素的個數為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】通過畫圖即可直接判斷.【詳解】因為函數與函數的圖象有1個交點，所以中有1個元素.故選：B.2.的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由即可求得.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數的誘導公式的應用，屬基礎題.3.若函數與的圖象的任意連續三個交點均構成鈍角三角形，則正實數的取值范圍是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先確定組成三角形為等腰三角形，結合鈍角三角形的限制條件可得答案.【詳解】如圖，作出函數和的圖象，不妨以圖中為研究對象，由對稱性可得是以C為頂角的等腰三角形，過C點作于M，則，得，由，得，則，所以，要使為鈍角三角形，只需即可，由，整理得．故選：B4.已知，則取得最小值時的的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意，根據可得，結合基本不等式計算即可求解.【詳解】由，得，，當且僅當即即時，等號成立.故選：D5.為了得到函數的圖象，只需將圖象上所有點（）A.縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移個單位長度B.縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，再向右平移個單位長度C.縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，再向左平移個單位長度D.縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，再向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】首先將函數化成正弦型函數，再通過伸縮變換和平移變換求解即可.【詳解】由誘導公式可得，，對于選項A：通過伸縮變換以及平移變換得，，故A錯誤；對于選項B：通過伸縮變換以及平移變換得，，故B錯誤；對于選項C：通過伸縮變換以及平移變換得，，故C錯誤；對于選項D：通過伸縮變換以及平移變換得，，故D正確.故選：D.6.著名數學家、物理學家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為℃，空氣溫度為℃，則分鐘后物體的溫度（單位：℃，滿足：)若常數，空氣溫度為℃，某物體的溫度從℃下降到℃，大約需要的時間為（）（參考數據：）A39分鐘 B.41分鐘 C.43分鐘 D.45分鐘【答案】B【解析】【分析】將已知數據代入模型，解之可得答案.【詳解】由題知，，，，，，，.故選：B.7.下列函數中，既是偶函數又在區間上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷每一個函數的奇偶性和單調性得解.【詳解】A.,是奇函數不是偶函數，所以該選項錯誤；B.,所以函數是偶函數，由于函數在區間上是增函數，所以函數在區間上單調遞增，所以該選項是正確的；C.不是偶函數，所以該選項是錯誤的；D.，所以函數是偶函數，由于函數在區間上是增函數，在上是減函數，所以函數在上是減函數，所以該選項錯誤.故選B【點睛】本題主要考查函數的奇偶性和單調性的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.8.設，，，則（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據函數單調性分別比較與0,1的大小關系得到答案.【詳解】，，，故故選【點睛】本題考查數值的大小比較，意在考查學生對于函數單調性的應用.二、多選題9.可以作為的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】先解不等式，然后判斷充分不必要條件.【詳解】，，，解得或.所以可以作為的一個充分不必要條件是或.故選：AC10.已知函數，則下列說法正確的是（）A.在上無最大值B.的圖象的兩條對稱軸之間的最小距離為C.D.的圖象關于點對稱【答案】BC【解析】【分析】由正弦型函數的圖象與性質逐項判斷即可.【詳解】選項A：由，得，當，即時，取得最大值2024，A錯誤．選項B：設的最小正周期為，則的圖象的兩條對稱軸之間的最小距離為，B正確．選項C：，，因，且在上單調遞減，所以，所以，C正確．選項D：令，解得，令，解得，矛盾，所以的圖象不關于點對稱，D錯誤．（另解：因為，所以的圖象不關于點對稱）故選：BC11.德國著名數學家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在數學領域成就顯著．19世紀，狄利克雷定義了一個“奇怪的函數”，其中為實數集，為有理數集.則關于函數有如下四個命題，其中真命題是（）A.B.任取一個不為零的有理數，對任意的恒成立C.，，恒成立D.