衡水數學高一試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共50分）

1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+2$，則$f(x)$的對稱中心為（）

A.$(1,0)$B.$(0,2)$C.$(2,0)$D.$(0,2)$

2.若$a+b=0$，$a^2+b^2=2$，則$ab$的值為（）

A.$-2$B.$2$C.$1$D.$0$

3.在$\triangleABC$中，$a^2+b^2=25$，$c^2=16$，則$\angleC$的大小為（）

A.$45^\circ$B.$30^\circ$C.$60^\circ$D.$90^\circ$

4.若$|x-2|=3$，則$x$的取值范圍是（）

A.$x\geq2$B.$x\leq2$C.$x\geq5$D.$x\leq-1$

5.已知函數$y=\sqrt{x^2-4x+4}$，則函數的定義域為（）

A.$x\leq2$B.$x\geq2$C.$x\geq0$D.$x\leq0$

二、填空題（每題5分，共50分）

6.若$a$、$b$是方程$x^2-2ax+2a-3=0$的兩個實數根，則$a+b=$_______。

7.在$\triangleABC$中，若$a=3$，$b=4$，$c=5$，則$\sinA=$_______。

8.已知函數$f(x)=2x-3$，則$f(-2)=\_\_\_\_\_\_。

9.若$|x-1|=2$，則$x$的取值范圍為$\_\_\_\_\_\_。

10.已知函數$y=\sqrt{x^2-4x+4}$，則函數的定義域為$\_\_\_\_\_\_。

三、解答題（每題15分，共45分）

11.（1）求函數$f(x)=x^2-4x+4$的對稱軸。

（2）求函數$f(x)=x^2-4x+4$的頂點坐標。

12.（1）已知函數$f(x)=2x-3$，求$f(-1)$。

（2）已知函數$f(x)=2x-3$，求函數的值域。

13.（1）已知$a$、$b$是方程$x^2-2ax+2a-3=0$的兩個實數根，求$a+b$。

（2）已知$a$、$b$是方程$x^2-2ax+2a-3=0$的兩個實數根，求$ab$。

四、解答題（每題15分，共45分）

14.（1）已知$\sinA=\frac{3}{5}$，$\cosA>0$，求$\sin^2A+\cos^2A$的值。

（2）已知$\sinA=\frac{4}{5}$，$\cosA<0$，求$\tanA$的值。

15.（1）若$a=2$，$b=3$，$c=4$，求$\triangleABC$的面積。

（2）若$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，求$\sinA+\sinB+\sinC$的值。

16.（1）已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象經過點$(-2,1)$和$(3,0)$，且頂點坐標為$(1,2)$，求函數的表達式。

（2）已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$的圖象經過點$(0,1)$和$(2,-3)$，且頂點坐標為$(-1,4)$，求函數的表達式。

五、應用題（每題20分，共40分）

17.一輛汽車從甲地出發，以60km/h的速度行駛，經過2小時到達乙地。然后以80km/h的速度返回甲地。求汽車往返一次的平均速度。

18.一個長方形的長為10cm，寬為8cm，將其切割成兩個長方形，要求切割后的兩個長方形的面積相等。求切割后的兩個長方形的尺寸。

六、證明題（每題20分，共40分）

19.證明：若$a+b=0$，$a^2+b^2=2$，則$ab=1$。

20.證明：若$a$、$b$、$c$是方程$x^2-2ax+2a-3=0$的兩個實數根，則$a+b+c=2a-3$。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.A

解析思路：對稱中心為函數圖像上所有對稱點的中點，由于$f(x)$是一個三次函數，其對稱中心可以通過求導找到函數的極值點，進而得到對稱中心。

2.A

解析思路：由$a+b=0$，得到$a=-b$，代入$a^2+b^2=2$中，得到$2b^2=2$，解得$b=\pm1$，因此$a=-b=\mp1$，所以$ab=(-1)\times1=-1$。

3.D

解析思路：由余弦定理$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得到$25=9+16-2\times3\times4\cosC$，解得$\cosC=\frac{1}{2}$，因此$\angleC=90^\circ$。

4.D

解析思路：由絕對值的定義，$|x-1|=3$可以轉化為兩個方程$x-1=3$或$x-1=-3$，解得$x=4$或$x=-2$，因此$x$的取值范圍為$x\leq-1$。

5.B

解析思路：函數的定義域是使得函數有意義的所有$x$的集合，由于根號下的表達式必須大于等于0，所以$x^2-4x+4\geq0$，解得$x\geq2$。

二、填空題

6.2

解析思路：由韋達定理，$a+b=2a$，代入$a^2+b^2=2a^2-2ab+2a-3=2$，解得$a+b=2$。

7.$\frac{3}{5}$

解析思路：由正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得到$\sinA=\frac{3}{5}$。

8.-7

解析思路：將$x=-2$代入$f(x)=2x-3$，得到$f(-2)=2\times(-2)-3=-7$。

9.$x\leq2$或$x\geq5$

解析思路：由絕對值的定義，$|x-1|=2$可以轉化為兩個方程$x-1=2$或$x-1=-2$，解得$x=3$或$x=-1$，因此$x$的取值范圍為$x\leq2$或$x\geq5$。

10.$x\geq2$

解析思路：函數的定義域是使得函數有意義的所有$x$的集合，由于根號下的表達式必須大于等于0，所以$x^2-4x+4\geq0$，解得$x\geq2$。

三、解答題

11.（1）對稱軸為$x=2$。

解析思路：對稱軸是函數圖像上所有對稱點的中點所在的直線，由于$f(x)$是一個二次函數，其對稱軸可以通過求導找到函數的極值點，進而得到對稱軸。

（2）頂點坐標為$(2,0)$。

解析思路：頂點坐標是函數圖像的最高點或最低點，對于二次函數，頂點坐標可以通過求導找到函數的極值點，進而得到頂點坐標。

12.（1）$f(-1)=-5$。

解析思路：將$x=-1$代入$f(x)=2x-3$，得到$f(-1)=2\times(-1)-3=-5$。

（2）值域為$(-\infty,-1]$。

解析思路：由于$f(x)$是一個一次函數，其值域是所有可能的輸出值，由于斜率為正，值域為$(-\infty,-1]$。

13.（1）$a+b=2a$。

解析思路：由韋達定理，$a+b=2a$，代入$a^2+b^2=2a^2-2ab+2a-3=2$，解得$a+b=2$。

（2）$ab=2a-3$。

解析思路：由韋達定理，$ab=2a-3$，代入$a^2+b^2=2a^2-2ab+2a-3=2$，解得$ab=2a-3$。

四、解答題

14.（1）$\sin^2A+\cos^2A=1$。

解析思路：由三角恒等式$\sin^2A+\cos^2A=1$，直接得到結果。

（2）$\tanA=-2$。

解析思路：由$\sinA=\frac{4}{5}$，$\cosA<0$，得到$\cosA=-\sqrt{1-\sin^2A}=-\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=-\frac{3}{5}$，因此$\tanA=\frac{\sinA}{\cosA}=\frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}}=-2$。

15.（1）$\triangleABC$的面積為6。

解析思路：由海倫公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中$p=\frac{a+b+c}{2}$，代入$a=3$，$b=4$，$c=5$，得到$S=\sqrt{6\times1\times2\times1}=6$。

（2）$\sinA+\sinB+\sinC=1$。

解析思路：由正弦定理，$\sinA+\sinB+\sinC=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=\frac{a+b+c}{2R}=\frac{3+4+5}{2R}=1$，其中$R$是$\triangleABC$的外接圓半徑。

16.（1）函數的表達式為$f(x)=x^2-4x+4$。

解析思路：由于頂點坐標為$(1,2)$，所以對稱軸為$x=1$，因此函數可以表示為$f(x)=(x-1)^2+2$，展開得到$f(x)=x^2-4x+4$。

（2）函數的表達式為$f(x)=x^2-4x+4$。

解析思路：由于頂點坐標為$(-1,4)$，所以對稱軸為$x=-1$，因此函數可以表示為$f(x)=(x+1)^2+4$，展開得到$f(x)=x^2-4x+4$。

五、應用題

17.汽車往返一次的平均速度為$\frac{8}{3}$km/h。

解析思路：往返一次的總路程為$2\times60\times2=240$km，總時間為$2+2=4$小時，因此平均速度為$\frac{240}{4}=\frac{8}{3}$km/h。

18.切割后的兩個長方形的尺寸為$6cm\times8cm$和$4cm\times8cm$。

解析思路：將長方形切割成兩個面積相等的長方形，可以將長方形沿著長邊切割成兩個等面積的長方形，每個長方形的尺寸為$6cm\times8cm$和$4cm\times8cm$。

六、證明題

19.證明：若$a+b=0$，$a^2+b^2=2$，則$ab=1$。

證明思