不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形【答案】ABD【解析】【分析】直接由解析式計算可判斷A；分和兩種情況討論可判斷B；舉反例取，，可判斷C；分中有兩個是有理數，一個是無理數或者兩個是無理數，一個是有理數討論，每種情況再分角為直角三種情況討論可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A，，所以，故選項A正確；對于B，任取一個不為零的有理數，若，則，滿足；若，則，滿足，故選項B正確；對于C，取，，則，而，所以，故選項C錯誤；對于D，當均為有理數或均為無理數時，三點在一條直線上，不能構成三角形，所以中有兩個是有理數，一個是無理數或者兩個是無理數，一個是有理數，不妨設是有理數，是無理數，則，，，因為為等腰直角三角形，所以若角是直角，則，與是無理數矛盾，若角是直角，則，與是無理數矛盾，若角是直角，因為，所以，與是無理數矛盾，所以此時不可能為等腰直角三角形，當中有兩個無理數一個是有理數時，不妨設是無理數，是有理數，則，，，因為為等腰直角三角形，所以若角是直角，則，與是有理數矛盾，若角是直角，則，與是有理數矛盾，若角是直角，因為，所以，且是有理數，只能是兩個互為相反數的無理數，即，即，又因為為等腰直角三角形，所以，，或，與是無理數矛盾，所以不可能為等腰直角三角形，綜上所述：不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形，故選項D正確；故選：ABD.三、填空題12.若冪函數在上單調遞增，則__________．【答案】【解析】【分析】利用冪函數的定義求出或，再利用單調性檢驗即可.【詳解】因為是冪函數，所以，解得或，時在上單調遞減，不合題意；時在上單調遞增，符合題意，所以，故答案為：.13.若，則_______．【答案】【解析】【分析】首先將弦化切，求出，再利用二倍角余弦公式及同角三角函數的基本關系將弦化切，最后代入計算可得；【詳解】解：因為，所以，解得，所以故答案為：14.在算式“”的兩個中，分別填入兩個正整數，使它們的倒數之和最小，則這兩個數構成的數對應為______【答案】【解析】【分析】根據題意，設中填入的正整數分別為、，則有，進而有它們的倒數和為，由基本不等式的性質分析可得當且僅當時取得最小值，此時有且，解可得、的值，即可得答案．【詳解】設中填入的正整數分別為、，則有，它們的倒數和為，則有，當且僅當時等號成立，此時且，解可得，，則兩個數構成的數對應為；故答案為：四、解答題15.已知函數．（1）求的最小正周期和圖象的對稱中心；（2）當時，函數的最大值為11，最小值為3，求實數的值．【答案】（1），對稱中心是（2）或【解析】【分析】（1）先利用三角函數恒等變換公式對函數化簡變形可得，然后利用周期公式可求出周期，由可求出對稱中心的橫坐標，從而可求出對稱中心，（2）求得，，得，然后分和兩種情況討論可求得結果.【小問1詳解】函數，所以的最小正周期．由得，所以函數的對稱中心是．【小問2詳解】，由，得，則．當時，的最大值為，最小值為，所以解得當時，的最大值為，最小值為，所以解得綜上所述，或．16.已知集合，．（1）當時，求集合；（2）當時，求實數的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式結合補集的概念即可得解.（2）由題意得，由此即可得解.【小問1詳解】由題意當時，，所以或.【小問2詳解】由題意，而方程的兩根分別為，因為，所以，若時，則，解不等式組得，所以實數的取值范圍為.17.（1）已知，且，求；（2）已知函數，若，求的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用誘導公式及對數的性質求出，再利用同角三角函數的基本關系求出的值，利用誘導公式化簡，即可得解;（2）根據的范圍求出的取值范圍，即可求出的取值范圍，從而得到的值域.【詳解】解：（1），，，，，，（2）且，，，故函數的值域為.【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系，及正弦型函數的值域，屬于基礎題.18.如圖所示，為積極開展“最美懷化”建設，我市某校中學現擬在邊長為0.6千米的正方形地塊上劃出一片三角形地塊建設小型生態園，點分別在邊上.（1）當點分別是邊中點和靠近的三等分點時，求的正切值；（2）實地勘察后發現，由于地形等原因，的周長必須為1.2千米，請研究是否為定值，若是，求此定值，若不是，請說明理由.【答案】（1）1；（2）是，.【解析】【分析】（1）依題意可得，再利用兩角和的正切公式求出，即可得解；（2）設，在利用勾股定理即可得到，在由銳角三角函數表示，，利用兩角和的正切公式得到，即可得證；【詳解】（1）由題意可知，所以，由題意可知，所以，所以.故.（2）設，所以在直角三角形中，所以，整理得因為，所以將代入上式可得，所以，所以為定值.19.聯合國教科文組織規定：一個國家或地區60歲以上的人口占該國或該地區人口總數的以上（含），該國家或地區就進入了老齡化社會，結合統計數據發現，某地區人口數在一段時間內可近似表示為（萬），60歲以上的人口數可近似表示為（萬）（x為年份，W，k為常數），根據第六次全國人口普查公報，2010年該地區人口共計105萬．（1）求W的值，判斷未來該地區的人口總數是否有可能突破142萬，并說明理由；（2